43三角形邊和角關系的探索教材分析初中已研究過解直角三角形，這節所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關系，并且應用正、余弦定理和三角形內角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進而得出一般性的結論．余弦定理的推證采用向量的數量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內角聯系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質．當然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．這節課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發現定理、推證定理以及用定理解決實際問題．任務分析這節內容是在初中對三角形有了初步認識的基礎上，進一步研究三角形的邊、角之間的等量關系．對正弦定理的推導，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進，學生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結合起來應用，經常能很好地解決三角形中的有關問題．教學目標1.理解正、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理．2.能運用正、余弦定理解斜三角形．3.理解并初步運用數學建模的思想，結合解三角形的知識，解決生產、生活中的簡單問題．教學設計一、問題情景1.A，B兩地相距2558m，從A，B兩處發出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖43-1），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？2.如圖43-2，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構，設計時應計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m，AB與水平的夾角為6°20′，AC長為1.40m，計算BC的長．（精確到0.01m）問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型柱1.教師畫引導學生分攔析討論吃在問題情景粥（1）中，惜已知在英△襯ABC閉中，襪∠禿A聽＝72.3養°，另∠瀉B界＝76.5免°，AB＝兵2558m悲．求AC，句BC的長．呀組織學生討予論如何利用朝已知條件求階出AC，B晉C的長度．楊（讓學生思夸考，允許有殼不同的解法雄）雁結論：如圖稈40-3，寨作AD賞⊥訓BC矩，垂足為D擴．由三角函忠數的定義，肺知AD＝A脆C·sin曲C，AD＝疏AB·si兄nB．劇由此可得A蟲C·sin裙C＝AB·風sinB．貴又由殊∠餅A聲，級∠半B少的度數可求冤∠命C柱的度數，代威入上式即可鼠求出AC的估長度，同理合可求BC的受長度．教師明晰：輸（1）當俯△征ABC殲為直角三角拉形時，由正杜弦函數的定撫義，得幅（2）當敵△答ABC靜為銳角三角禾形時，設A牢B邊上的高危為CD，根虧據三角函數董的定義，得殿CD＝as影inB＝b塊sinA，僚所以丑，同理妨.奸（3）當套△役ABC酸為鈍角三角秀形時，結論虎是否仍然成靠立？引導學琴生自己推出朋．（詳細給躬出解答過程固）勻事實上，當趁∠啊A悉為鈍角時，勇由（2）易伏知厘.醫設BC邊上鎮的高為CD如，則由三角楚函數的定義怨，得鮮CD＝as切inB＝b腥sin（1畏80°－A俊）．酬根據誘導公敬式，知si圓n（180灰°－A）＝境sinA，稱∴肆asinB虛＝bsin睬A，即泊.敢正弦定理腦在一個三角宴形中，各邊邪和它所對角欠的正弦的比跡相等，即宵.放正弦定理指恩出了任意三慚角形中三條改邊與它對應鵲角的正弦之拖間的一個關據系式，描述按了任意三角拴形中邊、角俱之間的一種擋數量關系．坦思考：正弦甘定理可以解沒決有關三角稠形的哪些問肺題？瞧2.組織過學生討論問口題情景（2幸）君這一實際問允題可化歸為等：已知顫△魚ABC朱的邊AB＝寇1.95，無AC＝1.授4，夾角為惕6°20′慮，求BC的該長．把組織學生討響論：能用什逗么方法求出免BC？（學瓦生有可能有淡多種不同的圓解法）雷教師明晰：屬如果已知三柜角形的兩邊閱和夾角，這灑個三角形為在確定的三角盤形，那么怎防樣去計算它破的第三邊呢拌？由于涉及糊邊長及夾角表的問題，故顯可以考慮用鋪平面向量的圣數量積．（貴也可用兩點婆間的距離公筋式）皆如圖，設會＝a，旗＝b，承＝c，則c婚＝a－b．環∵棒｜c｜謝2猛＝c·c＝喊（a－b）我·（a－b死）＝ａ落2饑＋ｂ憲2熄－2abc忍osC，踐∴就c棉2晚＝ａ撫2撒＋b嘩2翠－2abc來osC．劉同理a傘2療＝b兼2沉＋c引2善－2bcc炒osA，b忙2沸＝c稿2塔＋a鼻2仗－2acc噴osB．例于是得到以住下定理：飾余弦定理沫三角形中任折何一邊的平肯方等于其他置兩邊的平方背的和減去這暑兩邊與它們術的夾角的余糞弦的積的兩洋倍．即狡a談2畫＝b豈2做＋c誦2蠟－2bcc幟osA，溜b京2撲＝c領2傍＋a茅2秘－2acc隙osB，慌c堆2際＝a裁2靠＋b被2秒－2abc惠osC．坡思考：余弦寸定理可以解敢決一些怎樣題的解三角形創問題？恐3.進一扶步的問題頑勾股定理指閘出了直角三下角形中三邊匯之間的等量敏關系，余弦氣定理則指出烘了一般三角蘋形三邊之間悅的等量關系氧，那么這兩勁個定理之間夾存在怎樣的或關系？如何這利用余弦定雖理來判斷三魯角形是銳角飛三角形還是賀鈍角三角形既？鵲三、解釋應瓜用［例題］脊1.（1并）已知：在袖△株ABC孫中，A＝3誤2.0°，崖B＝81.連8°，ａ＝以42.9c候m指，解三角形晝．跑（2）已知中：在薪△加ABC叔中，ａ＝咐20cm具，ｂ＝擠28cm俯，A＝40聚°，解三角時形．（角精略確到1°，你邊長精確到棉1cm午）載分析：（1步）本題為給斑出三角形的郊兩角和一邊出解三角形問蠢題，可由三償角形內角和矛定理先求出頸第三個角，恩再兩次利用寇正弦定理分瑞別求出另兩蕩邊．幻（2）本題曾給出了三角態形的兩邊及叢其中一邊的摧對角，于是約可用正弦定禾理求出b邊盆的對角B的令正弦，si安nB≈0.盾8999，料但0＜B＜趟π，故Ｂ角貼有兩個值（騎如圖43-店8），從而南C角與c邊釘的取值也有造兩種可能．營學生在解題星時容易丟掉熊一組解，應船引導學生從蜜圖形上尋找輝漏掉的解．刷2.（1況）已知：在癥△沾A準BC中，已治知b＝涂60cm丹，c＝陷34cm界，A＝41縱°，解三角豈形．（角精棕確到1°，揀邊長精確到疤1cm屈）致（2）已知戚：在悄△岡ABC能中，ａ＝腰134.6衛cm銳，ｂ＝抄87.8c覽m策，ｃ＝糾161.7燥cm標，解三角形籍．（角精確語到1′）．竄分析：本例愈中的（1）印題，給出了知兩邊及其夾葵角，可先用剩余弦定理求雹出第三邊，據求其他兩角姥時既可用余儀弦定理也可鐮用正弦定理糧．（2）題稅給出了三邊悶長，可先用央余弦定理求陳出其中一角戰，然后同樣窮既可用正弦旨定理，也可烏用余弦定理罩求出其他兩騰角．疾3.AB喘是底部B不該可到達的建而筑物，A為籃建筑物的最半高點．設計丹一種測量建犧筑物高度A撒B的方法．菊分析：由于唐建筑物的底而部B是不可庭到達的，所鄭以不能直接完測量出建筑遞物的高．由野解直角三角間形的知識，傷只要能知道毯一點C到建飯筑物頂部A手的距離CA盾，并能測出負由點C觀察咱A的仰角，朗就可以計算眾出建筑物的牲高．為了求宅出CA的長執，可選擇一撓條水平基線竭HG（如圖勻43-9）晚，使H，G哭，B三點在宋同一條直線釘上．在G，酬H兩點用測王角儀器測得其A的仰角分告別為α，β圾，設CD＝胃ａ，測角儀歌器的高為ｈ附，則在晚△佳ACD械中，由正弦卡定理，得協，sin（漢α－β），核從而可求得類AB＝AE漸＋h＝AC傲sinα＋暴h＝備＋h．［練習］營1.在記△虎ABC主中，已知下念列條件，解歉三角形．（刻角精確到1鋪°，邊長精銜確到凝1cm捐）美（1）A＝橋45°，C蜜＝30°，澡ｃ＝嚇10cm破．登（2）A＝持60°，B怕＝45°，西ｃ＝聲20cm啄．于（3）ａ＝啊20cm伐，ｂ＝商11cm殺，B＝30挑°．退（4）ｃ＝滲54cm啟，ｂ＝榴39cm忙，ｃ＝11戲5°．振2.在對△似ABC掠中，已知下炒列條件，解殖三角形．（襖角精確到0佛.1°，邊敗長精確到堤0.1cm扶）碧（1）ａ＝程2.7cm跪，ｂ＝啦3.696蛇cm盒，C＝82夾.2°．散（2）ｂ＝窄12.9c座m畝，ｃ＝再15.4c而m庫，A＝42脈.3°．底（3）ａ＝詞7cm惹，ｂ＝裳10cm回，ｃ＝包6cm辜．餡四、拓展延織伸雨1.在球△趙ABC延中，有正弦筋定理奏這涉及比值曬的連等式．黨請探索并研抬究掉是一個什么窯樣的量，并及加以證明．怎2.在旦△學ABC臨中，已知三棉邊的長為ａ巾，ｂ，ｃ，的如何判定拉△啟ABC意的形狀？剪3.已知狂：在述△呆ABC洽中，ａ＝6忌0，ｂ＝5乞0，Ａ＝3提8°，求B哨．（精確到脫1°）分析：.谷∵舟0°蘇＜B＜18乖0°，符∴腥B≈31°邀或B≈14宏9°，猴但當B≈1銷49°時，籌A＋B＝1刺87°，這玉與A，B為手三角形內角聰矛盾，故B按角只能取3舍1°．燥由此題與例封1中的（2孝）題的分析略可以發現，莖在已知三角墻形兩邊及其寒一邊對角解駛三角形時，勢在某些條件酒下會出現一女解或兩解的僚情形，那么貿會不會出現喜無解的情形語呢？勒（1）當A憲為鈍角或直貍角，必須滿少足ａ＞ｂ才戲有解（ａ≤倚ｂ無解），散并且由si千nB＝鈴計算B時，炊只能取銳角歌，因此，只光有一解，如蒜圖43-1招0．妹（2）當A惱為銳角時，判①蠶若ａ＞ｂ或攔ａ＝ｂ，則卵由sinB篩＝婚計算B時，撈只能取銳角聾的值，因此唱，只有一解便，如圖40鞏-11．收②馳若ａ＜ｂs嶄inA，則蝴由sinB億＝份，得sin絨B＞1，因渣此，無解．抽如圖43-煉12．清③棋若ａ＝bs鄉inA，則避由sinB彩＝新，得sin警B＝1，即渾Ｂ為直角，折故只有一解炒，如圖43糊-13．霧④僅若ｂ＞ａ＞匪bsinA錄，則sin率B＜1，故脈B可取一個擾銳角和一個撫鈍角的值，哈如圖43-遲14．射思考：若已睡知三角形的剖兩角和一邊棉、三邊、兩柄邊及其夾角蟻來解三角形勢時，它們的溉解會是怎樣原的？點評永這篇案例設渾計，思路清丑晰，突出現解實