核心考點(diǎn)06因式分解目錄一．因式分解的意義（共1小題）二．公因式（共1小題）三．因式分解-提公因式法（共7小題）四．因式分解-運(yùn)用公式法（共7小題）五．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用（共6小題）六．因式分解-分組分解法（共2小題）七．因式分解-十字相乘法等（共7小題）八．因式分解的應(yīng)用（共12小題）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來(lái)檢驗(yàn)．二．公因式1、定義：多項(xiàng)式ma+mb+mc中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m，因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．2、確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“﹣”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同．四．因式分解-運(yùn)用公式法1、如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫(xiě)成平方的形式，且符號(hào)相反．②能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍．3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止．五．因式分解-分組分解法1、分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四項(xiàng)以上多項(xiàng)式的因式分解，分組有兩個(gè)目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式．2、對(duì)于常見(jiàn)的四項(xiàng)式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）六．因式分解-十字相乘法等借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．七．因式分解的應(yīng)用1、利用因式分解解決求值問(wèn)題．2、利用因式分解解決證明問(wèn)題．3、利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題．【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用1．因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過(guò)因式分解將多項(xiàng)式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點(diǎn)，先通過(guò)因式分解將式子變形，然后再進(jìn)行整體代入．2．用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的一部分．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．因式分解的意義（共1小題）1．（2023春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）A．6x2y3＝2x2?3y3B．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；C．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解．二．公因式（共1小題）2．（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）若兩個(gè)多項(xiàng)式有公因式，則稱這兩個(gè)多項(xiàng)式為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，若x2﹣25與（x+b）2為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，則b為±5．【分析】將多項(xiàng)式因式分解，根據(jù)公因式的定義即可得出答案．【解答】解：x2﹣25＝（x+5）（x﹣5），∵x2﹣25與（x+b）2為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，∴b＝±5．故答案為：±5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公因式，掌握多項(xiàng)式ma+mb+mc中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m，因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式是解題的關(guān)鍵．三．因式分解-提公因式法（共7小題）3．（2022春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）設(shè)P＝a2（﹣a+b﹣c），Q＝﹣a（a2﹣ab+ac），則P與Q的關(guān)系是（）A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．互為相反數(shù)【分析】根據(jù)提公因式法，可分解因式，可得答案．【解答】解：P＝﹣a2（a﹣b+c），Q＝﹣a（a2﹣ab+ac）＝﹣a2（a﹣b+c），P＝Q，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，提公因式是解題關(guān)鍵．4．（2022春?青田縣校級(jí)期中）分解因式：2x3﹣6x2＝2x2（x﹣3）．【分析】提取公因式2x2，即可得．【解答】解：原式＝2x2（x﹣3），故答案為：2x2（x﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是找出公因式．5．（2022春?蕭山區(qū)期中）因式分解：2x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝2（a﹣b）（x+3y）．【分析】直接提取公因式2（a﹣b），進(jìn)而分解因式得出答案．【解答】解：原式＝2x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝2（a﹣b）（x+3y）．故答案為：2（a﹣b）（x+3y）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．6．（2022春?長(zhǎng)興縣月考）812﹣81肯定能被（）整除．A．79B．80C．82D．83【分析】原式提取公因式分解因式后，判斷即可．【解答】解：原式＝81×（81﹣1）＝81×80，則812﹣81肯定能被80整除．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．7．（2022春?金東區(qū)期中）如圖，邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為20，面積為16，則a2b+ab2的值為160．【分析】根據(jù)“邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為20，面積為16”可得a+b＝10，ab＝16，再將原式因式分解為ab（a+b），代入計(jì)算即可．【解答】解：∵邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為20，面積為16，∴a+b＝10，ab＝16，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝160，故答案為：160．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法分解因式，將a2b+ab2化成ab（a+b）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2022春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）已知（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）可分解因式為（x+a）（x+b），則ab的值是﹣8或．【分析】將（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）分解為（x﹣2）（x+3），確定a、b的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)椋?x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）＝（x﹣2）[（2x﹣10）﹣（x﹣13）]＝（x﹣2）（x+3）＝（x+a）（x+b），所以a＝﹣2，b＝3或a＝3，b＝﹣2，當(dāng)a＝﹣2，b＝3時(shí)，ab＝（﹣2）3＝﹣8，當(dāng)a＝3，b＝﹣2時(shí)，ab＝3﹣2＝，故答案為：﹣8或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式分解因式，掌握提公因式的方法是正確分解因式的關(guān)鍵．9．（2022春?上虞區(qū)期末）已知x﹣y＝，xy＝，則xy2﹣x2y的值是（）A．﹣B．1C．D．【分析】首先利用提公因式法，求得xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣y），把已知式子代入求得答案．【解答】解：∵x﹣y＝，xy＝，∴xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣y）＝﹣×＝﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法的運(yùn)用．能夠把xy2﹣x2y變形為﹣xy（x﹣y）是解題的關(guān)鍵．四．因式分解-運(yùn)用公式法（共7小題）10．（2022春?西湖區(qū)期末）因式分解：x2+2x+1＝（x+1）2．【分析】本題運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案為：（x+1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?青田縣校級(jí)期中）下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+y2B．﹣a2﹣b2C．x3﹣y2D．a(chǎn)2﹣b2【分析】能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫(xiě)成平方的形式，且符號(hào)相反．【解答】解：A．x2+y2不能使用平方差公式分解因式，不符合題意；B．﹣a2﹣b2＝﹣（a2+b2）不能使用平方差公式分解因式，不符合題意；C．x3﹣y2不能使用平方差公式分解因式，不符合題意；D．a(chǎn)2﹣b2能使用平方差公式分解因式，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方差公式分解因式，關(guān)鍵是正確把握平方差公式的特點(diǎn)：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．12．（2022春?余姚市校級(jí)期末）下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2+2x+2D．x2﹣2x+1【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：A．x2+x+1不能因式分解，故A選項(xiàng)不符合題意；B．x2+2x﹣1不能因式分解，故B選項(xiàng)不符合題意；C．x2+2x+2不能因式分解，故C選項(xiàng)不符合題意；D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，熟練掌握公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?柯橋區(qū)期末）計(jì)算：20232﹣20222＝4045．【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解便可簡(jiǎn)便運(yùn)算．【解答】解：原式＝（2023+2022）×（2023﹣2022）＝4045．故答案為：4045．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．14．（2022春?北侖區(qū)期末）若x2﹣36y2＝（x+my）（x﹣my），則m的值為±6．【分析】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：x2﹣36y2＝（x+6y）（x﹣6y）．則m的值為：±6．故答案為：±6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握因式分解﹣運(yùn)用公式法的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．15．（2022春?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，有一張邊長(zhǎng)為b的正方形紙板，在它的四角各剪去邊長(zhǎng)為a的正方形．然后將四周突出的部分折起，制成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒．用M表示其底面積與側(cè)面積的差，則M可因式分解為（）A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）2【分析】先表示出底面積和側(cè)面積，然后求它們的差，再提取公因式分解因式即可．【解答】解：底面積為（b﹣2a）2，側(cè)面積為a?（b﹣2a）?4＝4a?（b﹣2a），∴M＝（b﹣2a）2﹣4a?（b﹣2a），提取公式（b﹣2a），M＝（b﹣2a）?（b﹣2a﹣4a），＝（b﹣2a）?（b﹣6a），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，靈活提取公因式是本題關(guān)鍵．16．（2022春?紹興期末）因式分解：x2﹣16x+64＝（x﹣8）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣8）2．故答案為：（x﹣8）2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．五．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用（共6小題）17．（2022春?新昌縣期末）下列因式分解正確的是（）A．m2+n2＝（m+n）2B．x3﹣x2+x＝x（x2﹣x+1）C．a(chǎn)2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2D．m2﹣n2＝（m﹣n）2【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：A．m2+n2，無(wú)法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；B．x3﹣x2+x＝x（x2﹣x+1），分解因式正確，故此選項(xiàng)符合題意；C．a(chǎn)2+2ab﹣b2，無(wú)法運(yùn)用公式法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；D．m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n），故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正確運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．18．（2022春?樂(lè)清市校級(jí)期中）﹣y3+6y2﹣9y＝﹣y（y﹣3）2．【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【解答】解：﹣y3+6y2﹣9y＝﹣y（y2﹣6y+9）＝﹣y（y﹣3）2．故答案為：﹣y（y﹣3）2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分解因式，熟練掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．19．（2022春?拱墅區(qū)期末）下列因式分解正確的是（）A．a(chǎn)3+a2+a＝a（a2+a）B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2C．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2）D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1【分析】利用提公因式法與公式法進(jìn)行分解，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、a3+a2+a＝a（a2+a+1），故A不符合題意；B、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故B符合題意；C、﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），故C不符合題意；D、x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1，不是因式分解，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法和公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．20．（2022春?上城區(qū)校級(jí)期中）將下列多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2﹣4B．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16C．x3﹣4x2+4xD．x2+2x【分析】各式分解因式得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合題意；B、原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，不符合題意；C、原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2，符合題意；D、原式＝x（x+2），不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．21．（2022春?常山縣期末）分解因式：3ax2﹣6ax+3a＝3a（x﹣1）2．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解，即可解答．【解答】解：3ax2﹣6ax+3a＝3a（x2﹣2x+1）＝3a（x﹣1）2，故答案為：3a（x﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．22．（2022春?象山縣校級(jí)期中）因式分解：（1）﹣ab+2a2b﹣a3b；（2）4（x﹣y）2﹣8x+8y．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解，即可解答；（2）利用提公因式法進(jìn)行分解，即可解答．【解答】解：（1）﹣ab+2a2b﹣a3b＝﹣ab（1﹣2a+a2）＝﹣ab（1﹣a）2；（2）4（x﹣y）2﹣8x+8y＝4（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＝4（x﹣y）（x﹣y﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．六．因式分解-分組分解法（共2小題）23．（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）因式分解（1）﹣2x3+16x2﹣24x；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可解答；（2）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分組，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【解答】解：（1）﹣2x3+16x2﹣24x＝﹣2x（x2﹣8x+12）＝﹣2x（x﹣2）（x﹣6）；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，因式分解﹣分組分解法，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．24．（2022春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）因式分解：（1）ab2+b3（2）16x2﹣8xy+y2（3）（m2﹣3）2﹣4m2（4）x2﹣2x+2xy+y2﹣2y+1【分析】（1）利用提公因式法，進(jìn)行分解即可解答；（2）利用完全平方公式，進(jìn)行分解即可解答；（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法進(jìn)行分解即可解答；（4）利用因式分解﹣分組分解法，進(jìn)行分解即可解答．【解答】解：（1）ab2+b3＝b2（a+b）；（2）16x2﹣8xy+y2＝（4x﹣y）2；（3）（m2﹣3）2﹣4m2＝（m2﹣3+2m）（m2﹣3﹣2m）＝（m+3）（m﹣1）（m﹣3）（m+1）；（4）x2﹣2x+2xy+y2﹣2y+1＝（x2+2xy+y2）﹣（2x+2y）+1＝（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣分組分解法，提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．七．因式分解-十字相乘法等（共7小題）25．（2022春?象山縣校級(jí)期中）下列因式分解正確的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a(chǎn)3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x+10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5y2＝5xy（2x﹣y）【分析】直接利用提取公因式法以及十字相乘法分解因式得出答案．【解答】解：A．4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，故此選項(xiàng)不合題意；B．a(chǎn)3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b+1），故此選項(xiàng)不合題意；C．x2﹣7x+10＝（x﹣2）（x﹣5），故此選項(xiàng)符合題意；D．10x2y﹣5y2＝5y（2x2﹣y），故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正確利用十字相乘法分解因式是解題關(guān)鍵．26．（2022春?瑞安市月考）若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），則ab的值為．【分析】原式右邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出a與b的值，即可求出所求．【解答】解：已知等式整理得：x2﹣bx﹣10＝x2+（5﹣a）x﹣5a，可得5﹣a＝﹣b，﹣5a＝﹣10，解得：a＝2，b＝﹣3，則，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．27．（2022春?杭州期中）給出三個(gè)多項(xiàng)式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）請(qǐng)任選擇兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解；（2）當(dāng)a＝4，b＝﹣7時(shí)，求第（1）問(wèn)所得的代數(shù)式的值．【分析】（1）選擇①③，相加得a2+4ab+4b2然后運(yùn)用公式法因式分解即可；（2）將a＝4，b＝﹣7代入（1）計(jì)算即可．【解答】解：（1）選擇①③（答案不唯一），a2+3ab﹣2b2+ab+6b2．＝a2+4ab+4b2＝（a+2b）2；（2）當(dāng)a＝4，b＝﹣7，原式＝（4﹣14）2＝100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．28．（2022春?紹興期末）如圖，標(biāo)號(hào)為①、②、③、④的長(zhǎng)方形不重疊地圍成長(zhǎng)方形PQMN．已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)長(zhǎng)方形的面積均為S，AE＝x，DE＝y(tǒng)，且x＞y．若代數(shù)式x2﹣3xy+2y2的值為0，則＝．【分析】由題意得，代數(shù)式x2﹣3xy+2y2＝0，結(jié)合x(chóng)＞y，得x＝2y，根據(jù)四個(gè)長(zhǎng)方形的面積均為S，求得EP＝，EN＝，從而得出PQ＝x﹣y，PN＝，將此代入進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可解答．【解答】解：∵x2﹣3xy+y2＝0，∴（x﹣y）（x﹣2y）＝0，∴x＝y(tǒng)或x＝2y，∵x＞y，∴x＝2y，∵四個(gè)長(zhǎng)方形的面積均為S，∴EP＝，EN＝，∴PQ＝x﹣y，PN＝EN﹣EP＝，∴＝＝＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，分式的混合運(yùn)算，通過(guò)解關(guān)于a的方程，表示出a與b的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．29．（2022春?象山縣校級(jí)期中）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+4a+3，解：原式＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣l）＝（a+3）（a+l）②M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值：解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5因?yàn)椋╝﹣1）2≥0，所以當(dāng)a＝1時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：（1）在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式x2﹣8x+16；（2）用配方法因式分解x2﹣4xy﹣12y2；（3）若M＝4x2+2x﹣1，求M的最小值．【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可；（2）利用十字相乘法分解因式；（3）利用配方法得到M＝4（x+）2﹣，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．【解答】解：（1）x2﹣8x+42＝（x﹣4）2，故答案為：16；（2）x2﹣4xy﹣12y2＝（x﹣6y）（x+2y）；（3）M＝4x2+2x﹣1＝4（x2+x）﹣1＝4[x2+x+（）2﹣（）2]﹣1＝4（x+）2﹣，∵4（x+）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，M有最小值﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣十字相乘法等，熟練掌握因式分解的方法和配方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．30．（2022春?東陽(yáng)市校級(jí)期中）閱讀下列材料：對(duì)于多項(xiàng)式x2+x﹣2，如果我們把x＝1代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x2+x﹣2的值為0，這時(shí)可以確定多項(xiàng)式中有因式（x﹣1）；同理，可以確定多項(xiàng)式中有另一個(gè)因式（x+2），于是我們可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：對(duì)于多項(xiàng)式2x2﹣3x﹣2，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝2時(shí)，2x2﹣3x﹣2的值為0，則多項(xiàng)式2x2﹣3x﹣2有一個(gè)因式（x﹣2），我們可以設(shè)2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我們可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．請(qǐng)你根據(jù)以上材料，解答以下問(wèn)題：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，常用來(lái)分解一些比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，請(qǐng)你嘗試用試根法分解多項(xiàng)式：①3x2+11x+10；②x3﹣21x+20．【分析】（1）當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；（2）①當(dāng)x＝﹣2時(shí)，3x2+11x+10＝0，所以有一個(gè)因式是（x+2），從而得出答案；②當(dāng)x＝1，4，﹣5時(shí)，x3﹣21x+20＝0，所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．【解答】解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7的值為0，所以多項(xiàng)式8x2﹣x﹣7有因式（x﹣1），從而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7），故答案為：1，（x﹣1），（x﹣1）（8x+7）；（2）①因?yàn)楫?dāng)x＝﹣2時(shí)，3x2+11x+10＝0，所以有一個(gè)因式是（x+2），所以3x2+11x+10＝（x+2）（3x+5）；②因?yàn)楫?dāng)x＝1，4，﹣5時(shí)，x3﹣21x+20＝0，所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，理解閱讀材料的方法，借助多項(xiàng)式乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．31．（2022春?諸暨市期中）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知：二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問(wèn)題：仿照以上方法解答下面問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個(gè)因式是（x﹣5），求另一個(gè)因式以及k的值．【分析】根據(jù)例題中的已知的兩個(gè)式子的關(guān)系，兩個(gè)中二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m的二次項(xiàng)系數(shù)是1，因式是（x+3）的一次項(xiàng)系數(shù)也是1，利用待定系數(shù)法求出另一個(gè)因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次項(xiàng)系數(shù)是2，因式是（x﹣5）的一次項(xiàng)系數(shù)是2，則另一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)一定是2，利用待定系數(shù)法，就可以求出另一個(gè)因式．【解答】解：設(shè)另一個(gè)因式為（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）則2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a∴，解得：a＝13，k＝65故另一個(gè)因式為（2x+13），k的值為65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣十字相乘法，正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關(guān)鍵．八．因式分解的應(yīng)用（共12小題）32．（2022春?江干區(qū)校級(jí)期中）【方法呈現(xiàn)】我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式，同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行局部因式分解可以來(lái)解決代數(shù)式值的最小（或最大）問(wèn)題．例如：x2+4x+5＝（x2+4x+4）﹣4+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．【嘗試應(yīng)用】（1）直接寫(xiě)出（x﹣1）2+3的最小值為3；（2）求代數(shù)式x2+10x+32的最小（或最大）值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的值．【拓展提高】（3）用長(zhǎng)12m的一根鐵絲圍成長(zhǎng)方形，能圍成的長(zhǎng)方形的最大面積是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由（x﹣1）2≥0，即可得出答案；（2）把x2+10x+32化為（x+5）2+7，即可得到答案；（3）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xm，則寬為（6﹣x）m，圍成的長(zhǎng)方形的面積是x（6﹣x）＝﹣x2+6x，通過(guò)上面的方法即可求出．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+3≥3，當(dāng)（x﹣1）2＝0時(shí)，（x﹣1）2+3有最小值3．故答案為：3．（2）x2+10x+32＝（x2+10x+25）﹣25+32＝（x+5）2+7，∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7，∴當(dāng)（x+5）2＝0即x＝﹣5時(shí)，（x+5）2+7的值最小，最小值是7．（3）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xm，則寬為（6﹣x）m，圍成的長(zhǎng)方形的面積是x（6﹣x）＝﹣x2+6x，∵﹣x2+6x＝﹣（x2﹣6x+9）+9＝﹣（x﹣3）2+9，又∵﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2+9≤9，∴當(dāng)﹣（x﹣3）2＝0即x＝3時(shí)，﹣（x﹣3）2+9的值最大，最大值是9，答：當(dāng)圍成邊長(zhǎng)為3m的正方形時(shí)面積最大，最大面積是9m2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，完全平方式，解答的關(guān)鍵是對(duì)完全平方式的掌握與應(yīng)用．33．（2022春?婺城區(qū)期末）在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們生活已經(jīng)緊密聯(lián)系在一起．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，其原理是：先將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，再計(jì)算各因式所得的值，最后將各因式的值進(jìn)行組合．如：將多項(xiàng)式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+3）（x﹣3），當(dāng)x＝15時(shí)，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此時(shí)，可獲得密碼171812或171218或181712等．根據(jù)上述方法，解答以下問(wèn)題：（1）對(duì)于因式分解結(jié)果為（x+2）（x﹣1）的多項(xiàng)式，當(dāng)x＝21時(shí)，用“因式分解”法獲得的密碼為2320，2023．（2）當(dāng)x＝20，y＝2時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以產(chǎn)生哪些數(shù)字密碼（求出四個(gè)即可）？（3）已知多項(xiàng)式x3+ax2+bx+3因式分解成三個(gè)一次式，當(dāng)x＝23時(shí)，用“因式分解”法可以得到密碼202224，求a，b的值．【分析】（1）把x＝21直接代入x+2和x﹣1，將兩個(gè)數(shù)排序，從而獲得密碼．（2）先提公因式，然后用平方差公式將多項(xiàng)式因式分解，然后把x和y的值代入求得3個(gè)因式的值，然后把這3個(gè)數(shù)進(jìn)行組合得出密碼．（3）由密碼得出三個(gè)一次因式的值分別為20，22，24，它們分別可以看成x﹣3，x﹣1，x+1，然后計(jì)算這3個(gè)因式的乘積，其結(jié)果與x3+ax2+bx+3相同，其多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)＝a，一次項(xiàng)系數(shù)＝b．【解答】解：（1）當(dāng)x＝21時(shí)，x+2＝23，x﹣1＝20，此時(shí)，可獲得密碼2320，2023．故答案為：2320，2023．（2）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），當(dāng)x＝20，y＝2時(shí)，x+y＝22，x﹣y＝18，此時(shí)，可獲得密碼202218，201822，182022，182220，222018，221820．（3）當(dāng)x＝23時(shí)，用“因式分解”法可以得到密碼202224，∴x3+ax2+bx+3用“因式分解”法可以分解出的三個(gè)一次因式分別位（x﹣3），（x﹣1），（x+1），（x﹣1）（x+1）（x﹣3）＝（x2﹣1）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣x+3，∴a＝﹣3，b＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，在多項(xiàng)式因式分解的基礎(chǔ)上，由給定的字母的取值確定獲得的密碼．34．（2022春?麗水期末）已知正數(shù)a，b，c，滿足a﹣b＝b﹣c＝1，ab+ac+bc＝4．（1）a﹣c＝2；（2）如圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長(zhǎng)分別為c，c+1，c+2，若這三張正方形紙片的面積之和為S，則S的值為7．【分析】（1）由等式a﹣b＝b﹣c＝1，得出a比b大1，b比c大1，由此得出a比c大2．（2）根據(jù)a﹣b＝b﹣c＝1，得出a＝c+2，b＝c+1，將其代入ab+ac+bc＝4得出3c2+6c﹣2＝0，通過(guò)計(jì)算3張正方形紙片的面積和S，化簡(jiǎn)后得出S＝3c2+6c+5，用整體代入法把3c2+6c＝2代入得出S的值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝b﹣c＝1，∴b＝c+1，∵a﹣b＝1，∴a﹣（c+1）＝1得出a﹣c＝2．故答案為：2．（2）由（1）知，a＝c+2，b＝c+1，把a(bǔ)＝c+2，b＝c+1代入ab+ac+bc＝4得，（c+2）（c+1）+（c+2）c+（c+1）c＝4，c2+2c+c+2+c2+2c+c2+c＝4，3c2+6c﹣2＝0，這三張正方形紙片的面積之和S＝c2+（c+1）2+（c+2）2＝c2+（c2+2c+1）+（c2+4c+4）＝3c2+6c+5，把3c2+6c＝2代入，S＝2+5＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于c的等式，然后正方形的面積和S也化簡(jiǎn)，通過(guò)觀察式子特點(diǎn)，用整體代入的辦法計(jì)算出S的值．35．（2022春?東陽(yáng)市期末）教材中的探究：通過(guò)用不同的方法計(jì)算同一圖形面積，得到相應(yīng)的等式，從而探求出多項(xiàng)式乘法或分解因式的新途徑．例如，選取圖①中的正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共6塊，拼出一個(gè)如圖②的長(zhǎng)方形，計(jì)算它的面積寫(xiě)出相應(yīng)的等式：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）請(qǐng)根據(jù)圖③寫(xiě)出代數(shù)恒等式，并根據(jù)所寫(xiě)恒等式計(jì)算（x﹣2y﹣3）2；（2）若x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3，求x+y+z的值．（3）試借助圖①的硬紙片，利用拼圖的方法把二次三項(xiàng)式3a2+7ab+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫(huà)在虛線方框內(nèi)．【分析】（1）利用大正方形的面積＝3個(gè)小正方形的面積+6個(gè)矩形的面積可列出代數(shù)恒等式，再根據(jù)所寫(xiě)恒等式計(jì)算（x﹣2y﹣3）2；（2）將x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入（1）中所得結(jié)論．計(jì)算即可求得x+y+z的值；（3）畫(huà)出圖形，再分解即可．【解答】解：（1）由題意可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，則（x﹣2y﹣3）2＝x2+4y2+9﹣4xy﹣6x+12y；（2）由（1）得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，把x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入上式，得：（x+y+z）2＝1+2×3＝7，∴x+y+z＝±；（3）如圖所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分解因式的應(yīng)用，長(zhǎng)方形的面積，完全平方公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和化簡(jiǎn)能力．36．（2022春?西湖區(qū)期末）（1）化簡(jiǎn)：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2．（2）利用（1）中的結(jié)果，計(jì)算a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，其中a＝98，b＝100，c＝102．（3）若a﹣b＝1，b﹣c＝2，a2+b2+c2＝7，求ab+bc+ac的值．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)題意可得a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣2，a﹣c＝﹣4，代入（1）中的等式，求值即可；（3）根據(jù)a﹣b＝1，b﹣c＝2，可得a﹣c的值，再運(yùn)用（1）中的等式求值即可．【解答】解：（1）（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；（2）∵a＝98，b＝100，c＝102，∴a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣2，a﹣c＝﹣4，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝4+4+16＝24，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12；（3）∵a﹣b＝1，b﹣c＝2，∴a﹣c＝3，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝1+4+9＝14，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝7，∵a2+b2+c2＝7，∴ab+bc+ac＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用以及整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．37．（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等．請(qǐng)用配方法解決以下問(wèn)題．（1）試說(shuō)明：x，y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)；（2）分解因式：a4+a2+1；（3）已知實(shí)數(shù)a，b滿足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式與常數(shù)的和的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；（2）先利用配方法再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（3）先表示出b＝a2﹣5a+3，再表示出a+b＝a2﹣4a+3，再利用配方法求解即可．【解答】解：（1）x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x，y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)；（2）a4+a2+1＝a4+2a2+1﹣a2＝（a2+1）2﹣a2＝（a2+a+1）（a2﹣a+1）；（3）∵﹣a2+5a+b﹣3＝0，∴b＝a2﹣5a+3，∴a+b＝a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1，∴當(dāng)a＝2時(shí)，a+b有最小值為﹣1，∴a+b的最小值為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式即平方差公式是解答此題的關(guān)鍵．38．（2022春?鄞州區(qū)期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干張如圖1所示的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b、寬為a的長(zhǎng)方形．現(xiàn)在用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2所示的大正方形．觀察圖形并解答下列問(wèn)題．（1）由圖1到圖2的過(guò)程可得到的因式分解等式為a2+2ab+b2＝（a+b）2（用含a，b的代數(shù)式表示）；（2）小敏用圖1中的A、B、C三種紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）的大長(zhǎng)方形，求需要A、B、C三種紙片各多少?gòu)垼唬?）如圖3，C為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，記正方形ACDE和正方形BCFG的面積分別為S1，S2，且S1+S2＝20，利用（1）中的結(jié)論求圖中三角形ACF的面積．【分析】（1）圖②的正方形的邊長(zhǎng)為（a+b），是由1張A卡片，1張B卡片，2張C卡片拼成的，根據(jù)面積法可得答案；（2）計(jì)算（2a+b）（a+2b）的結(jié)果可得答案；（3）設(shè)AC＝a，BC＝b，可得出a+b＝6，a2+b2＝20，由（1）的結(jié)論可求出ab，進(jìn)而求出三角形的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案為：a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B兩種紙片各2張，C種紙片5張；（3）設(shè)AC＝a，BC＝CF＝b則a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴S陰影＝ab＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式的幾何背景，用不同的方法表示圖形的面積是得出答案的關(guān)鍵．39．（2022春?柯橋區(qū)期中）若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么就稱這個(gè)正整數(shù)為智慧數(shù)．如，52﹣32＝16，則16是一個(gè)智慧數(shù)，5和3稱為16的一對(duì)智慧分解數(shù)．則2019的智慧分解數(shù)有338和335，1010和1009．【分析】設(shè)未知數(shù)建立方程求解．【解答】解：設(shè)2019＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．其中a，b是正整數(shù)，且a＞b．∵2019＝673×3＝2019×1，∴或．∴或．∴2019的智慧分解數(shù)有338和335及1010和1009．故答案為：338和335及1010和1009．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，根據(jù)智慧分解數(shù)定義確定a，b是求解本題的關(guān)鍵．40．（2022春?杭州期中）化簡(jiǎn)求值：小明在求兩位數(shù)的平方時(shí)，可以用“列豎式”的方法進(jìn)行計(jì)算，求解過(guò)程如圖1所示，34的平方中，首數(shù)字3的平方對(duì)應(yīng)09，尾數(shù)字4的平方對(duì)應(yīng)16，…（1）仿照?qǐng)D1，用“列豎式”的方法計(jì)算一個(gè)兩位數(shù)的平方，部分過(guò)程如圖2所示，求這個(gè)兩位數(shù)；（2）（10n+m）2是一個(gè)兩位數(shù)的平方，用“列豎式”方法進(jìn)行計(jì)算的部分過(guò)程如圖3所示，求m，n的值．【分析】（1）觀察圖1可知，第一行從右向左分別為個(gè)位數(shù)和十位數(shù)字的平方，每個(gè)數(shù)的平方占兩個(gè)空，平方是一位數(shù)的前面的空用0填補(bǔ)，第二行從左邊第2個(gè)空開(kāi)始向右是這個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字的乘積的2倍，然后相加即為這個(gè)兩位數(shù)的平方，根據(jù)此規(guī)律求解即可；（2）設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6，根據(jù)圖3，利用十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的乘積的2倍的關(guān)系列出方程用m表示出n，然后寫(xiě)出即可．【解答】解：（1）觀察圖1可知，第一行從右向左分別為個(gè)位數(shù)和十位數(shù)字的平方，每個(gè)數(shù)的平方占兩個(gè)空，平方是一位數(shù)的前面的空用0填補(bǔ)，第二行從左邊第2個(gè)空開(kāi)始向右是這個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字的乘積的2倍，然后相加即為這個(gè)兩位數(shù)的平方，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為：10x+7，∴2×7x＝84，解得：x＝6，答：這個(gè)數(shù)為67；（2）由題意得m＝6，2mn＝10，解得m＝6，n＝5，所以這個(gè)兩位數(shù)是56．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，仔細(xì)觀察圖形，觀察出前兩行的數(shù)與兩位數(shù)的十位和個(gè)位上的數(shù)字的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．41．（2022春?拱墅區(qū)期末）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提取公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．（1）因式分解：①x2﹣y2+x+y；②ab﹣a﹣b+1；（2）若a，b都是正整數(shù)且滿足ab﹣a﹣b﹣6＝0，求2a+b的值．【分析】（1）①分別將第一、二項(xiàng)，第三、四項(xiàng)結(jié)合，連續(xù)兩次提取公因式便可達(dá)到分解因式的目的；②分別將第一、二項(xiàng)，第三、四項(xiàng)結(jié)合，連續(xù)兩次提取公因式便可達(dá)到分解因式的目的；（2）通過(guò)因式分解把原方程化成兩個(gè)因式的積等于一個(gè)常數(shù)的形式，再根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)求解便可．【解答】解：（1）①原式＝（x2﹣y2）+（x+y）＝（x+y）（x﹣y）+（x+y）＝（x+y）（x﹣y+1）；②原式＝（ab﹣a）+（﹣b+1）＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）＝（b﹣1）（a﹣1）；（2）∵ab﹣a﹣b﹣6＝0，∴ab﹣a﹣b+1﹣1﹣6＝0，∴（ab﹣a）+（﹣b+1）+（﹣1﹣6）＝0，∴a（b﹣1）﹣（b﹣1）﹣7＝0，∴（b﹣1）（a﹣1）＝7，∵a，b都是正整數(shù)，∴或，∴或，當(dāng)時(shí)，2a+b＝12；當(dāng)時(shí)，2a+b＝18；綜上，2a+b＝12或18．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解及其應(yīng)用，關(guān)鍵讀懂樣例和靈活應(yīng)用分組分解法解題．42．（2022春?“用乘法公式分解因式”中這樣寫(xiě)到：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式．再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、或小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m+1）（m﹣5）；（2）求代數(shù)式﹣a2+8a+1的最大值；（3）當(dāng)a、b為何值時(shí)，多項(xiàng)式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+有最小值，并求出這個(gè)最小值；（4）設(shè)a為實(shí)數(shù)，b為正整數(shù)，當(dāng)多項(xiàng)式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+取得最小整數(shù)時(shí)，則a＝或，b＝1．【分析】（1）利用配方法分解因式；（2）利用配方法變式，再根據(jù)平方的性質(zhì)求最大值；（3）利用配方法變式，再根據(jù)平方的性質(zhì)求最小值；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，結(jié)合a，b的取值范圍求解．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣32＝（m+1）（m﹣5）；故答案為：（m+1）（m﹣5）；（2）∵﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17≤17，∴當(dāng)a＝4時(shí)，﹣a2+8a+1的最大值是17．（3）原式＝a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1+b2+2b+＝（a﹣2b+1）2+（b+1）2+≥．此時(shí)有：，解得：，所以當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣1時(shí)，這個(gè)最小值為．（4）∵b為正整數(shù)，∴由（3）得：原式≥，原式取得的最小整數(shù)值是5，當(dāng)（a﹣2b+1）2+（b+1）2+＝5時(shí)（a﹣2b+1）2+（b+1）2＝∵b為正整數(shù)，∴b+1＝2，∴（a﹣2b+1）2＝解得：a＝或a＝∴b＝1，a＝或a＝．故答案為：或；1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法進(jìn)行因式分解，求代數(shù)式的最值，理解完全平方式是解題的關(guān)鍵．43．（2022春?金東區(qū)期末）通常情況下，a+b不一定等于ab，觀察下列幾個(gè)式子：第1個(gè)：2+2＝2×2；第2個(gè)：3+＝3×；第3個(gè)：4+＝4×…我們把符合a+b＝ab的兩個(gè)數(shù)叫做“和積數(shù)對(duì)”．（1）寫(xiě)出第4個(gè)式子．（2）寫(xiě)出第n個(gè)式子，并檢驗(yàn)．（3）若m，n是一對(duì)“和積數(shù)對(duì)”，求代數(shù)式的值．【分析】（1）、（2）根據(jù)已知條件得出的規(guī)律，直接寫(xiě)即可．（3）m，n是一對(duì)“和積數(shù)對(duì)”，所以可設(shè)m+n＝mn＝x，化簡(jiǎn)式子，代入再化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1）第4個(gè)式子為5+＝5×；（2）第n個(gè)式子（n+1）+＝（n+1）×；檢驗(yàn)：左邊＝+＝＝右邊；（3）∵m，n是一對(duì)“和積數(shù)對(duì)”，∴m+n＝mn，設(shè)m+n＝mn＝x，原式＝＝＝；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義和化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義的規(guī)律解決問(wèn)題鞏固鞏固提升一、單選題1．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解可得．【詳解】解：原式．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，掌握提取公因式的方法和公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義逐一判斷即可：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式叫做因式分解．【詳解】解：A、右邊不是積的形式，不是因式分解，不合題意；B、不是多項(xiàng)式，不是因式分解，不合題意；C、是因式分解，符合題意；D、是多項(xiàng)式的乘法，不是因式分解，不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的概念，熟練掌握因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式的積的形式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）多項(xiàng)式可因式分解成，其中、、均為整數(shù)，求的值為()A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意將多項(xiàng)式因式分解，即可得出的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵∴或∴或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·浙江寧波·七年級(jí)校考期中）下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)逐項(xiàng)分析判斷即可【詳解】解：A.，不能用完全平方公式因式分解，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，不能用完全平方公式因式分解，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，不能用完全平方公式因式分解，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，能用完全平方公式因式分解，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)熟練掌握是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如果，那么代數(shù)式的值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】先提公因式，將原式化為：，進(jìn)一步整理為：，再將代入，即可得到答案．【詳解】,，，∵，∴，，，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用整體代入法求多項(xiàng)式的值，理清題意，對(duì)所求多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）多項(xiàng)式分解因式為，其中，，為整數(shù)，則的取值有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】把12分解為兩個(gè)整數(shù)的積的形式，a等于這兩個(gè)整數(shù)的和．【詳解】解：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；∴的取值有個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用十字相乘法進(jìn)行因式分解．能夠得出m、n之積為12，m、n之和為a是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有三種規(guī)格的卡片共9張，其中邊長(zhǎng)為的正方形卡片1張，邊長(zhǎng)為的正方形卡片4張，長(zhǎng)，寬分別為，的長(zhǎng)方形卡片4張．現(xiàn)使用這9張卡片拼成一個(gè)大的正方形，則這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算大正方形的面積，因式分解即可得到邊長(zhǎng)．【詳解】解：大正方形的面積為，∴大正方形的邊長(zhǎng)為，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，正確理解題意列得面積進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為（）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)，可得：，據(jù)此求出m、n的值各是多少，然后代入即可．【詳解】解：，，，，，，解得：，，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，以及偶次方的非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握解題的方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若能分解成兩個(gè)一次因式的積，則的值為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先設(shè)原式，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：原式故，，，解得：，，或，，，∴．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確得出等式是解題關(guān)鍵．二、填空題10．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）因式分解_____．【答案】【分析】利用提公因式法求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查提公因式法分解因式，找準(zhǔn)公因式是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）分解因式：______．【答案】【分析】直接利用提取公因式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用提公因式法因式分解，正確確定公因式成為解答本題的關(guān)鍵12．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，則的值是_____．【答案】【分析】將代數(shù)式因式分解，然后代入，即可求值．【詳解】解：∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：，，則的結(jié)果是______．【答案】【分析】先將原式用直接提取公因式法分解因式，再將，代入，即可求出結(jié)果．【詳解】解：，將，代入，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直接提取公因式法分解因式以及代數(shù)式求值，熟練掌握直接提取公因式法分解因式是解題關(guān)鍵．14．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)二次二項(xiàng)式分解后其中的一個(gè)因式為，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的二次二項(xiàng)式______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)因式分解的結(jié)果，乘以一個(gè)單項(xiàng)式即可求解．【詳解】解：∵，∴出一個(gè)滿足條件的二次二項(xiàng)式可以是：（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解與整式乘法的聯(lián)系，掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m，寬為n的全等小長(zhǎng)方形，且（以上長(zhǎng)度單位：cm）．觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為_(kāi)_____________．【答案】【分析】根據(jù)圖中的面積關(guān)系，兩個(gè)大正方形、兩個(gè)小正方形和5個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和等于大長(zhǎng)方形的面積．【詳解】解：由圖形可知，表示所有部分面積之和，整體來(lái)看面積為：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，理解題意，列出正確的代數(shù)式，再由圖形的特點(diǎn)求解是解題關(guān)鍵．16．（2023春·浙江·七年級(jí)期中）若，且，則___________．【答案】6【詳解】根據(jù)平方差公式因式分解，即可求出答案．【分析】解：∵，且，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式．17．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）多項(xiàng)式的公因式是________．【答案】【分析】多項(xiàng)式找公因式的要點(diǎn)是：（1）公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．【詳解】解：多項(xiàng)式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6，各項(xiàng)都含有的相同字母是a、b，字母a的指數(shù)最低是1，字母b的指數(shù)最低是1，所以它的公因式是.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的確定，熟練掌握找公因式有三大要點(diǎn)是求解的關(guān)鍵．18．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式__________【答案】【分析】原式先提取x，再分組，利用因式分解，代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握分組分解法以及提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，則