第七講角動量耦合及光譜精細結(jié)構(gòu)1第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

原子中有多個電子，而每個電子又有軌道和自旋運動，故角動量有多個，這些角動量又有相應的磁矩，所以有必要研究角動量耦合問題。兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)簡單情況是兩個角動量的耦合。對于多個角動量則依次耦合。

2第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)

考慮任意兩個角動量算符和

它們滿足一般對易關(guān)系

它們是相互獨立的

一、總角動量定義與的和為總角動量

3第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)4第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

由、的本征值和本征矢，可以求出本征值和本征矢。

設以和分別表示、的共同本征矢和、的共同本征矢。二、本征值和本征矢兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)相應的本征值方程為：（1）

（2）

5第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

又因、、、也是相互對易的，則它們的共同本征矢也組成正交歸一完全系，設為：

（4）

兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)

因為算符、

、、相互對易，則它們的共同本征矢組成正交歸一完全系：

（3）

6第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三耦合表象可按無耦合表象展開：

其中，展開系數(shù)

稱為CG耦合系數(shù)（克來布希-高登系數(shù)）

7.4兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)顯然，是沒有耦合的表示，故稱為無耦合表象。是有耦合的表示，故稱為耦合表象。7第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三由于故或（5）

兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)由上面的討論可知：①.當求得了量子數(shù)j和后,就能得到和的本征值。②.當求得CG耦合系數(shù)后，由（5）式可由和的共同本征矢進行線性迭加而得到和的共同本征矢。8第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三當和為已知時，總量子數(shù)的取值為：

的本征值為三、量子數(shù)和本征值兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums),有個取值；

,有個取值。

便有個取值，但不完全獨立！9第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三例：當氫原子處于P態(tài)時，本征值的可能值

，，，的本征值為兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)的本征值為，

的本征值為。

的獨立值：10第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

當給定時，有個取值，對應有個本征矢。

當給定時，有個取值，對應有個本征矢。四、CG耦合系數(shù)和的本征矢兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)同時給定和時，和的共同本征矢共有個，相應地，耦合表象的本征矢也應有個，而且每一個都是無耦合表象本征矢的線性迭加

由于耦合系數(shù)的明顯表達式復雜，一般查專用表，如克來布希-高登系數(shù)表。

下表列出第二個角動量為電子自旋角動量時的幾個矢量耦合系數(shù)。

11第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)將這些系數(shù)代入(5)式可得12第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)（6）

（6）式中，只表述了和兩個，而還有不同取值未表述.

注意

的數(shù)目不定，還得視而定，例如對氫原子P態(tài),，應有6個本征矢，其中4個是獨立的。

對氫原子，（6）式也可表示為具體表象形式

用的本征函數(shù)和的本征函數(shù)表示：

13第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三兩個角動量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)改寫為

14第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)

Finestructuresoftheopticalspectrum15第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三討論電子自旋與軌道相互作用對類氫原子能級和譜線的影響。不考慮自旋與軌道相互作用時對類氫原子

因彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（1）未考慮核外內(nèi)層電子對核的屏蔽無耦合表象基矢而自旋量子數(shù)能量本征值

16第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三有兩個取值，故是簡并的能級

總角動量算符

彼此對易，則它們有共同的本征函數(shù)（耦合表象中的基矢）：將耦合表象的基矢按無耦合表象基矢展開7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（2）17第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三

電子自旋與軌道運動的相互作用能比電子的動能和在核場中的勢能小得多，現(xiàn)表示為：考慮自旋與軌道運動相互作用能的影響而

由于的存在，使和都與不對易，故不能用和來描述(和不是好量子數(shù))7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（3）（1）

18第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三（2）

都和對易，但由于的存在,與不對易，故不能認為的本征函數(shù)就是的本征函數(shù)，設的本征函數(shù)為，本征方程為由于的本征值是簡并的，可用簡并情況下的微擾理論方法求方程（2）的解。

7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（4）令（4）

由（2）式，則有：

（3）19第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三矩陣元：

（4）

7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（5）而：

令（5）

20第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三故

由此得能量的一級修正：

7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（6）（6）

積分：

（7）

21第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（7）當和給定后，（除外）,能量分裂為兩個能量值,由此產(chǎn)生了光譜線的精細結(jié)構(gòu)。故由此可得兩個態(tài)的能量分別為（8）

22第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三兩能級差為

7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（８）精細結(jié)構(gòu)常數(shù)

對于的能級，自旋與軌道無耦合，故能級不分裂，不移動。相應兩個態(tài)函數(shù)為：

對于的能級，均分裂移動。

23第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（９）

對于的情況，有兩個取值，能級均一分為二。

由于考慮了電子自旋與軌道運動的相互作用，使能級不僅與

有關(guān)，而且與j有關(guān)。

對于氫原子，不考慮相對論效應和軌道與自旋耦合，能級為度簡并。當考慮外電子對核的屏蔽效應或堿金屬原子對原子實貫穿時，能級與有關(guān)；再考慮自旋軌道耦合，能級還與有關(guān)，表為，但

乃有個取值，故為簡并。24第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三簡并是部分消除7.5光譜的精細結(jié)構(gòu)（1０）表示:

原子態(tài)總角量子數(shù)

主量子數(shù)

重數(shù)25第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三氫