第1章

二次根式1.1二次根式浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第1頁。1課堂講解二次根式的定義二次根式有意義的條件二次根式的“雙重”非負性(≥0，a≥0)2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第2頁。1知識點二次根式的定義

我們知道，正數的正平方根和零的平方根統稱算術平方根，用(a≥0)表示.

根據下圖所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的條件，完成以下填空：

直角三角形的斜邊長是_____________________；

正方形的邊長是_____________________；知1－導（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第3頁。知1－導等腰直角三角形的腰長是_____________________.你認為所得的各代數式的共同特點是什么?浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第4頁。歸納知1－導

像

這樣表示算術平方根的代數式叫做二次根式.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第5頁。知1－講定義：像

這樣表示算術平方根的代數式叫做二次根式，其中二次根式

中的“”稱為二次根號，a稱為被開方數(式)．要點精析：(1)二次根式的定義是從式子的結構形式上界定的，必須含

有二次根號“”；“”的根指數為2，即

，“2”

一般省略不寫．(2)被開方數a可以是一個數，也可以是一個含有字母的式

子，但前提是a必須大于或等于0.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第6頁。知1－講判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．例1判斷一個式子是不是二次根式，實質是看它是否具備二次

根式定義的條件，緊扣定義進行識別．一看根指數是否為2，二看被開方數(式)是否為非負數．導引：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第7頁。知1－講(1)∵無論x為何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．(2)當0≤0時，－5a≥0，∴是二次根式；

當a＞0時，－5a＜0，∴不是二次根式．∴不一定是二次根式．(3)當x＝－3時，

無意義，∴也無意義；

當x≠－3時，

＞0，解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第8頁。知1－講∴是二次根式．∴不一定是二次根式．(4)當a＝4時，－(a－4)2＝0，∴是二次根式；

當a≠4時，－(a－4)2＜0，∴不是二次根式．∴不一定是二次根式．(5)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第9頁。總結知1－講

二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征：(1)含根號且根指數為2(通常省略不寫)；(2)被開方數(式)為非負數．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第10頁。知1－練下列各式中，一定是二次根式的是（

）1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第11頁。知1－練下列式子不一定是二次根式的是(

)2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第12頁。知1－練下列式子：中，是二次根式的有(

)A．2個B．3個C．4個D．5個3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第13頁。2知識點二次根式有意義的條件知2－講(1)式子

只有在條件a≥0時才叫二次根式．即a≥0是

為二次根式的前提條件.式子

就不是二次根式，

但式子

卻又是二次根式．

（a≥0）實際上就是非負數a的算術平方根，既可

表示開方運算,也可表示運算的結果.同時

（a≥0）

也是一個非負數，我們把這個性質叫做二次根式的

雙重非負性.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第14頁。總結知2－講1.二次根式有意義的條件是被開方數(式)為非負數，反

之也成立，即

有意義?a≥0.2.二次根式無意義的條件是被開方數(式)為負數，反之

也成立，即

無意義?a＜0.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第15頁。知2－講要點精析：(1)如果一個式子含有多個二次根式，那么它有意義的條件

是：各個二次根式中的被開方數(式)都必須是非負數．(2)如果一個式子既含有二次根式又含有分式，那么它有意

義的條件是：二次根式中的被開方數(式)是非負數，分

式的分母不等于0．(3)如果一個式子含有零指數冪或負整數指數冪，那么它有

意義的條件是：底數不為0．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第16頁。知2－講求下列二次根式中字母a的取值范圍.例2解：(1)由a+1≥0，得a≥

-1，所以字母a的取值范圍是大

于或等于-1的實數.(2)由>0，得1-2a>0，即a<.

所以字母a的取值范圍是小于

的實數.(3)因為無論a取何值，都有(a-3)

2≥0,所以a的取值范

圍是全體實數.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第17頁。總

結知2－講

求式子有意義時字母的取值范圍的方法：第一步，明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式，則必須滿足被開方數為非負數；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數同時為非負數；對于零指數冪或負整數指數冪，則必須滿足底數不能為零；對于含有分式的，則必須滿足分母不能為零．第二步，利用式子中所有有意義的條件，建立不等式或不等式組．第三步，求出不等式或不等式組的解集，即為字母的取值范圍．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第18頁。知2－練（來自教材）求下列二次根式中字母x的取值范圍.1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第19頁。知2－練(中考·濟寧)要使二次根式

有意義，x必須滿足(

)A．x≤2B．x≥2C．x＜2D．x＞22浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第20頁。知2－練(中考·巴中)要使式子

有意義，則m的取值范圍是(

)A．m>－1B．m≥－1C．m>－1且m≠1D．m≥－1且m≠13浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第21頁。知2－講（來自教材）當x=-4時，求二次根式

的值.例3解：將x=-4代入二次根式，得浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第22頁。總

結知2－講本題運用類比思想．求二次根式的值與求有理式的值的方法一樣，代入數值計算即可．但要注意被開方數必須是非負數．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第23頁。知2－練當x分別取下列值時，求

的值．(1)x＝

；(2)x＝－1；(3)x＝1.1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第24頁。知2－練(中考·濱州)如果式子

有意義，那么x的取值范圍在數軸上表示出來，正確的是(

)2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第25頁。知3－講3知識點二次根式的“雙重”非負性(≥0，a≥0)

（a≥0）是一個非負數.1.理解二次根式的非負性應從算術平方根入手，當a≥0時，

表示a的算術平方根，因此

≥0.所以“二次根式”

包含有兩個“非負”即：①被開方數非負：a≥0；②二

次根式的值非負：

≥0.2.若=0,則

a=0,b=0.由于二次根式

和

都是

非負數，所以它們的值都為0.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第26頁。若

，則

x-y

的值為（

）A．1 B．－1 C．7 D．－7知3－講例4根據非負數的性質列式求出x、y的值，然后代入代數式進行計算即可得解．因為

都是非負數，它們的和為0，所以（y+3)2=0，

，所以y+3=0，x+y-1=0，解得y=-3，x=4，所以x-y=7，故選C．導引：C浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第27頁。總

結知3－講兩個非負數的和為0時，這兩個非負數都為0．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第28頁。知3－練若

，求a2012+b2012的值．1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第29頁。知3－練若

＋(y＋2)2＝0，則(x＋y)2016等于(

)A．－1B．1C．32016D．－320162浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第30頁。1.二次根式的條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數是非負數．2.常見具有“非負性”的三類數：

，|a|，a2n(n為正

整數)；二次根式的雙重非負性為：(1)≥0；(2)a≥0.)浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第31頁。1.必做:完成教材P5課內練習T2，

教材P5-P6作業題T1-T62.補充:請完成《典中點》剩余部分習題浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第32頁。1.2二次根式的性質第1課時

二次根式的

性質(一)第1章

二次根式浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第33頁。1課堂講解性質1：()2＝a(a≥0)性質2：

＝|a|＝(數形結合思想)2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第34頁。在很很久以前，歐幾里得做了一個奇怪的夢，在夢里上帝要他求出

和（

）2的結果，歐幾里得想啊，做啊，就是完不成這個任務，所以他也就一直沒有睡醒，你能幫幫歐幾里得，讓他快點醒來嗎？浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第35頁。1知識點性質1：()2＝a(a≥0)根據平方根的意義，完成以下填空：知1－導（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第36頁。歸納知1－導一般地，二次根式有下面的性質:()2＝a(a≥0)（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第37頁。知1－講

即(a≥0)是一個非負數，表示非負數a的算術平方根，因此通過算術平方根的定義，將非負數a的算術平方根平方，就等于它本身，即()2＝a(a≥0).浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第38頁。知1－講（來自教材）計算：例1解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第39頁。總結知1－講（

）2=a（a

≥0）這一性質也可以反過來用，即

a=（

）2（a≥0），如3=（

）2，=（

）2等．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第40頁。知1－練計算：1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第41頁。知1－練下列計算正確的是(

)A．－()2＝－6B．()2＝9C．()2＝±16D．2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第42頁。知1－練()2的平方根是(

)A.B．±C．－D．不存在3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第43頁。2知識點性質2：

＝|a|＝(數形結合思想)知2－導填空：比較左右兩邊的式子，議一議：有什么關系？

當a≥0時，

當

a<0時，

（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第44頁。歸納知2－導（來自教材）一般地，二次根式有下面的性質：

＝|a|＝浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第45頁。知2－講當a是負數時，如

說明此時的結果是a的相反數-a.故此公式可以寫為

＝|a|＝

，如果沒有特別說明，被開方式中的所有字母均表示正數．注意：運用公式

＝|a|＝

進行化簡時，一定要先確定

a的取值范圍.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第46頁。知2－講（來自教材）計算：例2解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第47頁。總

結知2－講運用()2＝a(a≥0)，

＝|a|進行計算的方法：(1)計算()2(a≥0)，直接運用()2＝a(a≥0)．(2)計算

一般有兩個步驟：①去掉根號及被開方數的指數，寫成絕對值的形式；②去掉絕對值符號，根據絕對值的意義進行化簡．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第48頁。知2－練（來自教材）計算：1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第49頁。知2－練（來自《典中點》）下列各式中，正確的是(

)2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第50頁。知2－練（來自《典中點》）

的值等于(

)3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第51頁。知2－講（來自教材）計算：例3解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第52頁。總

結知2－講根據二次根式的性質對

進行化簡時，易出現符號上的錯誤．因此為避免此問題，首先要利用

進行過渡，然后再根據a的正負去掉絕對值符號．尤其是當a＜0時，去掉絕對值符號后應等于它的相反數－a.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第53頁。知2－練（來自教材）數a在數軸上的位置如圖，則=____________.1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第54頁。知2－練若代數式

的值是常數2，則x的取值范圍是(

)A．x≥4B．x≤2C．2≤x≤4D．x＝2或x＝42浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第55頁。二次根式的性質：

中a≥0，≥0，即一個非負數的算術平方根是

一個非負數；(2)()2＝a(a≥0)，即一個非負數的算術平方根的平方

等于它本身；

＝|a|＝

即一個數的平方的算術平方根

等于它的絕對值．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第56頁。1.必做:完成教材P7-P8課內練習T1（1），T3，完成教材P8作業題T1-T62.補充:請完成《典中點》剩余部分習題浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第57頁。1.2二次根式的性質第2課時

二次根式的

性質(二)第1章

二次根式浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第58頁。1課堂講解積的算術平方根的性質商的算術平方根的性質最簡二次根式2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第59頁。如圖，一只螞蟻從長、寬都是4，高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是多少.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第60頁。1知識點積的算術平方根的性質知1－講一般地，二次根式有下面的性質:(a≥0,b≥0)（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第61頁。知1－講1.當二次根號下是兩個非負數的積的形式時，則可轉化成

兩個非負數的算術平方根的積，即二次根式有以下性質：(a≥0，b≥0)．也就是說：積的算術平方根等于

積中各因數(式)算術平方根的積．2.拓展：此性質可以推廣到二次根號下含有多個非負因數(式)

的情況：(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)．3.易錯警示：公式中的a，b既可以是數，也可以是含字母的代

數式，但都必須是非負的．因為負數沒有平方根，若原被開

方數中各個因數(式)是負數時，應先化成非負數再運用性質

求解．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第62頁。知1－講（來自教材）化簡：例1解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第63頁。總結知1－講在利用積的算術平方根的性質時，要注意以下兩點：(1)注意公式中被開方數(式)的范圍；(2)注意被開方數(式)一定是乘積的形式，不要出現“”這樣的錯誤．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第64頁。知1－練化簡：1（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第65頁。知1－練下列計算正確的是(

)A.B.＝5a2bC.＝8＋5D.＝72浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第66頁。知1－練對于任意實數a，下列各式中一定成立的是(

)3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第67頁。2知識點商的算術平方根的性質知2－導填空（可用計算器計算）：比較左右兩邊的等式，你發現了什么？你能用字母表示發現的規律嗎？（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第68頁。歸納知2－導（來自教材）一般地，二次根式有下面的性質：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第69頁。知2－講1．當二次根號下是一個非負數與一個正數的商的形式時，它可以轉化成這兩個數的算術平方根的商．一般地，二次根式有如下性質：

(a≥0，b＞0)．也就是說：商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根．2．易錯警示：商的算術平方根的性質的限制條件(a≥0，b＞0)與積的算術平方根的性質的限制條件類似，但也有區別．因為分母不能為0，所以被除式a必須是非負數，除式b必須是正數否則性質不成立．如：設a＝－3，b＝－5，則∵無意義，∴.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第70頁。知2－講（來自教材）化簡：例2解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第71頁。總

結知2－講利用商的算術平方根的性質化簡二次根式的方法：(1)若被開方數(式)的分母是一個完全平方數(式)，則可以直

接利用商的算術平方根的性質，先將分子、分母分別開

平方，然后求商；(2)若被開方數(式)的分母不是完全平方數(式)，可根據分式

的基本性質，先將分式的分子、分母同時乘一個不等于0

的數或整式，使分母變成一個完全平方數(式)，然后利用

商的算術平方根的性質進行化簡．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第72頁。知2－練（來自教材）化簡：1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第73頁。知2－練下列各式計算正確的是(

)A.B.C.D.2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第74頁。知2－練若

，則a的取值范圍是(

)A．a≤0B．a<0C．a>0D．0<a≤13浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第75頁。知2－講去掉下列分母中的根號：例3導引：要想將分母有理化，其實質是將分子、分母同乘一個適當的數(式)，使分母轉化為()2或

的形式．(1)分子、分母同乘

；(2)可以先分別把分子、分母進行化簡，再將分子、分母同乘一個適當的數(式)，化去分母中的根式；(3)分子、分母同乘

；(4)分子、分母同乘

＋1.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第76頁。知2－講解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第77頁。總

結知2－講分母有理化一般經歷如下三步：

“一移”，即將分子、分母中能開得盡方的因數(式)開方后移到根號外；“二乘”，即將分子、分母同乘分母的有理化因數(式)；“三化”，即化簡計算．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第78頁。知2－練（來自教材）化簡：1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第79頁。知2－練下列計算正確的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第80頁。知3－導3知識點

最簡二次根式像

這樣，在根號內不含分母，不含開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式我們就說它是最簡二次根式.二次根式化簡的結果應為最簡二次根式.（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第81頁。歸納知3－導1．定義：像

這樣，在根號內不含分母，不含開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式我們就說它是最簡二次根式．要點精析：最簡二次根式必須滿足：(1)被開方數不含分母，也就是被開方數必須是整數(式)；(2)被開方數中每個因數(式)的指數都小于根指數2，即每

個因數(式)的指數都是1.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第82頁。下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是最簡二次根式？不是最簡二次根式的，請說明理由．知3－講例4根據最簡二次根式的定義進行判斷．導引：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第83頁。知3－講(1)不是最簡二次根式，因為被開方數中含有分母．(2)是最簡二次根式．(3)不是最簡二次根式，因為被開方數是小數(即含有分母)．(4)不是最簡二次根式，因為被開方數24x中含有能開得盡

方的因數4，4＝22.(5)不是最簡二次根式，因為x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x＋3)2，被開方數中含有能開得盡方的因式．(6)不是最簡二次根式，因為分母中有二次根式．綜上，只有(2)是最簡二次根式．解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第84頁。總結知3－講判斷最簡二次根式有兩大思維誤區：(1)是被開方數不含分母而不是式子不含分母，如

有分母但

是最簡二次根式；(2)被開方數中不能含有開得盡方的因數或因式，如

是最簡二次根式．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第85頁。知3－練在下列根式：

中，最簡二次根式的個數為(

)A．4B．3C．2D．11浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第86頁。積的算術平方根性質:(a≥0,b≥0)商的算術平方根性質：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第87頁。把二次根式化成最簡二次根式時，需要注意①把根號下的帶分數化成假分數；②被開方式是多項式的要進行因式分解；③被開方式不含分母；④被開方式中能開得盡方的因數或因式，要將它的

算術平方根移到根號外；⑤化去分母中的根號；⑥約分．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第88頁。1.必做:完成教材P11-P12作業題T1-T72.補充:請完成《典中點》剩余部分習題浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第89頁。1.3二次根式的運算第1課時二次根式的乘除第1章

二次根式浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第90頁。1課堂講解二次根式的乘法二次根式的除法2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第91頁。如圖，架在消防車上的云梯AB長為15m，AD：BD=1:0.6,云梯底部離地面的距離BC為2m.你能求出云梯的頂端離地面的距離AE嗎？（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第92頁。1知識點二次根式的乘法知1－導（來自教材）計算下列各式，觀察計算結果，你能發現什么規律？浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第93頁。歸納知1－導根據二次根式的性質，我們可以得到:(a≥0,b≥0)（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第94頁。知1－講1.法則：兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數

不變，即：(a≥0，b≥0)．要點精析：(1)法則中的被開方數a，b既可以是數，也可以是含字

母的代數式，但都必須是非負數．(2)當二次根式根號外有因數(式)時，可類比單項式乘單

項式的法則進行運算，即根號外因數(式)之積作為根

號外因數(式)，被開方數(式)之積作為被開方數(式)．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第95頁。知1－講(3)二次根式相乘的結果是一個二次根式或一個有理式．(4)如果沒有特別說明，本章中的所有字母都表示正數.2.拓展：(1)幾個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變，即：

(a≥0，b≥0，c≥0)．(2)幾個二次根式相乘，可利用交換律、結合律使運算簡便．3.易錯警示：不要把字母表示正數誤認為含該字母的式子

的值就是正數．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第96頁。知1－講（來自教材）計算：例1解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第97頁。總結知1－講(1)兩個二次根式相乘，被開方數的積中有開得盡方的

一定要開方；(2)當二次根式根號外有因數(式)時，將根號外的因數(式)與根號外的因數(式)相乘作為積的“系數”，被

開方數與被開方數相乘作為積的被開方數．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第98頁。知1－練計算：1（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第99頁。知1－練(中考·安徽)計算

的結果是(

)A.B．4C.D．22(中考·海南)下列各數中，與

的積為有理數的是(

)A.B．C．D．

3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第100頁。知1－講如圖，一個正三角形路標的邊長為

個單位，求這個路標的面積.例2解：如圖，作AD丄BC于點D，則BD=CD=

BC=

在Rt△ACD中，AD=∴S△ABC=BC×AD=(平方單位).答:這個路標的面積為

平方單位.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第101頁。總結知1－講利用二次根式的乘法解決問題時，問題中的已知量是二次根式，在計算時要運用到二次根式的乘法法則．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第102頁。知1－練如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=

,AC=,求斜邊上的高線CD的長1（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第103頁。知1－練洛灣中學要在一塊長方形土地上進行綠化，已知這塊長方形土地的長a＝m，寬b＝m.(1)求該長方形土地的面積(結果保留整數)；(2)如果綠化該長方形土地每平方米的造價為180元，

那么綠化該長方形土地所需資金約為多少元？2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第104頁。2知識點二次根式的除法知2－導1.計算：2.根據上題計算結果，用“>”、“<”或“=”填空：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第105頁。知2－導綜上所述，二次根式的除法法則：________________。當二次根式前面有

系數時，類比單項式除以單項式法則進行計算：即系數之商

作為商的_____，被開方數之商為________.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第106頁。歸納知2－導1．法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變，即：(a≥0，b＞0)．要點精析：(1)法則中的被開方數a，b既可以是數，也可以是含字母的代數式，

但都必須是非負的且b·

不為0；(2)當二次根式根號外有因數(式)時，可類比單項式除以單項式的法

則進行運算，將根號外的因數(式)之商作為商的根號外因數(式)，

被開方數(式)之商作為被開方數(式)．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第107頁。知2－導2．易錯警示：(1)在(a≥0，b＞0)中，特別注意b＞0，若b＝0，則代數式無意義；(2)二次根式的運算結果要盡量化到最簡；(3)如果被開方數是帶分數，應先將它化成假分數，以

免出現類似

這樣的錯誤；(4)如果是幾個二次根式相除，應按除法法則依次計算,

也可以把除法運算轉化為乘法運算來計算．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第108頁。知2－講計算：例3導引：(1)直接利用二次根式的除法法則進行計算；(2)進行計算時需先把帶分數化成假分數；(3)要注意根號外的因數與因數相除，同時要注意結果的符號．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第109頁。知2－講解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第110頁。總

結知2－講利用二次根式的除法法則進行計算，被開方數相除時，可以用“除以一個不為零的數等于乘這個數的倒數”進行約分、化簡．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第111頁。知2－練（來自教材）計算：1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第112頁。知2－練

成立的條件是(

)A．a≠1B．a≥1且a≠3C．a＞1D．a≥32浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第113頁。知2－練計算：

等于(

)A．5B.C.D.3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第114頁。1.計算二次根式相乘的方法：根號外的因數(式)相乘的結

果作為積的根號外的因數(式)，被開方數相乘的結果作

為積的被開方數，再將二次根式化為最簡二次根式．2.與前面學習二次根式的乘法法則類似.將式子（a≥0，b＞0）的等號左右兩邊的式子交換一下，我們

又得到了商的算術平方根的性質。商的算術平方根的性質：（a≥0，b＞0），可

以敘述為兩個數的商的算術平方根，等于被除數的算

術平方根除以除數的算術平方根.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第115頁。1.必做:完成教材P14作業題T1-T62.補充:請完成《典中點》剩余部分習題浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第116頁。1.3二次根式的運算第2課時二次根式的加減第1章

二次根式浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第117頁。1課堂講解被開方數相同的最簡二次根式二次根式的加減2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第118頁。

加法符號“+”：1489年德國數學家魏德曼開始在他所著的數學書中首先使用．但直到16世紀之后，經過德國數學家韋達的提倡和宣傳，“+’’號才開始普及．減法符號“一”：仍是德國數學家魏德曼1489年在他的著作中首先使用，但直到1630年，“一”號才獲得大家的公認．兩個二次根式能否相加減呢?如何加減呢?浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第119頁。1知識點被開方數相同的最簡二次根式知1－導下列3組二次根式，各有什么共同特征？浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第120頁。歸納知1－導經過化簡后，被開方數相同的二次根式，稱為同類二次根式.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第121頁。知1－講可合并的二次根式的條件：（1）最簡二次根式；（2）被開方數相同.要點精析：（1）可合并的二次根式必須同時滿足：最簡二次根式

和被開方數相同這兩個條件，它與根號前面的數

字因數無關；（2）“被開方數相同的最簡二次根式”在習慣上及相關課外讀物上都稱為“同類二次根式”.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第122頁。知1－講〈中考·涼山州〉下列式子中，不能與

合并的是(

)A.

B.

C.

D.例1導引：首先把選項中每個式子化成最簡二次根式，然后找出被開方數不是3的二次根式，即C浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第123頁。總結知1－講判斷兩個二次根式是否能合并，應先把二次根式化為最簡二次根式，然后判斷被開方數是否相同，相同就能合并，否則不能合并．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第124頁。知1－練如果最簡二次根式

與

可以合并，求a，b的值.1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第125頁。知1－練(中考·揚州)下列二次根式中的最簡二次根式是(

)A.B.C.D.2(改編·常德)下列各式化簡后與

是被開方數相同的最簡二次根式的是(

)A.B.C.D.3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第126頁。2知識點二次根式的加減知2－導

計算下列各式．

（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；

（4）3a2-2a2+a3

上面題目的結果，實際上是我們以前所學的合并同類

項．合并同類項就是系數相加減，字母及其指數不變.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第127頁。知2－導

對于下列各式．（1）

如果我們把

當成x，就轉化為上面的問題（1），于是有（2）如果我們把

當成y；

就轉化為上面的問題（2），于是有浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第128頁。知2－導（3）如果我們把

當成z；就轉化為上面的問題（3），于是有（4）

如果我們把

看為x，

看為y．就轉化為上面的問題（4），于是有浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第129頁。知2－導因此，二次根式的被開方數相同時是可以合并的。又如計算

的值時，

與

表面上看是不相同的，但化成最簡二次根式后它們是可以合并的．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第130頁。歸納知2－導二次根式加減時，先將二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式進行合并.二次根式的加減法的一般步驟：①將每一個二次根式化成最簡二次根式；②找出其中的同類二次根式；③合并同類二次根式．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第131頁。知2－講合并下列二次根式：例2導引：根據合并被開方數相同的二次根式的方法，將根號外的因數相加(減)，根指數和被開方數不變．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第132頁。知2－講解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第133頁。總

結知2－講(1)合并結果中容易漏掉二次根式部分；(2)合并后根號外的因數是分數的要寫成假分數形式，

不能寫成帶分數形式．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第134頁。知2－練計算：1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第135頁。知2－練(中考·聊城)下列計算正確的是(

)A．B.

C．D.2浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第136頁。知2－練(中考·重慶)計算

的值是(

)A．2B．3C.D．3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第137頁。知2－講化簡：例3解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第138頁。總

結知2－講二次根式加減運算的技巧：(1)將每個二次根式都化為最簡二次根式，若被開方數中含有帶分

數，則要先化成假分數；若含有小數，則要化成分數，進而化

為最簡二次根式．(2)原式中若有括號，要先去括號，再將被開方數相同的二次根式

進行合并．(3)含字母的二次根式的加減運算的一般步驟：化簡→判斷→合并．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第139頁。知2－練（來自教材）化簡：1浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第140頁。知2－練計算

的結果是(

)A.

B.

C.

D.2(中考·泰州)計算：

等于________．3浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第141頁。1.二次根式加減運算的步驟：(1)化簡：將二次根式化成最簡二次根式．(2)判別：找出被開方數相同的二次根式．(3)合并：類似于合并同類項，將被開方數相同的二次根

式合并．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第142頁。2.整式加、減運算中的交換律、結合律及去括號、添

括號法則在二次根式的運算中仍然適用．3.易錯警示：(1)合并被開方數相同的二次根式時，根號外的因數(式)

與因數(式)合并，剩下的部分保持不變，一定不要丟

掉；(2)不能合并的二次根式不能丟掉，因為它們也是結果

的一部分；(3)二次根式根號外的因數是帶分數的要化為假分數．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第143頁。1.必做:完成教材P16作業題T1，T4-T52.補充:請完成《典中點》剩余部分習題浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第144頁。1.3二次根式的運算第3課時二次根式的

混合運算第1章

二次根式浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第145頁。1課堂講解二次根式的混合運算乘法公式在二次根式混合運算中的應用2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第146頁。

母親節快到了，為了表示對媽媽的敬意，格格同學特地做了兩張大小不同的正方形的壁畫送給媽媽，其中一張面積為800cm2，另一張面積為450cm2，她想，如果把壁畫的邊包上金色彩帶應該會更漂亮，她手上現有1.2m長的金色彩帶，請你幫格格算一算，她的金色彩帶夠用嗎？如果不夠，還需買多長的金色彩帶？浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第147頁。1知識點二次根式的混合運算知1－講1.二次根式的混合運算：(1)運算種類：二次根式的加、減、乘、除、乘方(或開

方)的混合運算．(2)運算順序：先算乘方、開方，再算乘除，最后算加

減，如果有括號就先算括號里面的．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第148頁。知1－講要點精析：(1)二次根式混合運算的結果應寫成最簡二次根式(或整

式)的形式并且分母中不含二次根式．(2)進行二次根式的開方運算時應使開出的因數(式)是非

負數(式)．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第149頁。知1－講2.二次根式的運算律：(1)實數運算中的運算律(交換律、結合律、分配律)和

整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公

式)在二次根式的運算中仍然適用．(2)在進行計算時，能用乘法公式的要盡量使用乘法公

式，同時注意合理地運用運算律．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第150頁。知1－講（來自教材）計算：例1解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第151頁。總結知1－講進行二次根式的混合運算時要注意以下幾點：(1)運算順序；(2)運算法則；(3)運算律與乘法公式的靈活運用；(4)最后結果要化到最簡．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第152頁。知1－練計算：1（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第153頁。知1－練化簡

的結果是(

)A．3B．－3C.D．

2計算

的結果是(

)A．6

B．C．

D．123浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第154頁。知1－講（來自教材）計算：例2解：浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第155頁。總結知1－講

靈活運用乘法公式和運算律可簡化運算步驟，并且運算結果不易出錯，這是乘法公式和運算律在二次根式的混合運算中的優勢所在．浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第156頁。知1－練計算：1（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第157頁。知1－練若x－y＝

－1，xy＝

，則代數式(x－1)(y＋1)的值為(

)A．

＋2B．

－2C．D．22浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第158頁。2知識點乘法公式在二次根式混合運算中的應用知2－講如圖,扶梯AB的坡比為1:0.8,滑梯CD的坡比為1:1.6,AE=

m，BC=CD.一男孩從扶梯走到滑梯的頂部，然后從滑梯滑下，經過的總路程是多少米（要求先化簡，再取近似值.結果精確到0.01m)?例3（來自教材）浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第159頁。知2－講在Rt△AEB中，AE=m，BE=÷0.8=（m），∴AB=（m）.在Rt△CFD中，DF=×1.6=3（m）∴CD=（m）.解：而BC=CD=m,∴AB+BC+CD=

（m）.答：這個男孩經過的總路程約為7.71m.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第160頁。知2－練（來自教材）如圖，一道斜坡AB的坡比為1：10，AC=24m.求斜坡AB的長.請解答本節節前語中的問題（精確到0.01m）.12浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第161頁。知2－練下列各數中，與2－

的積為有理數的是(

)A．2＋B．2－C．－2＋D.3若a＝

，b＝

，則ab的值為(

)A．2mB．2mn

C．m＋nD．m－n4浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第162頁。二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區別運算二次根式的乘除法二次根式的加減法根號外的因數(式)根號外的因數(式)相乘除根號外的因數(式)相加減被開方數被開方數相乘除被開方數不變化簡結果化成最簡二次根式先化成最簡二次根式，再合并被開方數相同的二次根式浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第163頁。2.二次根式的混合運算順序與實數的運算順序相同，先

乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．

在進行二次根式的混合運算時，實數的運算律和運算

順序都適用，乘法公式也同樣適用。注意：①原來學習的運算律仍然適用；

②原來學習的乘法公式仍然適用；

③運算的結果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化為最簡二次根式.浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第164頁。1.必做:完成教材P16作業題T2-T3，T6-T7，

教材P19作業題T1-T52.補充:請完成《典中點》剩余部分習題浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第165頁。第2章

一元二次方程2.1一元二次方程浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第166頁。1課堂講解一元二次方程的定義一元二次方程的一般形式一元二次方程的解2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第167頁。將一個容積為750cm3的包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示.圖中x(cm)應滿足怎樣的方程？浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第168頁。1知識點一元二次方程的定義列出下列問題中關于未知數x的方程：(1)把面積為4m2的一張紙分割成如圖所示的正方形和長方形兩個部分，求正方形的邊長.設正方形的邊長為x(m)，可列出方程:_______________.知1－導x2+3x=4浙教版初中數學八年級下冊全冊課件全文共1122頁，當前為第169頁。(2)某放射性元素經2天后，質量衰變為原來的這

種放射性元素平均每天減少率為多少？設平均每