流體力學第四章動力學第1頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖3-10流場中的微元平行六面體第2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一§4-1理想流體的運動微分方程

在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團，它的各邊長度分別為dx、dy和dz，如圖4-1所示。由于是理想流體，沒有黏性，運動時不產生內摩擦力，所以作用在流體微團上的外力只有質量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內，作用在流體微團的表面上。假設六面體形心的坐標為x、y、z，壓強為p。先分析x方向的運動，在垂直于x軸的左右兩個平面中心點上的壓強各等于由于是微元面積，所以這些壓強可以作為各表面上的平均壓強。設在六面體形心上的單位質量的質量力分量為第3頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-1推導歐拉運動微分方程用圖第4頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一p圖2-4微元平行六面體x方向的受力分析第5頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一略去二階以上無窮小量后，分別等于知識點鏈接

垂直于x軸的左、右兩微元面上的總壓力分別為：

同理，可得到垂直于y軸與z軸的微元面上的總壓力分別為：

第6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一作用在流體微團上的外力除靜壓力外，還有質量力。若流體微團的平均密度為ρ，則質量力沿三個坐標軸的分量為：

處于運動狀態下的微元平行六面體的流體微團的平衡條件是：例如，對于x方向，則為

第7頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一整理上式，并把各項都除以微元平行六面體的質量ρdxdydz則得第8頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

§3-5理想流體微元流束的伯努利方程

一、理想流體微元流束的伯努利方程

1.公式推導

理想流體的運動微分方程只有在少數特殊情況下才能求解。在下列幾個假定條件下：(1)不可壓縮理想流體的定常流動；(2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分；(3)質量力只有重力。

第9頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一因此式(4-2)可寫成

(4-3)

假如流體微團沿流線的微小位移ds在三個坐標軸上的投影為dx、dy和dz。現用dx、dy和dz分別乘以式（4-3）的第一式、第二式和第三式，則可得到第10頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一逐項積分：第11頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一假設質量力只有重力，X=0，Y=0，Z=-g，即z軸垂直向上，oxy為水平面。則式(4-6)可寫成

又假設為不可壓縮均質流體，即ρ=常數，積分后得

或

(4-7)

式（4-7）稱為理想流體微元流束的伯努利方程。方程右邊的常數對不同的流線有不同的值。第12頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

該方程的適用范圍是：理想不可壓縮均質流體在重力作用下作定常流動，并沿同一流線（或微元流束）。若1、2為同一條流線（或微元流束）上的任意兩點，則式（4-6）也可寫成

(4-7)在特殊情況下，絕對靜止流體u=0，由式(4-7)可以得到靜力學基本方程

第13頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一2.方程的物理意義和幾何意義

為了進一步理解理想流體微元流束的伯努利方程，現來敘述該方程的物理意義和幾何意義。

1）物理意義理想流體微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端第14頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

前兩項的物理意義，在靜力學中已有闡述，即第一項z表示單位重量流體所具有的位勢能；第二項p/(ρg)表示單位重量流體的壓強勢能；第三項u2/(2g)理解如下：由物理學可知，質量為m的物體以速度V運動時，所具有的動能為Mv2/2，則單位重量流體所具有的動能為V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)=V2/(2g)。所以該項的物理意義為單位重量流體具有的動能。位勢能、壓強勢能和動能之和稱為機械能。因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常數，但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學中的一種特殊表現形式。第15頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

2）幾何意義圖理想流體微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端前兩項的幾何意義，同樣在靜力學中已有闡述，即第一項z表示單位重量流體的位置水頭，第二項p/(ρg)表示單位重量流體的壓強水頭，第三項u2/(2g)與前兩項一樣也具有長度的量綱。它表示所研究流體由于具有速度V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和稱為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關系，如4-2所示。因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線(或微元流束)上各點的單位重量流體所具有的位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數。第16頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-2總水頭線和靜水頭線第17頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一第18頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一二、由功能原理推導恒定流實際液體的能量方程

如圖4-3：在恒定流中取一段元流，任截取其中斷面１－１與斷面２－２之間的流段來研究，各參數標于圖上。據功能原理，外力對物體所做的功等于物體動能的增量。①動能的增量由于是恒定流，在時段內，１ˊ－２這部分的質量和各點流速都沒有變化，即動能的變化為零，所以整個流段的動能增量可看作是２－２ˊ段的動量和１－１ˊ段動能的差值。因為流體不可壓縮：Ｖ１－１ˊ＝Ｖ２－２ˊ＝dＶ第19頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一返回本章首頁圖4-3第20頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一這塊水體的質量： 因為體積微小，可以認為１－１ˊ和２－２ˊ各點流速是均布的，分別為、，則動能的增量為：

(4.8)②外力作功a．表面力作功（包括動水壓與摩擦阻力作功）斷面１－１ˊ和２－２ˊ上的動水壓力與水流方向平行，所以要做功；而元流側壁上的動水壓力由于與流動方向相垂直，所以不做功，兩斷面上動水壓力所做的功為：

(4.8)第21頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一液流的摩擦阻力由于與流動方向相反，所以對液流做負功，以表示摩阻力對單位重量的液流所做的功，則對重為γdV的水體來說，摩阻力所做的功是：b．質量力作功（作用在液體上的質量力只有重力）重力作功可視為從１－１ˊ移至２－２ˊ時重力所做的功，因而重力作功（重力做正功）(4.9)應用功能原理得

(4.10)兩邊除以，并移項得

(4.11)——單位重量不可壓縮的實際液體恒定元流能量方程第22頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一三、漸變流用漸斷面壓強分布規律1.漸變流與急變流漸變流（緩變流）：在實際水流中，若流線之間的夾角很小而近于平行或流線彎曲的曲率很小，流速在大小和方向上都變化很緩慢，這種流動稱之為緩變流。反之，則稱為急變流。2.漸變流過水斷面上動水壓強的分布規律漸變流和急變流的比較，最大的差別是動水壓強分布規律不同。對漸變流，在緩變流過水斷上任一兩相鄰流線間取一微分柱體（如圖4-4）作用在該微小柱體上的力：表面力：①柱體兩端的動水壓強和；②與柱體軸n－n垂直的柱體側面的動水壓強；③柱體側面和兩端的摩擦力，（垂直于n－n軸）。質量力：只有重力第23頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-4第24頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一因為漸變流的流線是幾乎平行的直線，則沿n向的加速度，于是，微小液柱沿n向的運動方程為：(4.12)整理得：(4.13)積分（4.13）得：（4.14）上式說明，緩變流過水斷面方向上。但沿流程各斷面的勢能不可能是同一常數，這是由于液流摩阻力耗能，運動過程中一部分勢能轉化為其它形式的能。在急變流斷面上，由于流線彎曲大或相互不平行，在過水斷面向上存在離心力，即沿n方向的加速度不能忽略，因而斷面上各點的單位勢能不等于常數。第25頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一四、恒定總流能量方程如圖4-4所示，元流的流量（4.15）則時段流過元流的液體重量為：(4.16)

因為元流能量方程：表示元流單位重量液體的能量守恒關系，對元流能量方程兩邊都乘上后，可得時段內，通過元流總的能量守恒關系為：

（4.17）總流是由無數元流組成的，對上式在兩邊水斷面A1、A2上分，便得到時段內通過總流的液體的第26頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一能量守恒關系為:(4.18)總流是由無數元流組成的，對上式在兩邊水斷面A1、A2上積分，便得到時段內通過總流的液體的能量守恒關系為：

(4.19)設總流的流量為Ｑ，則時段通過總流的液體重量為，將上式除以，即得：

第27頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

——單位時間內通過總流的單位液體重量的能量關系（4.20）共含三種類型積分：1．——總流過水斷面上的平均單位勢能若取過水斷面均為均勻流或漸變流，則斷面上故：（4.21）

（4.20）第28頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一２．——總流過水斷面上的平均單位動能取斷面平均流速，并引入修正系數，則：

（4.22）其中：值是大于１的數，其大小取絕于斷面上的流速分布不均勻程度。３．

——總流斷面１－１與２－２之間能量損失的平均值。用表示該值，則：(4.23)：總流水頭損失。將以上各積分結果代入（4.21）得：（4.24）第29頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一§4-3伯努利（Bernoulli）方程的應用

理想流體微元流束的伯努利方程，在工程中廣泛應用于管道中流體的流速、流量的測量和計算，下面以應用最廣泛的皮托管和文特里流量計為例，介紹它們的測量原理和伯努利方程的應用。

一、皮托管在工程實際中，常常需要來測量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測量管道中流體的速度，可采用皮托管來進行，其測量原理如圖4-5所示。在液體管道的某一截面處裝有一個測壓管和一根兩端第30頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一VBAZZ圖4-5皮托管測速原理第31頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一開口彎成直角的玻璃管（稱為測速管）。將測速管（又稱皮托管）的一端正對著來流方向，另一端垂直向上，這時測速管中上升的液柱比測壓管內的液柱高h。這是由于當液流流到測速管入口前的A點處，液流受到阻擋，流速變為零，則在測速管入口形成一個駐點A。駐點A的壓強PA稱為全壓，在入口前同一水平流線未受擾動處（例如B點）的液體壓強為PB，速度為V。應用伯努利方程于同一流線上的Ｂ、Ａ兩點，則有則(4-25)

第32頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一式（4-25）表明，只要測量出流體的運動全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾，實際流速比用式(4-25)計算出的要小，因此，實際流速為(4-26)式中ψ—流速修正系數，一般由實驗確定，ψ=0.97。如果測定氣體的流速，則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個Ｕ形差壓計上，從差壓計上的液面差來求得流速，如圖4-6所示，則用式(4-26)，則得（4-27）第33頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-6用皮托管和靜壓管測量氣體流速第34頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一考慮到實際情況，(4-27a)

在工程應用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托—靜壓管，又稱動壓管，習慣上常簡稱它為皮托管，其示意圖如圖4-7所示。圖中1點為總壓測點，2點為靜壓測點，將總靜壓孔的通路分別連接于差壓計的兩端，則差壓計的指示為總壓和靜壓的差值，從而可由式(4-26)求得測點的流速。皮托-靜壓管的構造尺寸及使用時的連接方式如圖4-8所示。第35頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-8皮托-靜壓管第36頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-9皮托-靜壓管構造及連接方式第37頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

二、文特里(Venturi)流量計文特里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，如圖3-20所示。它是利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用Ｕ形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。以文特里管的水平軸線所在水平面作為基準面。列截面1-1，2-2的伯努利方程

(4-28)由流動連續性方程(4-29)第38頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-10文特里流量計原理圖第39頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一將式(4-29)代入到式(4-28)，整理得

(4-30)由流體靜力學(4-31)將式(4-31)代入到式(4-30)，則

(4-32)式(4-32)表明，若ρ液，ρ，A2，A1已知，只要測量出h液，就可以確定流體的速度。流量為：

(4-33)第40頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一考慮到實際情況

(4-34)式中Cd為流量系數，通過實驗測定。文特里流量計是節流裝置中的一種，除此之外還有孔板，噴嘴等，其基本原理與文特里流量計基本相同，不再敘述。三、伯努利方程應用時特別注意的幾個問題伯努利方程是流體力學的基本方程之一，與連續性方程和流體靜力學方程聯立，可以全面地解決一維流動的流速(或流量)和壓強的計算問題，用這些方程求解一維流動問題時，應注意下面幾點：

第41頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

(1)弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡單的流動問題，還是既有流動問題又有流體靜力學問題。(2)選好有效截面，選擇合適的有效截面，應包括問題中所求的參數，同時使已知參數盡可能多。通常對于從大容器流出，流入大氣或者從一個大容器流入另一個大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因為該有效截面的壓強為大氣壓強，對于大容器自由液面，速度可以視為零來處理。(3)選好基準面，基準面原則上可以選在任何位置，但選擇得當，可使解題大大簡化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準面必須選為水平面。(4)求解流量時，一般要結合一維流動的連續性方程求解。伯努利方程的p1和p2應為同一度量單位，同為絕對壓強或者同為相對壓強，p1和p2的問題與靜力學中的處理完全相同。(5)有效截面上的參數，如速度、位置高度和壓強應為同一點的，絕對不許在式中取有效截面上Ａ點的壓強，又取同一有效截面上另一點Ｂ的速度。例題4-1例題4-2第42頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一§4-5恒定總流的動量方程在許多工程實際問題中，可以不必考慮流體內部的詳細流動過程，而只需求解流體邊界上流體與固體的相互作用，這時常常應用動量定理直接求解顯得十分方便。例如求彎管中流動的流體對彎管的作用力，以及計算射流沖擊力等。由于不需要了解流體內部的流動型式，所以不論對理想流體還是實際流體，可壓縮流體還是不可壓縮流體，動量定理都能適用。一、恒定總流的動量方程

將質點系動量定理應用于流體系統的運動，可以導出流體運動的動量方程。根據動量定理，流體系統動量的時間變化率等于作用在系統上的外力矢量和，即第43頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

設不可壓縮流體在管中作定常流動，如圖3-19所示。取有效截面1-1和2-2之間的流段作為研究對象，兩截面上的平均流速分別和，流段在質量力、兩截面上的壓強和管壁的作用力的作用下，經過dt時間后從位置1-2流到1’-2’。與此同時，流段的動量發生了變化，其變化等于流段在1’-2’和1-2位置時的動量之差。由于定常流動中流管內各空間點的流速不隨時間變化，因此1’-2這部分流體（圖中陰影部分）的動量沒有改變。于是在dt時間內流段的動量變化就等于2-2’段的動量和1-1’段的動量之差。

(3-63)第44頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-11推導動量方程用圖第45頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一由于按平均流速計算得到的動量變化量和以實際流速計算的動量變化量是不同的，故引入一個動量修正系數β加以修正。根據實驗測定值約為1.02～1.05，近似于l，所以為計算方便，在工程計算中通常取β＝1。于是上式可改寫成(3-64)根據不可壓流體一維流動總流的連續性方程，流過截面1-1的流量和流過截面2-2的流量相等，即或（3-65）方程(3-46)就是不可壓縮流體定常流動的動量方程第46頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一把上式寫成分量形式為

(3-66)管流的定常動量方程常用于求解作用在管道上的動水反力等問題。由式(3-47)可知，在定常流動中，可以有某一段流體進、出口的流速變化，而不需要知道這一流段的內部情況，就可以求出流體所受外力的合力，即管壁對流體的作用力，從而求出流體對管壁的作用力。由于動量方程是一個矢量方程，所以應用投影方程比較方便。應用時應注意，適當地選擇控制面，完整地表達出控制體和控制面上的外力，并注意流動方向和投影的正負等。第47頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一二、動量方程的應用1．液流對彎管的作用力一漸縮彎管如圖所示，求管壁所受到的流體作用力（不計阻力），設彎管水平放置，為已知。(如圖3-23)解：由題意，因彎管水平放置，故不考慮重力作用。對截面１、２寫伯諾里方程，求出即取求水平面上的坐標軸xoy，應公式（3.66）設管壁對水流的作用力為Ｒ，則有：第48頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一同理：則：Ｒ的作用點：如圖所示：的方向與同，并過、的交點，又也近似過此交點，形成一匯交力系，故也過此點，通過該交點并與Ｘ軸相交α角的直線即為Ｒ為的作用線，從而可得Ｒ的作用點。2．求水流對擋水構物的作用力(如圖3-24)如圖為一滾水壩，上游水位因壩的阻當而抬高，測得１－１的水深為1.5m,下游２－２水深為0.6m。略去水頭損失，求水流對１米壩寬的水平作用力Ｆ。第49頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一3．射流對曲面壁的沖擊力如圖3-25所示，射流沿Ｘ方向水平射出，沖擊到曲面壁ＡＢ后，即沿兩個方向分流，這兩個分流與原來流動的Ｘ方向成和角度。在主射流中取斷面０－０：（漸變流）在分射流中取斷面１－１，２－２；相應各量標于圖上：沿Ｘ方向寫其動量方向，則：

即式中為曲面對射流的反作用力的合力①射流對平面壁的沖擊力Ｆ如圖3-26所示，則即有或方向向右②射流對固定曲面壁的沖擊力Ｆ第50頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一

如圖3-27（a），若略去水頭損失及忽略重力的情況下，在對稱時有，

設沿方向的總動量方程

若時，如圖3-27（b）所示，即

（為主射流斷面面積）上式說明，時，射流沖擊力為平面壁射流沖擊力的2倍。第51頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一應用動量方程時應注意以下問題：1.先選坐標軸，并標明坐標軸的指向；2.計算動量增量時，一定是流出的動量減流進的動量;3.所選過水斷面，應符合漸變流條件，即；4.外力包括重力和表面力（兩端的液流壓力及固體邊壁對液流的壓力），固體邊界附近的液流阻力常忽略不計。5.用動量方程時，常采用相對壓強計算。例題3-6回到總目錄返回本章首頁第52頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖3-23第53頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖3-24第54頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖3-25圖3-26第55頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖3-27第56頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一【例4-1】有一貯水裝置如圖4-12所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。【解】當閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程

當閥門關閉時，根據壓強計的讀數，應用流體靜力學基本第57頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一方程求出Ｈ值則代入到上式（m/s）所以管內流量

（m3/s）第58頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-12第59頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一【例4-2】水流通過如圖4-13所示管路流入大氣，已知Ｕ形測壓管中水銀柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。【解】首先計算1-1斷面管路中心的壓強。因為A-B為等壓面，列等壓面方程得：

則(mH2O)

列1-1和2-2斷面的伯努利方程第60頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一由連續性方程：

將已知數據代入上式，得

（m/s）管中流量（m3/s）第61頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一圖4-13第62頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一例4-3.如圖所示水管直徑為150mm,管出口D點的直徑為50mm，求A、B、C、D各點的壓強。ABDC2m2m2m第63頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一解：由伯諾里方程：故：再由伯諾里方程：求得：同理可得：第64頁，共73頁，2023年，2月20日，星期一例題4－4由一高位水池引出一條供水管路AB，如圖所示。已知：流量Q＝0.034m3/s；管路直徑D＝0.15m；壓力表讀數Pb＝4.9×104N/m2；高度H＝20m，試計算水流在管路AB段的水頭損失。第65頁，共73頁，2023