第1頁（共1頁）2021年上海市長寧區高考數學二模試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1．（4分）設集合A＝（﹣1，3），B＝[0，4），則A∪B＝．2．（4分）復數z滿足（i為虛數單位），則|z|＝．3．（4分）已知一組數據6，7，8，8，9，10，則該組數據的標準差是．4．（4分）若向量，，則向量與的夾角為．5．（4分）若實數x、y滿足，則z＝2x﹣y的最小值為．6．（4分）函數的最小正周期為．7．（5分）在公差不為零的等差數列{an}中，a3是a1與a9的等比中項，則＝．8．（5分）在二項式（1+x）5的展開式中任取兩項，則所取兩項中至少有一項的系數為偶數的概率是．9．（5分）設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1＝Sn，則＝．10．（5分）定義域為R的奇函數y＝f（x）在（﹣∞，0]上單調遞減．設g（x）＝xf（x），若對于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），則實數a的取值范圍為．11．（5分）設F1、F2分別為橢圓Γ：＝1的左、右焦點，點A、B在橢圓Γ上，且不是橢圓的頂點．若＝，且λ＞0，則實數λ的值為．12．（5分）在△ABC中，AC＝2，，若△ABC的面積為2，則AB＝．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．（5分）設f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），則“y＝f（x）圖象經過點（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函數”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．（5分）直線l的參數方程是，則l的方向向量可以是（）A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（1，﹣2）15．（5分）設正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，平面α經過頂點A，且與棱AB、AD、AA1所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面α共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．416．（5分）已知函數y＝f（x）與y＝g（x）滿足：對任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|．命題p：若y＝f（x）是增函數，則y＝f（x）﹣g（x）不是減函數；命題q：若y＝f（x）有最大值和最小值，則y＝g（x）也有最大值和最小值．則下列判斷正確的是（）A．p和q都是真命題 B．p和q都是假命題 C．p是真命題，q是假命題 D．p是假命題，q是真命題三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟．17．（14分）如圖，AA1是圓柱的一條母線，AB是圓柱的底面直徑，C在圓柱下底面圓周上，M是線段A1C的中點．已知AA1＝AC＝4，BC＝3．（1）求圓柱的側面積；（2）求證：BC⊥AM．18．（14分）設．（1）若，求f（x）的值；（2）設，若方程有兩個解，求φ的取值范圍．19．（14分）某種生物身體的長度f（x）（單位：米）與其生長年限x（單位：年）大致關系如下：（其中t＝e﹣0.5（e為自然對數的底2.71828…），該生物出生時x＝0）．（1）求需要經過多少年，該生物身長才能超過8米（精確到0.1）；（2）該生物出生x年后的一年里身長生長量g（x）可以表示為g（x）＝f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最大值（精確到0.01）．20．（16分）設雙曲線Γ：y2﹣＝1的上焦點為F，M、N是雙曲線Γ上的兩個不同的點．（1）求雙曲線Γ的漸近線方程；（2）若|FM|＝2，求點M縱坐標的值；（3）設直線MN與y軸交于點Q（0，q），M關于y軸的對稱點為M′．若M′、F、N三點共線，求證：q為定值．21．（18分）數列{an}滿足：a1＝1，an∈N*，且對任意n∈N*，都有an＜an+1，a2n﹣1+a2n＝4an．（1）求a2，a3，a4；（2）設dn＝an+1﹣an，求證：對任意n∈N*，都有dn≠1；（3）求數列{an}的通項公式an．

2021年上海市長寧區高考數學二模試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1．（4分）設集合A＝（﹣1，3），B＝[0，4），則A∪B＝（﹣1，4）．【分析】進行并集的運算即可．【解答】解：∵A＝（﹣1，3），B＝[0，4），∴A∪B＝（﹣1，4）．故答案為：（﹣1，4）．【點評】本題考查了集合的區間的定義，并集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．（4分）復數z滿足（i為虛數單位），則|z|＝．【分析】利用復數與其共軛復數的模相等以及模的運算性質求解即可．【解答】解：因為，所以＝．故答案為：．【點評】本題考查了復數與共軛復數關系的運用，復數模的性質的運用，考查了運算能力，屬于基礎題．3．（4分）已知一組數據6，7，8，8，9，10，則該組數據的標準差是．【分析】先求出數據的平均數，由方差的計算公式求出方差，進而求解標準差即可．【解答】解：由題意可知，該組數據的平均數為，所以該組數據的方差為[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝，故該組數據的標準差是＝．故答案為：．【點評】本題考查了特征數的求解，解題的關鍵是掌握平均數、方差、標準差的計算公式，考查了運算能力，屬于基礎題．4．（4分）若向量，，則向量與的夾角為．【分析】根據題意，設向量與的夾角為θ，由、的坐標可得||、||以及?的值，由向量夾角公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，設向量與的夾角為θ，向量，，則向量||＝，||＝，?＝1×0+0×1+1×（﹣1）＝﹣1，則cosθ＝＝﹣，又由0≤θ≤π，則θ＝，故答案為：．【點評】本題考查空間向量的夾角，涉及空間向量數量積的應用，屬于基礎題．5．（4分）若實數x、y滿足，則z＝2x﹣y的最小值為﹣2．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，A（0，2），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由圖可知，當直線y＝2x﹣z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合思想，是中檔題．6．（4分）函數的最小正周期為π．【分析】利用行列式化簡函數的解析式，然后求解函數的正確即可．【解答】解：函數＝sin2x﹣1，所以函數的周期為：π．故選：π．【點評】本題考查行列式的解法，三角函數的周期，考查計算能力，是基礎題．7．（5分）在公差不為零的等差數列{an}中，a3是a1與a9的等比中項，則＝5．【分析】設等差數列{an}的公差為d（d≠0），由已知可得d＝4a1，再由等差數列的通項公式與前n項和即可求解．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d（d≠0），由a3是a1與a9的等比中項，得，即，化簡得d＝a1，∴＝45a1，a9＝a1+8d＝9a1，∴＝．故答案為：5．【點評】本題考查等差數列的通項公式與前n項和，考查等比數列的性質，是基礎題．8．（5分）在二項式（1+x）5的展開式中任取兩項，則所取兩項中至少有一項的系數為偶數的概率是．【分析】由題意判斷展開式的系數共有6項，2個偶數，4個奇數，再根據古典概率及其計算公式，求得結果．【解答】解：∵二項式（1+x）5的展開式中共有6項，它們的系數分別為，，，，，，共計2個偶數，4個奇數，從中任取兩項，∴所取兩項中至少有一項的系數為偶數的概率為＝，故答案為：．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，古典概率及其計算公式，屬于中檔題．9．（5分）設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1＝Sn，則＝3．【分析】由已知數列遞推式可得，再由等比數列的求和公式可得，進一步求極限得答案．【解答】解：由an+1＝Sn，得an＝Sn﹣1（n≥2），∴an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，得an+1＝2an，即（n≥2），由a1＝1，an+1＝Sn，得a2＝1，∴，∴＝1+1+＝1+＝．∴＝．故答案為：3．【點評】本題考查數列遞推式，考查等比數列的前n項和與數列極限的求法，考查運算求解能力，是中檔題．10．（5分）定義域為R的奇函數y＝f（x）在（﹣∞，0]上單調遞減．設g（x）＝xf（x），若對于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），則實數a的取值范圍為[﹣2，2]．【分析】先判斷函數g（x）的單調性及奇偶性，然后結合單調性及奇偶性即可直接求解．【解答】解：由題意得f（﹣x）＝﹣f（x），所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）為偶函數，因為奇函數y＝f（x）在（﹣∞，0]上單調遞減且f（x）＞0，根據奇函數對稱性可知，f′（x）≤0恒成立，當x＜0時，g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，根據偶函數對稱性可知，g（x）在（0，+∞）上單調遞減，因為對于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），所以|2+x|≥|ax|在[1，2]上恒成立，所以﹣（x+2）≤ax≤2+x，所以﹣1﹣在[1，2]上恒成立，所以﹣2≤a≤2．故答案為：[﹣2，2]．【點評】本題主要考查了函數奇偶性及單調性的應用，還考查了不等的恒成立求解參數范圍問題，體現了轉化思想的應用．11．（5分）設F1、F2分別為橢圓Γ：＝1的左、右焦點，點A、B在橢圓Γ上，且不是橢圓的頂點．若＝，且λ＞0，則實數λ的值為1．【分析】由已知推出F1A∥BF2，根據橢圓的對稱性可知，四邊形F1AF2B一定為平行四邊形，進而可以求解．【解答】解：因為＝0，所以，所以F1A∥BF2，根據橢圓的對稱性可知，四邊形F1AF2B一定為平行四邊形，如圖：所以F1A＝BF2，所以，即λ＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了橢圓的對稱性，考查了學生的數形結合思想以及運算能力，屬于中檔題．12．（5分）在△ABC中，AC＝2，，若△ABC的面積為2，則AB＝2．【分析】由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得c＝2（sinA﹣cosA），進而根據三角形的面積公式可求sin（2A+）＝﹣，進而可求A的值，利用三角形的面積公式即可求解AB的值．【解答】解：因為，所以+＝1，可得2cosAsinB+sinAcosB＝sinAsinB，所以cosAsinB+cosAsinB+sinAcosB＝sinAsinB，所以cosAsinB+sin（A+B）＝sinAsinB，可得cosAsinB+sinC＝sinAsinB，由正弦定理可得bcosA+c＝bsinA，可得c＝b（sinA﹣cosA），又因為b＝AC＝2，所以c＝2（sinA﹣cosA），又因為S＝bcsinA＝2（sinA﹣cosA）sinA＝1﹣sin2A﹣cos2A＝1﹣sin（2A+）＝2，所以sin（2A+）＝﹣，又A∈（0，π），2A+∈（，），可得A＝（舍去），或，所以S＝bcsinA＝2，解得c＝AB＝2（舍去），或2．故答案為：2．【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．（5分）設f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），則“y＝f（x）圖象經過點（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函數”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】直接利用函數奇偶性的定義進行判定，結合充分條件，必要條件的定義即可判斷．【解答】解：若函數y＝f（x）圖象經過點（﹣1，1）時，則（﹣1）α＝1，∴α＝﹣2或α＝2，∴y＝f（x）為偶函數．若y＝f（x）為偶函數，①α＝﹣1，，1時為奇函數，②α＝時為非奇非偶函數，③α＝﹣2，2時為偶函數，∴若y＝f（x）為偶函數時，α＝﹣2，2∴函數y＝f（x）圖象經過點（﹣1，1）是y＝f（x）為偶函數的充要條件．故選：C．【點評】本題考查了函數奇偶性的判定，同時考查了充分條件和必要條件，屬于基礎題．14．（5分）直線l的參數方程是，則l的方向向量可以是（）A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（1，﹣2）【分析】根據題意，將直線的方程變為普通方程，即可得直線l的斜率為﹣，分析選項，即可得答案．【解答】解：根據題意，直線l的參數方程是，則其普通方程為x﹣1＝﹣2（y﹣2），即y﹣2＝﹣（x﹣1）其斜率k＝﹣，直線l的一個方向向量為（1，﹣），分析可得：直線l的方向向量可能是（﹣2，1），故選：B．【點評】本題考查直線的參數方程，關鍵是將直線的參數方程變形為普通方程．15．（5分）設正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，平面α經過頂點A，且與棱AB、AD、AA1所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面α共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】按照三個點A1，B，D與平面α的位置關系進行分類討論，即可得到答案．【解答】解：第一類：①A1在平面的一邊，B，D在另一邊，有一個平面α符合條件；②B在平面的一邊，A1，D在另一邊，有一個平面α符合條件；③D在平面的一邊，A1，B在另一邊，有一個平面α符合條件；第二類：A1，B，D都在平面的同側，有一個平面α符合條件．綜上所述，滿足條件的平面α共有4個．故選：D．【點評】本題考查了線面角的理解和應用，考查了空間中點、線、面位置關系的應用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．16．（5分）已知函數y＝f（x）與y＝g（x）滿足：對任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|．命題p：若y＝f（x）是增函數，則y＝f（x）﹣g（x）不是減函數；命題q：若y＝f（x）有最大值和最小值，則y＝g（x）也有最大值和最小值．則下列判斷正確的是（）A．p和q都是真命題 B．p和q都是假命題 C．p是真命題，q是假命題 D．p是假命題，q是真命題【分析】利用函數單調性的定義結合已知的條件判斷命題p的真假，利用函數的有界性判斷命題q的真假，即可得到答案．【解答】解：對于命題p：設x1＜x2，因為y＝f（x）是R上的增函數，所以f（x1）＜f（x2），所以|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2），因為|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，所以﹣f（x2）+f（x1）≤g（x1）﹣g（x2）≤f（x2）﹣f（x1），所以f（x1）﹣g（x1）≤f（x2）﹣g（x2），故函數y＝f（x）﹣g（x）不是減函數，故命題p為真命題；對于命題q：y＝f（x）有最大值和最小值，因為|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，則|f（x1）﹣f（x2）|最小值≥|g（x1）﹣g（x2）|最大值，所以y＝g（x）不一定有最大值或最小值，故命題q為假命題．故選：C．【點評】本題考查了新定義問題，解題的關鍵是弄懂題意，將不熟悉的問題轉化為熟悉的知識進行研究，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟．17．（14分）如圖，AA1是圓柱的一條母線，AB是圓柱的底面直徑，C在圓柱下底面圓周上，M是線段A1C的中點．已知AA1＝AC＝4，BC＝3．（1）求圓柱的側面積；（2）求證：BC⊥AM．【分析】（1）由題意在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，求得底面半徑即可得解圓柱的側面積S．（2）由題意利用線面垂直的性質可知BC⊥AA1，利用線面垂直的判定可證BC⊥平面ACA1，進而根據線面垂直的性質即可證明BC⊥AM．【解答】解：（1）由題意可得AC＝4，BC＝3，L＝AA1＝4，所以在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，所以底面半徑r＝AB＝，所以圓柱的側面積S＝2πrL＝2π××4＝20π．（2）證明：由題意可得BC⊥AC，又因為圖為圓柱，可得AA1⊥底面ABC，因為BC?底面ABC，所以BC⊥AA1，因為BC⊥AC，且AC∩AA1＝A，所以BC⊥平面ACA1，又AM?平面ACA1，所以BC⊥AM．【點評】本題主要考查了圓柱的側面積公式以及線面垂直的判定和性質，考查了數形結合思想和推理論證能力，屬于中檔題．18．（14分）設．（1）若，求f（x）的值；（2）設，若方程有兩個解，求φ的取值范圍．【分析】（1）先由二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，再結合兩角和的余弦公式化簡函數f（x）后，代入數據，進行運算即可；（2）由（1）知，f（x﹣φ）＝sin（2x+﹣2φ），根據x和φ的范圍，可推出2x+﹣2φ∈[﹣2φ，﹣2φ]?[，]，再由特殊角的三角函數值，列得關于φ的不等式組，解之即可．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x﹣sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），∵，且x∈[0，]，∴cosx＝，∴sin2x＝2sinxcosx＝2××＝，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×＝，∴f（x）＝sin2x+cos2x＝×+×＝．（2）f（x﹣φ）＝sin[2（x﹣φ）+]＝sin（2x+﹣2φ），∵x∈[0，]，且，∴2x+﹣2φ∈[﹣2φ，﹣2φ]?[，]，∵sinx＝在[，]內的解為和，∴，解得≤φ≤，故φ的取值范圍為[，]．【點評】本題考查三角恒等變換與三角函數的綜合，熟練掌握二倍角公式、輔助角公式和正弦函數的圖象與性質是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題．19．（14分）某種生物身體的長度f（x）（單位：米）與其生長年限x（單位：年）大致關系如下：（其中t＝e﹣0.5（e為自然對數的底2.71828…），該生物出生時x＝0）．（1）求需要經過多少年，該生物身長才能超過8米（精確到0.1）；（2）該生物出生x年后的一年里身長生長量g（x）可以表示為g（x）＝f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最大值（精確到0.01）．【分析】（1）由f（x）＞8可得，又t∈（0，1），結合指數函數的性質即可求出x的取值范圍．（2）由題意可知g（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝，再利用換元法令u＝tx﹣4，u∈（0，e2），則g（u）＝10（1﹣t），再結合基本不等式即可求出結果．【解答】解：（1）由＞8得：，解得：，∵t＝e﹣0.5∈（0，1），∴x﹣4＞，∵＝＝﹣＝2ln4，∴x＞2ln4+4，又∵ln4≈1.386，∴x＞6.772，即約需要6.8年．（2）g（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣＝，令u＝tx﹣4，x﹣4≥﹣4，u∈（0，e2），則g（u）＝＝10（1﹣t），∵tu+＝2，當且僅當tu＝即u＝時，等號成立，∴g（u）≤10（1﹣t）≈1.24，∴g（x）的最大值為1.24．【點評】本題主要考查了函數的實際應用，考查了基本不等式的應用，考查了對數的運算性質，是中檔題．20．（16分）設雙曲線Γ：y2﹣＝1的上焦點為F，M、N是雙曲線Γ上的兩個不同的點．（1）求雙曲線Γ的漸近線方程；（2）若|FM|＝2，求點M縱坐標的值；（3）設直線MN與y軸交于點Q（0，q），M關于y軸的對稱點為M′．若M′、F、N三點共線，求證：q為定值．【分析】（1）令y2﹣＝0，化簡后即可；（2）設M為（x，y），y∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），代入雙曲線的方程，并結合兩點間距離公式，可得解；（3）分兩類：①直線MN的斜率不存在；②直線MN的斜率存在，設為k（k≠0，且k≠±），將直線MN的方程與雙曲線的方程聯立，并結合韋達定理和直線的斜率公式，可得證．【解答】（1）解：令y2﹣＝0，則x＝±y，∴雙曲線Γ的漸近線方程為x±y＝0．（2）解：由題意知，F（0，2），設M為（x，y），則y2﹣＝1，且y∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又|FM|＝2＝，解得y＝或（舍），∴點M縱坐標的值為．（3）證明：①當直線MN的斜率不存在時，其方程為x＝0，與y軸有無數個交點，不符合題意；②當直線MN的斜率存在時，設為k（k≠0，且k≠±），則其方程為y＝kx+q，設M（x1，y1），N（x2，y2），則M'（﹣x1，y1），聯立，得（3k2﹣1）x2+6kqx+3q2﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵M′、F、N三點共線，∴kM′F＝kFN，即，也即x1y2+x2y1＝2（x1+x2），∴x1（kx2+q）+x2（kx1+q）＝2（x1+x2），即2kx1x2＝（2﹣q）（x1+x2），∴2k?＝（2﹣q）