二次函數背景下不等式問題解法探究函數問題歷來是高考命題的重點，考查內設計新穎，形式多樣，綜合性強.其中以函數為不等式問題，是知識網絡的一個交匯點，同時也是高考命題的熱點問題之一。探求二次函數背景下的不等式問題，實質是將二次函數的相關性質實行適當轉化，再歸結為某個不等式問題.其中二次函數性質的基本中義和圖象特征，是問題轉化的知識基礎.所以，在實際解題中要注重從概念、圖象出發，實行邏輯分析、推理和判斷，并結合不等式的相關知識求解問題結論。一、借助不等式性質，實現參數代換轉化例1、已知函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,ceR)，當xg[T,1]時If(x)l<1,求證：(1)lbl<1；(2)若g(x)=bx2+ax+c(a,b,ceR)，則當xe[T,1]時，求證:Ig(x)l<2。”，所以，我們能夠把用f(—1)、f”，所以，我們能夠把用f(—1)、f(0)、b或g(x)的確定值，而是與條件相對應的“取值范圍證明：(1)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+cnb=Lf(1)-fJ)，從而有2, 1 1Ibl=-[f(1)-f(-1)]<-(If(1)l+If(-1)I),Mf(1)l<1,lf(-1)l<1,1bl<-(If(1)l+If(-1)l)<1.⑵由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+cnb=2[f(1)-f(-1'a+c=夕f(1)+f(-1),c=f(0),從而”2[f(1)+八-1)-〃0)將以上三式代入 g(x)=bx2+ax+c(a,b,ceR),并整理得Ig(x)l=lf(0)(x2-1)+-f(1)(x+1)+-f(-1)(1-x)l<lf(0)(x2-1)l+1If(1)(x+1)l+1lf(-1)(1-x)I<lx2-1I+Lx+1I+W-=lf(0)Ix2-1I+!lf(1)llx<lx2-1I+Lx+1I+W-xl=1-x2+—(x+1)+—(1-x)=2-x222評析：二次函數的一般式J=ax2+bx+c(c豐0)中有三個參數a,b,c.解題的關鍵在于:通過三個獨立條件“確定”這三個參數.二、借助函數與方程根的關系，巧用零點式出奇招。例2、設二次函數例2、設二次函數，方程 的兩個根滿足時，證明分析：在已知方程 兩根的情況下，根據函數與方程根的關系，能夠寫出函數fQ)-x的表達式，從而得到函數f(X)的表達式.證明：由題意可知f(X)-X=a(X-X)(X一X). 0<x<x<x<1,1 2 1 2aa(x一xa(x一x)(x一x)>0，.二 當12f(x)-X1=a(x一x)(x一x)+x一x=(x一x)(ax一ax2+1)<0,且ax-ax+1>1-ax>0, f(x)<x，綜上可知，所給問題獲證.評析：利用函數與方程根的關系，寫出二次函數的零點式y=a與二次方程根相關的不等式問題效果明顯。三、借助頂點式，對稱軸、最值、判別式顯合力a例3、 已知函數f(X)=2N一不。2x(x-X1)X-X2)，對于求解(1)將y=f(x)的圖象向右平移兩個單位，得到函數y=g(X)，求函數y=g(X)的解析式；(2)函數y=h(X)與函數y=g(X)的圖象關于直線y=1對稱，求函數y=h(x)的解析式;— 1?(3)設F(x)=f(x)+h(x),已知F(x)的最小值是m且m>2+■77，求實數a的取值a范圍。解：⑴gQ)=fQ-2)=2x-2-7a~;2x-2.由點(3a(2)設y=h(x)的圖像上一點P(x,y)，點P(x,y)關于y=1的對稱點為QQ,2-.由點(3a在y=gX))的圖像上，所以2x-2—a―=2—y,于是 y=2—2x-2+2x-2hX))=2-2x-2+-^―；2x-2TOC\o"1-5"\h\z「/、 1”、T/、(1 1)八(4a—1).. _(3)F(x)=一f(x)+h(x)=一一丁2x+- -+2.設t=2x,則a Ia4) 2x4一a4a一1. 4一a 4a一1F(x)=——t+ +2.問題轉化為：——t+ +2>2+<7對t>0恒成立.4at 4a t即 12—x-171+(4a—1)>0對t>0恒成立. (*)4a故必有4-a4aa—t24-a>0.（否則,若二<°'則關于f勺二次函數-Y7t+（4a-1）開口向下，當t充分大時，必有u（t）<0；而當4二=0時，4a顯然不能保證（*）成立.），此時，因為二次函數u（t）=4—at2-<71+（4a-1）的對稱軸4a顯然不能保證4-a，所以，問題等價于At<0，即，所以，問題等價于At<0，即,4_/ 、，解之得:―a-(4a-1)<04a1 --<1 --<a<2.此時 >0,4a-1>0，故F(x)=4a取得最小值m=2；乎?（4a-1）+2滿足條件.4a四、借助函數圖象，數形結合顯神功如對稱性、形象直觀.二次函數f（x）=ax2+bx+c（a豐0）的圖像為拋物線，具有很多優美的性質單調性、凹凸性等.結合這些圖像特征解決相關二次函數的問題，能夠化難為易如對稱性、形象直觀.例4、設二次函數方程的兩個根滿足且函數的圖像關于直線對稱，證明:的兩個根的兩個根解：由題意fQ)-x=ax2+(b-1)x+c.由方程滿足,可得0<x<B<x<11-2a 2a，且一-x-2a 1TOC\o"1-5"\h\zb-1 b-1 1 b-1 b...——-X-X-——<--——，即--<X，故 .—2a 1 2—2a a —2a a 1bb評析： 二次函數的圖像關于直線X-——對稱，特別關系X+X=——也反映了二次2a 1 2a函數的一種對稱性.解題時若能很好地利用這種對稱性，往往會起到簡化問題的目的。(二)利用二次方程根的分布特征轉化例5、 已知二次函數f(X)=aX2+bX+1(a,beR,a>0)，設方程f(x)-x的兩個實數根為A和X屋(1)如果X]<2<x2<4，設函數f(x)的對稱軸為X-X0，求證：X0>-1；(2)如果|xj<2,|x2-xj=2，求b的取值范圍.分析：條件x1<2<x2<4實際上給出了f(x)-x的兩個實數根所在的區間，所以能夠考慮利用上述圖像特征去等價轉化.解：設g(X)-f(x)-x-ax2+(b-1)x+1,則g(X)-0的二根為X]和x2.「g(2)<0 「4a+2b-1<02(1)由a>0及x<2<x<4，可得〈，即〈1 2 [g(4)>0 [16a+4b—3>0「b3TOC\o"1-5"\h\z3+3?————<0, [2a4a b, <a4a分兩式相加得h<1,所以，x>-1；4cb3c 2a 0-4-2?——+——<0,[ 2a4a, 、b-1 4 - < 二——— 1八(2)由(x—x)2=( )2—，可得 2a+1=(b—1)2+1.又xx=>0，所以1 2aa 12a[0<x<2<xx,x同號.?,.|x|<2, |x-x|=2等價于\ 1 .一2 或12 1 2 1 [2a+1-、:(b-1)2+1[x<-2<x<012a+1-1/(b-1)2+[x<-2<x<012a+1-1/(b-1)2+1,即卜⑵>0{g(0)>0I2a+1-J(b-1)2+1,1 ,7b<或b>.44評析：二次函數f(x)的圖像具有連續性，且因為二次方程至多有兩個實數根所以存有實數m,n使得m<n且f(m)f(n)<0o在區間(m,n)上，必存有f(x)-0的唯一的實數根.(三)利用二次函數的單調性例6、 已知二次函數，當例6、 已知二次函數，當時,有,求證：當 時，有 ^分析：研究f(x)的性質，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應該盡量用已知條件來表達參數a,b,c.確定三個參數，只需三個獨立條件，本題可以考慮f(1)，f(-1)，f(0)，這樣做的好處有兩個：一是a,b,c的表達較為簡潔，二是由于土1和0正好是所給條件的區間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數范圍的目的要考慮|fQ］在區間L7,7」上函數值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮fQ］在區間端點和頂點處的函數值.證明：由題意知：f(-1)=a-b+c,f(0)=c,f(1)=a+b+c，1 , 1???〃二yf(1)+f(-1)-2,(0)),b=2(于(1)-f(-1)),c二f(0),r=f(1)I+f(-1)f^1-^1+f(0)(-r=f(1)II2)時，有，可得f(1)<1, i時，有，可得f(1)<1, ifQ1)<1,ifG)<1.A|f(2)|-3fG)+f(-1)-3f3<3|f1+1f(-1)1+3|f(0)|<7,If(-2)|-|fG)+3fQ1)-3f(0)<|f(1)+3|f(-1)|+3|f(0)|<7.(1)若-1^L2,21，則fQ)在L2,2」上單調，故當xeL2,21時2aIf(x)|max-max(|f(-2)|,|f(2)|)a此時問題獲證.(2)若-heL2,2