2021北京平谷高三一模數學2021.3第1卷選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每個小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.）1．若集合，則等于（）A. B. C. D.2．設復數滿足，則等于（）A. B. C. D.3.的展開式中的系數是（）A.28 B.56 C.112 D.2564．一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是（）主（正）視圖左（側）視圖俯視圖A. B. C. D.5．設是圓上的動點，是直線上的動點，則的最小值為（）A.6 B.4 C.3 D.26．函數的圖象與函數的圖象的交點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.37．已知函數．則“是偶函數“是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知分別是雙曲線的兩個焦點，雙曲線和圓的一個交點為，且，那么雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.9.已知數列滿足，且對任意，都有，那么為（）A. B. C. D.1010．某時鐘的秒針端點到中心點的距離為5cm，秒針繞點勻速旋轉，當時間：時，點與鐘面上標12的點重合，當兩點間的距離為（單位：cm），則等于____A. B. C. D.第II卷非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分；請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．函數的定義域是_________.12．已知拋物線上一點到焦點的距離為3，那么點到軸的距離為________.13．已知在直角三角形中，，那么等于______；若是邊上的高，點在Δ內部或邊界上運動，那么的最大值是____.14．已知函數，在上單調遞增，那么常數的一個取值____.15．從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去兒年里快速發展，并在國民經濟和日常生活中扮演著日益重要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數的折線圖（圖中的數據均是每年12月31日的統計結果）．根據上述信息，下列結論中正確的是①2015年這一年，高鐵運營里程數超過0.5萬公里；②2013年到2016高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率；③從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數最多的一年是2014年；④從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數逐年遞增；其中所有正確結論的序號是____.三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）16．（本小題滿分13分）如圖，在四棱維中，底面是邊長為2的正方形，Δ為正三角形，且側面底面，．（I）求證：平面；（II）求二面角的余弦值17．（本小題滿分13分）在銳角Δ中，角的對邊分別為，且．（I）求角的大小；（II）再從下面條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求Δ的面積條件.①;條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18．（本小題滿分14分）隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質要求越來越高，某牛奶企業針對生產的鮮奶和酸奶，在一地區進行了質量滿意調查，現從消費者人群中隨機抽取500人次作為樣本，得到下表（單位：人次）：滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（I）從樣本中任取1個人，求這個人恰好對生產的酸奶質量滿意的概率；（II）從該地區的老年人中抽取2人，青年人中隨機選取1人，估計這三人中恰有2人對生產的鮮奶質量滿意的概率；（III）依據表中三個年齡段的數據，你認為哪一個消費群體鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫結果）.19．（本小題滿分15分）已知橢圓的離心率為，并且經過點.（I）求橢圓的方程；（II）設過點的直線與軸交于點，與橢圓的另一個交點為，點關于軸的對稱點為，直線交軸于點，求證：為定值.

20．（本小題滿分15分）已知函數（I）當時，求函數的單調區間；（II）當時，過點可作幾條直線與曲線相切？請說明理由．21．（本小題滿分15分）已知數列，具有性質P：對任意（）與，兩數中至少有一個是該數列中的一項，為數列的前項和.（I）分別判斷數列0,1,3,5與數列0,2,4,6是否具有性質P：（II）證明：；（III）證明：當時，，成等差數列．

2021北京平谷高三一模數學參考答案一.選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.題號12345678910答案ABCBACBDAD二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共25分.注：第15題第一空3分,第二空2分；第15題全部選對得5分，不選或有錯選得分，其它得3分。11.；12.2；13.-1；0.14.中的一個值；15.=2\*GB3②;=3\*GB3③.三、解答題：（本大題共6小題，共80分；解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．16.(本小題滿分13分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，為正三角形，且側面PAB⊥底面ABCD，.（I）求證：PB//平面ACM；（II）求二面角的大小（Ⅰ）證明：連接,與交于，在中，因為，分別為，的中點，所以.…………4分因為平面，平面，所以平面.…………6分(Ⅲ)因為ABCD是正方形，為正三角形，E是AB的中點，所以PE⊥AB.又因為面PAB⊥底面ABCD，所以平面ABCD…………8分過作平行于與交于.以為原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，…………9分則，，，，．………10分所以，，設平面的法向量為，則，,令．則得．…………11分因為PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量，所以．…………12分所以二面角的大小為…………13分17.(本小題滿分13分)在銳角△中，角的對邊分別為，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）再從下面條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：△的面積．①②，，解（Ⅰ）因為，由正弦定理………….5分所以………….7分所以………….8分（Ⅱ）解法一：因為根據余弦定理得，………………9分化簡為，解得．………………11分所以△的面積．………………13分解法二：因為，，根據正弦定理得，……………7分所以．………………8分因為，………………9分所以，………………11分所以△的面積．………………13分18.(本小題滿分14分)隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶需求越來越大，品質要求越來越高，某牛奶企業針對生產的鮮奶和和酸奶，在一地區進行了質量滿意度調查，現從中隨機抽取500人次作為樣本，得到下表（單位：人次）：滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080(Ⅰ)從樣本中任取1個人，求這個人恰好對生產的酸奶滿意的概率；(Ⅱ)從該地區的老年人中抽取2人，青年人中隨機選取1人，估計這三人中恰有2人對生產的鮮奶質量滿意的概率；(Ⅲ)依據表中三個年齡段的數據，哪部分人對鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫結果）解：(Ⅰ)設這個人恰好對生產的酸奶滿意人數事件為A,總人次為500人,共抽取了100+120+150=370人次對酸奶滿意,所以.…………5分(Ⅱ)由頻率估計總體，由已知抽取老年人滿意度的概率為,抽取青年人滿意度的概率為,抽取這三人中恰有2人對生產的鮮奶質量滿意的概率，，所以這三人中恰有2人對生產的鮮奶質量滿意的概率為.…………11分(Ⅲ)青年人…………14分19．(本小題滿分15分)已知橢圓的離心率為，并且經過點（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與軸交于點，與橢圓的另一個交點為，點關于軸的對稱點為，直線交軸于，求證：為定值。解：（Ⅰ）由已知解得所以橢圓：.…………5分（Ⅱ）證明：由已知斜率存在以下給出證明：由題意，設直線的方程為,,，則.………….7分由得，………………9分所以，，.所以即…………11分

直線的方程為令得所以令由得所以…………13分所以=…………15分法二：設，則…………3分則直線的方程為…………5分令所以同理…………9分所以=………….12分因為所以所以=………….15分20(本小題滿分15分)已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（3）當時，過點可作幾條直線與曲線相切？請說明理由．（Ⅰ）因為當時,，由,令,解得，…………3分則及的情況如下：00極大值所以函數的遞減區間為;遞增區間為.…………7分（Ⅱ）因為當時,，所以…………9分設切點為,則切線方程為:,又因為切線過,所以所以,化簡得,…………11分令,所以,則及的情況如下：0+00+極大值極小值1所以函數的遞減區間為;遞增區間為,.,所以在有唯一一個零點,………….13分所以方程有唯一一個解.所以過只能作一條曲線的切線.…………15分21(本小題滿分15分)已知數列具有性質：對任意，與兩數中至少有一個是該數列中的一項,為數列的前項和.（Ⅰ）分別判斷數列與數