空氣動力學基礎環量與渦演示文稿目前一頁\總數二十八頁\編于十七點優選空氣動力學基礎環量與渦目前二頁\總數二十八頁\編于十七點第2章流體運動學和動力學基礎2.1描述流體運動的方法2.2流體微團運動的分析2.3理想流體運動微分方程組2.3.1連續方程2.3.2Euler運動微分方程組2.3.3Bernoulli積分及其物理意義2.3.4Bernoulli方程的應用2.4流體運動積分方程組2.4.1Lagrange型積分方程2.4.2Reynolds輸運方程2.4.3Euler型積分方程§2.5環量與渦目前三頁\總數二十八頁\編于十七點§2.4環量與渦

§2.4.1環量與渦的概念研究流動的問題，還有兩面個極重要的概念，一個叫環量，一個叫做渦。速度環量：在流場中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環量。速度環量的符號決定于流場的速度方向和繞行方向規定積分時逆時針繞行方向為正，即封閉曲線所包圍的區域總在行進方向的左側。目前四頁\總數二十八頁\編于十七點如果把一個速度向量分成三個坐標軸方向的三個分量u,v,w,把線段ds也分解成dx,dy,dz三個方向的三個線段，有：沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

于是環量表達式為：§2.5.1環量與渦的概念目前五頁\總數二十八頁\編于十七點如果流動是無旋的，存在位函數Φ，那末上式中的u,v,w

都可以用Φ

的偏導數表達：

說明在無旋流動中，沿著任意一條封閉曲線的速度環量均等于零。但是對有旋流動，上述結論并不成立，繞任意一條封閉曲線的速度環量一般不等于零。§2.5.1環量與渦的概念目前六頁\總數二十八頁\編于十七點在三維流里，流體微團可以有三個方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合為一個合角速度是：旋轉軸線都按右手定則確定。合角速度是個向量，它的三個方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

渦量概念是指流場中任何一點微團角速度之二倍，如平面問題中的2ωz

，稱為渦量，渦量是個純運動學的概念。§2.5.1環量與渦的概念目前七頁\總數二十八頁\編于十七點像流線一樣，在同一瞬時，如在流場中有一條曲線，該線上每一點的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫渦線。渦線的微分方程是（給定時刻，t為參量）：渦線給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構成的曲面稱為渦面。由封閉渦面組成的管狀渦面稱為渦管。渦面渦管§2.5.1環量與渦的概念目前八頁\總數二十八頁\編于十七點渦量在一個截面上的面積分稱為渦通量，在平面問題中，渦通量就是：在三維空間問題中，渦通量就是：式中的S

是任意形狀空間曲面，γ是曲面上微面積dS的法線和ω的軸線之間的夾角。nγ空間問題的渦通量平面問題的渦通量渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環量。§2.5.1環量與渦的概念目前九頁\總數二十八頁\編于十七點在有旋流動中，速度環量與渦量存在著十分密切的聯系。為說明這個聯系，首先考察二維流場。§2.5.2環量與渦量的關系在二維流場中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環量并求和，得到總的速度環量。對于微元ABCD，速度環量為目前十頁\總數二十八頁\編于十七點§2.5.2環量與渦量的關系目前十一頁\總數二十八頁\編于十七點繞整個封閉曲線的速度環量為（上圖中微元矩形塊的重合部分做線積分時因正負號相反而相消）上式即為二維問題中的格林公式。表明：沿平面上一封閉圍線l做速度的線積分，所得的環量等于曲線所圍面積上每個微團角速度的2倍乘以微團面積之和，即等于通過面積S的渦通量。§2.5.2環量與渦量的關系目前十二頁\總數二十八頁\編于十七點如果圍線內沒有渦通量，那末沿圍線的環量必是零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但只要包進去的面積里沒有渦通量，那么環量值并不會改變。沿任何圍線只要速度環量等于零，就說明圍線內無渦通量。推廣到三維空間中的封閉曲線L上，計算的速度環量仍等于二倍角速度乘圍線所包的面積，但這面積應取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿一塊有限大的曲面S的圍線L的環量仍等于S面上各點的二倍角速度與面積點積：§2.5.2環量與渦量的關系目前十三頁\總數二十八頁\編于十七點展開即：§2.5.2環量與渦量的關系其實這就是是斯托克斯公式，描述曲線積分與曲面積分之間的關系。目前十四頁\總數二十八頁\編于十七點三維流中環量與渦的關系

nγ表明：沿空間封閉曲線L

的環量，等于穿過張在L上任意曲面S上的渦通量，渦通量的數值與所張的曲面形狀無關，只跟圍線所包含的渦量有關，無旋時渦通量為零從而沿封閉曲線的速度環量也為零。對于無旋流動還有：說明位函數差的意義是沿線段的速度線積分。§2.5.2環量與渦量的關系目前十五頁\總數二十八頁\編于十七點一條強度為Γ的渦線的一段dS對線外的一點P會產生一個誘導速度，情況正像電流會產生磁力的一樣。表達渦段所產生的誘導速度的公式是：

渦與誘導速度§2.5.2環量與渦量的關系目前十六頁\總數二十八頁\編于十七點這個dV是一個垂直于線段dS與受擾點P所組成的平面的速度（如圖），其值正比于渦強Γ和渦段長度dS，但反比于距離r的平方，另外還要乘上r與ds的夾角的θ的正弦。這個公式在形式上和電磁學的電磁感應的比奧—薩瓦公式一樣，仍叫比奧—薩瓦公式。或：§2.5.2環量與渦量的關系目前十七頁\總數二十八頁\編于十七點現在把一條強度為Γ的直渦線對線外一點所產生的誘導速度寫一下。參看下圖。AB是渦線，P為線外一點，P到AB的距離是h。令任意微段ds與P的連線和AB垂線PN之間夾角為γ，則直線渦的誘導速度ds§2.5.2環量與渦量的關系目前十八頁\總數二十八頁\編于十七點ds再令PA與AB的夾角為α；PB與BA的夾角為β。上式積分，γ

由到得：這個誘導速度是垂直于紙面的，按圖示Γ的方向，它向外指。如果渦線一頭是無限長的，那就有：§2.5.2環量與渦量的關系目前十九頁\總數二十八頁\編于十七點如果渦線是半無限長，且P點至渦線之垂直足N與渦線的一端重合，則：

如果渦線兩頭都伸展到無限遠，則：渦線和環量的概念在空氣動力學中十分重要。凡是升力的問題都和渦及環量有關。§2.5.2環量與渦量的關系目前二十頁\總數二十八頁\編于十七點’§2.5.3理想流中的渦定理描述理想流體中的渦線或渦管有三條定理：定理1沿渦線或渦管渦強不變。見圖，在渦管上兩條圍線PQR和P’Q’R’作兩條重合的連線PP’和RR’,沿P’PQRR’Q’P’這樣一條圍線計算環量，由于所張曲面就是原來渦管的一部分，沒有渦線穿過，故總的環量為零：得：這就是說沿渦管任何地方計算它的環量（渦強）其值都是相同的。這條定理稱為海姆霍茲第一定理，或簡稱第一渦定理。目前二十一頁\總數二十八頁\編于十七點渦管強度守恒（左圖）和渦管可能存在的形式（右圖）定理1的推廣：一根渦管在流體里不可能中斷，可以伸展到無限遠去，可以自相連接成一個渦環（不一定是圓環），也可以止于邊界，固體的邊界或自由邊界（如自由液面）。這條定理可以用第一定理的結論推演而得到證明。第一定理說，渦強沿渦管不變。如果渦管到某處突然中止了，那末渦強也就應該隨之變為零，而這是違反第一定理的，所以是不可能的。

§2.5.3理想流中的渦定理此定理稱為海姆霍茲第二定理，或簡稱第二渦定理。目前二十二頁\總數二十八頁\編于十七點上述渦管的三種存在形式，都有實際的例子。吸香煙的人會吐出煙圈來，煙圈是一種自相連接的渦環。三維機翼上的渦線（與翼展同向的）在左右兩端折轉向后，成為尾渦，向后伸展到無限遠的后方去。在二維風洞中做機翼的實驗時，機翼上的渦線（翼展方向的）止于兩側的洞壁。渦線保持定理：在某時刻構成渦線和渦管的流體質點，在以后運動過程中仍將構成渦線和渦管。渦線和渦管隨著構成它的流體質點一起運動§2.5.3理想流中的渦定理目前二十三頁\總數二十八頁\編于十七點定理3

在理想流中，渦的強度不隨時間變化，既不會增強，也不會削弱或消失。

實際流體都是有粘性的，渦強是會隨時間變化的。不過空氣的粘性很小，機翼上的渦隨著氣流流下去，離機翼很遠之后它對機翼的作用就趨于零了，而在離機翼不太遠的范圍內，粘性使渦強的衰減并不很顯著，所以計算渦對機翼的作用時，可以不必考慮粘性的衰減作用，當作它在理想流中強度不衰減去處理就行了。§2.5.3理想流中的渦定理目前二十四頁\總數二十八頁\編于十七點本章基本要求了解兩種描述流場的方法的區別與特點，重點掌握Euler法下加速度的表達和意義掌握流體微團的幾種變形和運動及其數學表達，掌握流體微團的運動分解與剛體運動的異同；了解系統分析方法與控制體分析方法的區別與聯系，掌握Reynolds輸運方程的表達及意義；空氣動力學基本方程是本章重點，積分形式方程要掌握質量方程、動量方程和能量方程的表達和意義，并會用它們解決實際工程問題；微分形式方程要重點掌握連續方程、Euler方程和能量方程的表達和意義；掌握微元控制體分析方法；掌握Bernoulli方程的表達、意義、條件和應用；重點需要掌握的概念：流線、流量、散度、旋度、位函數、流函數、環量與渦的表達、意義及其相互之間的關系；目前二十五頁\總數二十八頁\編于十七點小測驗（10分鐘）寫出Euler法中三個方向加速度的表達，并說明各項的意義。分別寫出積分形式的質量方程和動量方程，并說明方程的物理意義和應用條件。寫出Bernoulli方程并說明其應用條件。問下面的流動能否代表一平面定常不可壓縮流動？如能夠代表，試求該流動的：變形率和角速度，該流動是否有位函數？如有則求出。又流函數為何？目前二十六頁\總數二十八頁\編于十七點解答：1.右端第一項為當地加速度，由流場的不定常性引起，第二項為遷移加速度，由流場的空間不均勻性引起，遷移加速度中的任何一項都是速度分量與同一方向的導數之乘積，因此只有上述兩項都不為零才可能存在遷移加速度。2.積分形式的質量方程為：其意義是：控制體中質量的增加率等于凈流入控制面的質量流量。應用條件：積分形式的質量方程描述流體應滿足的運動學關系，與流體是否受力，是否有粘性，是否可壓均無關，它描述控制體中及其控制面上的關系，并且允許控制體包含流動不連續的區域。目前二十七頁\總數二十八頁\編于十