學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精［學習目標]1。了解最小二乘法.2.理解線性回歸方程的求法.3.掌握線性回歸方程的意義．知識點一最小二乘法1．定義:如果有n個點（x1，y1），(x2,y2），…，（xn，yn)，可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y＝a＋bx的接近程度：［y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2）］2＋…＋［yn－（a＋bxn）］2.使得上式達到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法．2．應用:利用最小二乘法估計時,要先作出數據的散點圖．如果散點圖呈現出線性關系，可以用最小二乘法估計出線性回歸方程；如果散點圖呈現出其他的曲線關系，我們就要利用其他的工具進行擬合．知識點二回歸直線的求法1．回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．2．回歸方程與最小二乘法我們用yi－eq\o（y，\s\up6(^)）i來刻畫實際觀察值yi（i＝1,2，…,n）與eq\o（y，\s\up6（^）)i的偏離程度，yi－eq\o（y，\s\up6（^)）i越小，偏離越小，直線就越貼近已知點．我們希望yi－eq\o(y，\s\up6（^）)i的n個差構成的總的差量越小越好，這才說明所找的直線是最貼近已知點的．由于把yi－eq\o（y,\s\up6（^））i這個差量作和會使差量中的正負值相互抵消，因此我們用這些差量的平方和即Q＝eq\i\su（i＝1，n,)（yi－a－bxi）2作為總差量,回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條．因為平方又叫二乘方，所以這種使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．用最小二乘法求回歸方程中的eq\o（a,\s\up6(^)），eq\o(b,\s\up6(^）)有下面的公式：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\o(b，\s\up6（^))＝\f（\i\su(i＝1,n，)xi－\x\to（x)yi－\x\to(y),\i\su（i＝1,n，)xi－\x\to（x)2)＝\f(\i\su（i＝1,n,x)iyi－n\x\to（x）\x\to（y），\i\su（i＝1，n,x）\o\al（2，i）－n\x\to（x）2），,\o(a,\s\up6(^））＝\x\to（y）－\o(b,\s\up6(^）)\x\to(x），）)其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n）eq\i\su(i＝1,n，x）i,eq\x\to(y)＝eq\f（1，n)eq\i\su（i＝1,n,y)i。這樣，回歸方程的斜率為eq\o(b，\s\up6（^)),截距為eq\o(a,\s\up6(^))，即回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^）)＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o（a,\s\up6(^)).思考任何一組數據都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎？答用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數據具有線性相關關系(可利用散點圖來判斷）,否則求出的回歸方程是無意義的．題型一變量間相關關系的判斷例1某種產品的廣告費支出x（單位：百萬元）與銷售額y(單位：百萬元）之間有如下對應數據:x24568y3040605070（1）畫出散點圖；(2)求回歸方程．解（1)散點圖如圖所示．（2）列出下表,并用科學計算器進行有關計算。i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2，i)416253664eq\x\to(x)＝5，eq\x\to（y）＝50，eq\i\su（i＝1,5,x)eq\o\al（2，i）＝145，eq\i\su(i＝1，5,x）iyi＝1380于是可得，eq\o(b,\s\up6（^))＝eq\f（\i\su（i＝1,5，x)iyi－5\x\to(x）\x\to(y)，\i\su（i＝1,5，x）\o\al(2，i）－5\x\to（x）2)＝eq\f(1380－5×5×50，145－5×52）＝6。5，eq\o（a,\s\up6(^）)＝eq\x\to（y)－eq\o(b,\s\up6(^）)eq\x\to（x)＝50－6。5×5＝17。5.于是所求的回歸方程是eq\o（y，\s\up6(^))＝6.5x＋17。5。反思與感悟1。求回歸方程的步驟(1）列表xi，yi，xiyi。(2）計算eq\x\to(x），eq\x\to(y），eq\i\su(i＝1,n，x)eq\o\al（2,i)，eq\i\su（i＝1,n,y）eq\o\al(2，i)，eq\i\su(i＝1,n，x)iyi。（3)代入公式計算eq\o（b，\s\up6(^))，eq\o（a,\s\up6(^）)的值．(4)寫出回歸方程eq\o(y,\s\up6（^）)＝eq\o(a，\s\up6(^))＋eq\o(b，\s\up6(^））x。2．求回歸方程的適用條件兩個變量具有線性相關性，若題目沒有說明相關性,則必須對兩個變量進行相關性判斷．跟蹤訓練1某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據:x681012y2356已知記憶力x和判斷力y是線性相關的,求線性回歸方程．解eq\x\to(x)＝eq\f（6＋8＋10＋12，4）＝9，eq\x\to（y)＝eq\f(2＋3＋5＋6，4）＝4，eq\o（∑，\s\up6(4)，\s\do4(i＝1）)xeq\o\al（2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\o（∑，\s\up6(4）,\s\do4（i＝1)）xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，b＝eq\f（158－4×9×4,344－4×81)＝eq\f(14，20)＝0.7,a＝eq\x\to(y)－beq\x\to（x）＝4－0。7×9＝－2。3.則所求的線性回歸方程為y＝0.7x－2.3。題型二利用線性回歸方程對總體進行估計例2有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響,經過統計，得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的對比表：攝氏溫度/℃－504712151923273136熱飲杯數15615013212813011610489937654(1)畫出散點圖；（2）從散點圖中發現氣溫與熱飲銷售杯數之間關系的一般規律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2℃，預測這天賣出的熱飲杯數．解(1）散點圖如圖所示:(2）從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區域里，因此氣溫越高，賣出去的熱飲杯數越少．(3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近,因此，可用公式求出回歸方程的系數．利用計算器容易求得回歸方程y＝－2。352x＋147.772.（4）當x＝2時，y＝143.068.因此，某天的氣溫為2℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲．反思與感悟用線性回歸方程進行數據擬合的一般步驟是：（1)把數據列成表格；(2)作散點圖；（3）判斷是否線性相關；(4)若線性相關，求出系數b，a的值(一般也列成表格的形式，用計算器或計算機計算);（5）寫出回歸直線方程y＝a＋bx.跟蹤訓練22014年元旦前夕，某市統計局統計了該市2013年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統計資料如下表:年收入x(萬元）24466677810年飲食支出y(萬元）0.91.41。62。02。11。91.82.12.22。3（1)如果已知y與x是線性相關的，求線性回歸方程；（2）若某家庭年收入為9萬元，預測其年飲食支出．(參考數據：eq\i\su(i＝1，10，x）iyi＝117.7，eq\i\su(i＝1,10，x)eq\o\al（2,i）＝406)解（1）依題意可計算得:eq\x\to（x)＝6，eq\x\to(y)＝1。83，eq\x\to（x）2＝36，eq\x\to（x)eq\x\to（y)＝10.98，又∵eq\i\su(i＝1，10,x)iyi＝117.7,eq\i\su（i＝1,10，x)eq\o\al(2,i）＝406，∴b＝eq\f(\i\su(i＝1，10,x）iyi－10\x\to(x）\x\to（y），\i\su（i＝1，10,x)\o\al(2,i）－10\x\to（x)2）≈0.17，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝0。81，∴y＝0.17x＋0.81。∴所求的線性回歸方程為y＝0.17x＋0。81。(2）當x＝9時，y＝0.17×9＋0.81＝2.34。可估計大多數年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為2。34萬元．1．煉鋼時鋼水的含碳量與冶煉時間有()A．確定性關系 B．相關關系C．函數關系 D．無任何關系答案B解析煉鋼時鋼水的含碳量除了與冶煉時間有關外，還受冶煉溫度等的影響,故為相關關系．2．設有一個回歸方程為eq\o（y,\s\up6(^)）＝－1。5x＋2，則變量x增加一個單位時()A．y平均增加1.5個單位 B．y平均增加2個單位C．y平均減少1.5個單位 D．y平均減少2個單位答案C解析∵兩個變量線性負相關，∴變量x增加一個單位，y平均減少1。5個單位．3．某商品的銷售量y（單位:件）與銷售價格x（單位：元/件)負相關，則其回歸方程可能是（）A.eq\o（y,\s\up6(^)）＝－10x＋200 B。eq\o(y,\s\up6（^))＝10x＋200C。eq\o(y，\s\up6(^))＝－10x－200 D。eq\o（y，\s\up6(^））＝10x－200答案A解析結合圖象（圖略），知選項B，D為正相關，選項C不符合實際意義，只有選項A正確．4．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據(xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^)）＝0。85x－85。71，則下列結論中不正確的是（）A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心（eq\x\to（x)，eq\x\to（y))C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58。79kg答案D解析當x＝170時，eq\o（y，\s\up6（^））＝0.85×170－85。71＝58.79，體重的估計值為58。79kg。5．正常情況下，年齡在18歲到38歲的人，體重y（kg）對身高x(cm)的回歸方程為eq\o(y，\s\up6（^））＝0.72x－58.2，張明同學(20歲）身高178cm，他的體重應該在________kg左右．答案69。96解析用回歸方程對身高為178cm的人的體重進行預測,當x＝178時，eq\o(y,\s\up6（^））＝0。72×178－58。2＝69.96(kg）．1。判斷變量之間有無相關關系,簡便可行的方法就是繪制散點圖．根據散點圖,可看出兩個變量是否具有相關關系，是否線性相關，是正相關還是負相關．2．求回歸直線的方程時應注意的問題（1)知道x與y呈線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否則應首先進行相關性檢驗．如果兩個變量之間本身不具有相關關系，或者說，它們之間的相關關系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的．(2)用公式計算eq\o(a,\s\up6（^））、eq\o(b，\s\up6(^))的值時，要先算出eq\o(b，\s\up6（^)），然后才能算出eq