量子力學(xué)第二章第1頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（一）微觀粒子的基本屬性--波粒二象性（二）粒子狀態(tài)經(jīng)典描述的失效

---測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（三）波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋(四)波函數(shù)的性質(zhì)第2頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（一）微觀粒子的基本屬性--波粒二象性光:1）是電磁波,具有干涉、衍射現(xiàn)象，有波動(dòng)光學(xué)。2）是粒子，稱為光子，Einstein的光量子論，光電效應(yīng)，Compton散射實(shí)驗(yàn)。電子：1）是粒子，有質(zhì)量、電荷，有顆粒性。2）是波，deBroglie假設(shè)，Davisson和Germer電子衍射實(shí)驗(yàn)。經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等，和“顆粒性”的屬性;粒子意味著2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。第3頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、電子衍射實(shí)驗(yàn)1.入射電子流強(qiáng)度小，電子一個(gè)一個(gè)發(fā)射，開(kāi)始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣;2.

入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.電子源感光屏OPPQQO微觀粒子究竟是粒子還是波呢？電子既有粒子性又有波動(dòng)性第4頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)比較經(jīng)典粒子、經(jīng)典波與微觀粒子的粒子性和波動(dòng)性的區(qū)別（1）子彈雙縫實(shí)驗(yàn)1(x)和2(x)分別為縫１和縫２單獨(dú)打開(kāi)時(shí)靶上子彈密度分布，12(x)為兩縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)子彈密度分布。12(x)

=1(x)+2(x)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：子彈通過(guò)兩縫的事件相互獨(dú)立，無(wú)干涉現(xiàn)象，子彈通過(guò)狹縫表現(xiàn)出經(jīng)典粒子的行為。第5頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)聲波雙縫干涉實(shí)驗(yàn)1(x)和2(x)分別為縫1和縫2單獨(dú)打開(kāi)時(shí)吸音板上聲波的強(qiáng)度分布，12(x)為兩縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)吸音板上聲波的強(qiáng)度分布。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：12(x)1(x)+2(x)，出現(xiàn)干涉現(xiàn)象。干涉現(xiàn)象出現(xiàn)的原因：兩列聲波相干疊加第6頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)S1S2電子源感光屏P

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：1）在計(jì)數(shù)器上接收電子是一個(gè)一個(gè)的，電子槍發(fā)出一個(gè)電子，接收器上從來(lái)沒(méi)有在兩個(gè)以上地方同時(shí)接受到電子的一部分。電子表現(xiàn)出“粒子性”。2）電子表現(xiàn)出的干涉是自己與自己的干涉，不是不同電子之間的干涉，“波動(dòng)性”是單個(gè)電子的行為。問(wèn)題：一個(gè)電子怎樣通過(guò)雙縫產(chǎn)生干涉現(xiàn)象呢？第7頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩種錯(cuò)誤的看法1）波由粒子組成如水波，聲波，由電子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。O事實(shí)上，正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子（只含一個(gè)電子！）中電子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。3、微觀粒子的波粒二象性第8頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長(zhǎng)）平面波的迭加。平面波描寫(xiě)自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是沒(méi)有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。 實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1?。

第9頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波。但是我們也可以說(shuō)，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一”。這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。與物質(zhì)相互作用時(shí)，表現(xiàn)粒子性；運(yùn)動(dòng)過(guò)程中體現(xiàn)波動(dòng)性。這就是微觀粒子的基本屬性。第10頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）粒子狀態(tài)經(jīng)典描述的失效---測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系經(jīng)典力學(xué)描述一個(gè)粒子的狀態(tài)：用兩個(gè)物理量，

Heisenberg不確定性原理：同時(shí)精確知道一個(gè)粒子的位置和動(dòng)量是不可能的，其不確定程度滿足如下關(guān)系：xph稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。

測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是一個(gè)基本規(guī)律，它是微觀粒子波粒二象性的反映。由此可知，經(jīng)典的軌道概念將不復(fù)存在，用描述狀態(tài)的方式失效。第11頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（三）波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋1.波函數(shù)稱為deBroglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。描寫(xiě)自由粒子的平面波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě)，而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě)，一般記為：描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。第12頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目， 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在r點(diǎn)附近的幾率在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上

2.波函數(shù)的Born幾率解釋1926年Born提出了幾率波的概念,用波函數(shù)把波粒二象性統(tǒng)一描述。第13頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此，描寫(xiě)粒子的波是幾率波，反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù)Ψ(r,t)也稱為幾率幅。 假設(shè)衍射波波幅用Ψ(r,t)描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則用|Ψ(r,t)|2

描述，但意義與經(jīng)典波不同。|Ψ(r,t)|2的意義是代表電子t時(shí)刻出現(xiàn)在r點(diǎn)附近幾率的大小，確切的說(shuō)，|Ψ(r,t)|2ΔxΔyΔz表示t時(shí)刻在r點(diǎn)處，體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，顯然，Ψ(r,t)本身不是可觀測(cè)量，|Ψ(r,t)|2是可觀測(cè)量。

量子力學(xué)的基本假設(shè)（原理）1：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有波函數(shù)完全描述。第14頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（四）波函數(shù)的性質(zhì)

在t時(shí)刻，r點(diǎn)，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t)描寫(xiě)的粒子的幾率是：dW(r,t)=|Ψ(r,t)|2dτ，其中C是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1）幾率和幾率密度在t時(shí)刻r點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：

ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=|Ψ(r,t)|2

稱為幾率密度。在體積V內(nèi)，t時(shí)刻找到粒子的幾率為：W(t)=∫VdW=∫Vω(r，t)dτ=∫V|Ψ(r,t)|2dτ第15頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2） 單值、連續(xù)、平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：

∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,要求描寫(xiě)粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對(duì)值平方可積的函數(shù)。注意：自由粒子波函數(shù)不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問(wèn)題，以后再予以討論。第16頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）歸一化波函數(shù)

這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來(lái)的2倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來(lái)的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無(wú)歸一化問(wèn)題。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描寫(xiě)狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這里的C是常數(shù)。因?yàn)樵趖時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)r1和r2處找到粒子的相對(duì)幾率之比是：

由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子狀態(tài)不變，即

Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見(jiàn)，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。第17頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四歸一化常數(shù)

若Ψ(r,t)沒(méi)有歸一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數(shù)），則有∫∞|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1

也就是說(shuō)，(A)-1/2Ψ(r,t)是歸一化的波函數(shù)，與Ψ(r,t)描寫(xiě)同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。

注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數(shù)，那么，exp{iα}Ψ(r,t)也是歸一化波函數(shù)（其中α是實(shí)數(shù)），與前者描述同一幾率波。第18頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）平面波歸一化IDirac-函數(shù)定義：或等價(jià)的表示為：對(duì)在x=x0鄰域連續(xù)的任何函數(shù)f（x）有：—函數(shù)亦可寫(xiě)成Fourier積分形式：令k=px/,dk=dpx/,則性質(zhì)：0x0x第19頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四II平面波歸一化寫(xiě)成分量形式t=0時(shí)的平面波考慮一維積分若取A122=1，則A1=[2]-1/2,于是平面波可歸一化為函數(shù)第20頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三維情況：其中注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫(xiě)的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。第21頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作業(yè)補(bǔ)充題第22頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2態(tài)疊加原理

（一）動(dòng)量分布幾率粒子處在狀態(tài)Ψ（r）:在空間點(diǎn)找到粒子的幾率正比于|Ψ(r)|2。

問(wèn)題：在該狀態(tài)測(cè)量粒子的動(dòng)量，情況如何呢？

1、設(shè)Ψ為單色平面波(波長(zhǎng)為、頻率為），則按照deBroglie關(guān)系，粒子的動(dòng)量為p=h/，能量為E=h。

2、設(shè)Ψ為一個(gè)波包，由許多平面單色波疊加而成，即含有各種波長(zhǎng)的分波，在數(shù)學(xué)上，有Fourier展開(kāi)（平面波展開(kāi)）：其中

幾率波的概念認(rèn)為：展開(kāi)式表示Ψ是平面波以一定的幾率幅(p)疊加而成，或者說(shuō)，在該波包中含有動(dòng)量為p的平面波的幾率為|(p)|2

。第23頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、用晶體衍射實(shí)驗(yàn)測(cè)量電子的動(dòng)量d

設(shè)動(dòng)量為p的電子，即波長(zhǎng)為=h/p的平面波，垂直入射到單晶表面，則衍射波沿一定的角度n出射，n由Bragg公式?jīng)Q定:此式給出了衍射角n與入射粒子動(dòng)量的關(guān)系，如1與p的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由此，可以通過(guò)1測(cè)出入射粒子的動(dòng)量。

設(shè)入射波是一個(gè)波包，那么，它的每一個(gè)分波（平面波）將按照各自的角分布n出射，衍射波分解成一個(gè)波譜，在足夠遠(yuǎn)處，它們?cè)诳臻g上分開(kāi)。由衍射波譜得到兩個(gè)信息：（1）入射波中含有哪些波長(zhǎng)成分，或者說(shuō)有哪些動(dòng)量成分（入射粒子動(dòng)量可能取哪些值）。(--說(shuō)明上述論斷）第24頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

（2）衍射波譜中每種成分的強(qiáng)度|f(1

)|2正比于相應(yīng)的出射波的波幅f(1)，從而正比于入射波包中相應(yīng)的Fourier分波的波幅|(p)|2。

在衍射圖樣中，衍射條紋的強(qiáng)度|f(1)|2，對(duì)大量粒子入射的情況來(lái)說(shuō)，它正比于沿1方向出射的粒子數(shù)，對(duì)單個(gè)粒子入射來(lái)說(shuō)，它對(duì)應(yīng)于粒子沿1方向出射的幾率。衍射圖樣反映出，入射粒子有多種可能的方向出射，并且，沿1方向出射的幾率為|f(1)|2。即，對(duì)于一個(gè)入射粒子，在1方向測(cè)到的幾率

|f(1

)|2

|(p)|2。

根據(jù)1與p的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以說(shuō),入射粒子動(dòng)量為p的幾率

|(p)|2。由此，得出如下結(jié)論：

處在狀態(tài)Ψ(r)的粒子，其動(dòng)量在pp+dp范圍內(nèi)的幾率為|(p)|2dp。第25頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(二)量子態(tài)及其表象

對(duì)于一個(gè)粒子，當(dāng)描述它的波函數(shù)給定后，如測(cè)量其位置，則粒子位于點(diǎn)的幾率密度為2。如測(cè)量其動(dòng)量，則測(cè)得其動(dòng)量為的幾率密度為。與由變換相聯(lián)系。

實(shí)際上，當(dāng)給定后，粒子所有力學(xué)量的測(cè)值幾率分布就確定了。所以說(shuō)，完全描述了一個(gè)三維空間中粒子的量子態(tài)。波函數(shù)也稱為態(tài)函數(shù)，或幾率波幅。由于與一一對(duì)應(yīng)，可以完全等價(jià)地描述同一量子態(tài)。因此，粒子的量子態(tài)可以用不同自變量的函數(shù)等價(jià)的描述，稱為不同表象。：坐標(biāo)表象中的波函數(shù)。：動(dòng)量表象中的波函數(shù)。第26頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若Ψ(r)已歸一化，則(p)也是歸一化的第27頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（三）態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。第28頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

考慮一個(gè)粒子處于用波包描述的量子態(tài)，數(shù)學(xué)上通過(guò)Fourier變換可以表示成若干平面波的疊加：其中的每一個(gè)平面波描述粒子具有確定動(dòng)量的量子態(tài)。

實(shí)驗(yàn)上測(cè)量該粒子的動(dòng)量時(shí)，可以得到多個(gè)不同的動(dòng)量值，即展開(kāi)式中所包含的每一個(gè)平面波對(duì)應(yīng)的動(dòng)量值，并且，得到每一個(gè)動(dòng)量值的相對(duì)幾率是確定的。

怎樣理解這樣的測(cè)量結(jié)果呢？

波包所描述的量子態(tài)是粒子具有確定動(dòng)量值的若干量子態(tài)的線性疊加，粒子以確定的相對(duì)幾率處在這些動(dòng)量取確定值的態(tài)。第29頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四態(tài)疊加原理一般表述：若Ψ1，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。

處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...

一般情況下，如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài)，其中C1和C2是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。第30頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)（一）力學(xué)量平均值（1）坐標(biāo)平均值（2）動(dòng)量平均值（二）力學(xué)量算符 （1）動(dòng)量算符 （2）動(dòng)能算符 （3）角動(dòng)量算符 （4）Hamilton算符第31頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（一）力學(xué)量平均值在統(tǒng)計(jì)物理中知道，

當(dāng)可能值為離散值時(shí):一個(gè)物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和；

當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分。

基于波函數(shù)的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。第32頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）坐標(biāo)平均值為簡(jiǎn)單計(jì)，省去時(shí)間ｔ變量（或者說(shuō)，先不考慮隨時(shí)間的變化）,設(shè)ψ(x)是歸一化波函數(shù)，|ψ(x)|2是粒子出現(xiàn)在x點(diǎn)的幾率密度，則對(duì)三維情況，設(shè)ψ(r)是歸一化波函數(shù)，|ψ(r)|2是粒子出現(xiàn)在r點(diǎn)的幾率密度，則x的平均值為（2）動(dòng)量平均值一維情況：令ψ(x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動(dòng)量表象波函數(shù)為第33頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）力學(xué)量算符由于量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)完全不同，它是用波函數(shù)描寫(xiě)狀態(tài)，所以力學(xué)量也必須改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式（稱為第一次量子化）。（1）動(dòng)量算符既然ψ(x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動(dòng)量表象波函數(shù)為c(px)一一對(duì)應(yīng)，相互等價(jià)的描述粒子的同一狀態(tài)，那末動(dòng)量的平均值也應(yīng)可以在坐標(biāo)表象用ψ(x)表示出來(lái)。但是ψ(x)不含px變量，為了能由ψ(x)來(lái)確定動(dòng)量平均值，動(dòng)量px必須改造成只含自變量x的形式，這種形式稱為動(dòng)量px的算符形式，記為第34頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一維情況：第35頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四比較上面二式得兩點(diǎn)結(jié)論：體系狀態(tài)用坐標(biāo)表象中的波函數(shù)ψ(r)描寫(xiě)時(shí)，坐標(biāo)x的算符就是其自身，即說(shuō)明力學(xué)量在自身表象中的算符形式最簡(jiǎn)單。而動(dòng)量px在坐標(biāo)表象（非自身表象）中的形式必須改造成動(dòng)量算符形式：三維情況：第36頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由歸一化波函數(shù)ψ(r)求力學(xué)量平均值時(shí)，必須把該力學(xué)量的算符夾在ψ*(r)和ψ(r)之間,對(duì)全空間積分，即F是任一力學(xué)量算符第37頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）動(dòng)能算符（3）角動(dòng)量算符第38頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）Hamilton算符第39頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作業(yè)補(bǔ)充題第40頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4Schr?dinger方程（一）引進(jìn)方程的基本考慮（二）自由粒子的運(yùn)動(dòng)方程（三）勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子的Schr?dinger方程（四）多粒子體系的Schr?dinger方程第41頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這些問(wèn)題在1926年Schr?dinger提出了波動(dòng)方程之后得到了圓滿解決。微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫(xiě)微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問(wèn)題就是要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。第42頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（一）引進(jìn)方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻t粒子的狀態(tài)r和p。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經(jīng)典情況第43頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）量子情況3．方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。1．因?yàn)閠=t0時(shí)刻，已知的初態(tài)是ψ(r,t0)且只知道這樣一個(gè)初條件，所以，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含ψ對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2．ψ要滿足態(tài)疊加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那末ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說(shuō)方程中只能包含ψ、ψ對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和對(duì)坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不能含它們的平方或開(kāi)方項(xiàng)。第44頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）自由粒子運(yùn)動(dòng)方程這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量E。將Ψ對(duì)坐標(biāo)二次微商，得：描寫(xiě)自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對(duì)t微商，得：第45頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四滿足上述構(gòu)造方程的三個(gè)條件討論：通過(guò)引出自由粒子波動(dòng)方程的過(guò)程可以看出，如果能動(dòng)量關(guān)系式E=p2/2μ寫(xiě)成如下方程形式：即得自由粒子運(yùn)動(dòng)方程（3）。(1)–(2)式，得然后，做算符替換：第46頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（三）勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)粒子的Schr?dinger方程該方程稱為Schr?dinger方程，也常稱為波動(dòng)方程。它描述微觀世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。若粒子處于勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)做算符替換第47頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（四）多粒子體系的Schr?dinger方程設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，質(zhì)量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數(shù)記為ψ(r1,r2,...,rN;t)第i個(gè)粒子所受到的外場(chǎng)Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schr?dinger方程可表示為：第48頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四多粒子體系Hamilton量對(duì)有Z個(gè)電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對(duì)第i個(gè)電子的Coulomb吸引能為：例如：第49頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5幾率守恒，幾率流密度（一）定域幾率守恒（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)第50頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（一）定域幾率守恒考慮低能非相對(duì)論實(shí)物粒子情況，因沒(méi)有粒子的產(chǎn)生和湮滅問(wèn)題，粒子數(shù)保持不變。對(duì)一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。粒子在t時(shí)刻r點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：

Schr?dinger方程能否給出這一結(jié)論？第51頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證：考慮Schr?dinger方程及其共軛式：第52頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量J是幾率流密度，是一矢量。所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。令Eq.（7）τ趨于∞，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.（7）變?yōu)椋浩湮⒎中问脚c流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同使用Gauss定理單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)τ的封閉表面S流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）τ內(nèi)的幾率S第53頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1）這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。（2）以μ乘連續(xù)性方程兩邊，得到：量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：表明電荷總量不隨時(shí)間改變質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度矢量電荷密度和電流密度矢量第54頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)（1）由Born的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫(xiě)粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ（2）已知ψ(r,t)，則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說(shuō)，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。（3）知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schr?dinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。1、波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)2、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋?duì)?r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在r點(diǎn)的幾率，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求ψ(r,t)應(yīng)是r,t的單值函數(shù)且有限。第55頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

含有ψ及其對(duì)坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要使積分有意義，ψ必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。

波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。（2）根據(jù)幾率數(shù)守恒定律:第56頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期四量子力學(xué)基本假定I、II量子力學(xué)基本假定I： 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)