平面力系的合成與平衡第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一在實際工程中，有些結構的某一尺寸比其它兩個方向的尺寸小的多或大得多。忽略次要因素后，我們可把這種結構看成為平面結構。如圖所示的擋土墻，考慮到它沿長度方向受力情況大致相同，通常取1M長度的墻身作為研究對象，它所受到的重力G、土壓力P和地基反力R也都可簡化到1M長墻身的對稱面上，組成平面力系。第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一還有些結構雖然明顯不是受平面力系作用，但如果本身（包括支座）及其所承受的荷載有一個共同的對稱面，那么，作用在結構上的力系就可以簡化為在對稱面內的平面力系，例如圖所示沿直線行駛的汽車，車受到的重力G、空氣阻力F以及地面對左右輪的約束反力的合力RA、RB，都可簡化到汽車的對稱面內，組成平面一般力系。總之，在工程中，許多結構的力學問題，可以簡化為平面力系的問題來處理。本章將討論平面力系的簡化和平衡問題。第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.1平面匯交力系的合成與平衡3.1.1平面匯交力系的概念和實例

第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一在平面力系中，如果平面匯交力系；平面平行力系；平面一般力系。第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一、、平面匯交力系是力系中最簡單的一種，在工程中有很多實例。例如，起重機起吊重物時，作用于吊鉤C的三根繩索的拉力都在同一平面內，且匯交于一點，就組成了平面匯交力系。又如三角支架當不計桿的自重時，作用于鉸B上的三個力FN1、FN2、也組成平面匯交力系。

3.1平面匯交力系的合成與平衡3.1.1平面匯交力系的概念和實例

第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一又如圖所示的屋架，它通常被看作為由一些在其兩端用光滑圓柱鉸互相連接的直桿組成，而且由于各桿的自重比屋架所承受的各個荷載小很多而可忽略不計，因此每根直桿都在作用于其兩端的兩個力的作用下處于平衡。第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一當以各個鉸結點(或稱節點)為研究對象時，與結點相連接的各桿作用于該節點上的力也組成一個平面匯交力系。例如，圖b)就是結點C的受力圖，它構成了一個平面匯交力系。

研究平面匯交力系，一方面可以解決一些簡單的工程實際問題，另一方面也為研究更復雜的力系打下基礎。第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一平面匯交力系的合成問題可以采用幾何法和解析法進行研究。其中，平面匯交力系的幾何法具行直觀、簡捷的優點，但其精確度較差，在力學中用得較多的還是解析法。這種方法是以力在坐標軸上的投影的計算為基礎。第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.1.2數解法我們在第一章已討論了力在坐標軸上的投影規則和方法。現在我們來討論平面匯交力系各力投影與匯交力系合力投影之間的關系。設有一平面匯交力系F1、F2作用在物體的A點，如圖。根據平行四邊形法則可求得該力系的合力。

而

第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一設有一平面匯交力系F1、F2、F3作用在物體的點，如圖。根據平行四邊形法則可求得該力系的合力。第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一因此可得

這一關系可推廣到任意平面匯交力的情形，即由此可見，合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和。這就是合力投影定理。（3-4）第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一注意：式中各分量的正負號選取。從圖中的幾何關系可知，合力R的大小和方向可由下式確定：

（3-5）

式中為合力R與x軸所夾的銳角，角在哪個象限由

和的正負號來確定。第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例3-3已知作用在剛體上并交于o點的三力均在平面內，且，，，，。用數解法求此平面匯交力系的合力。解：第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一解：取直角坐標系如圖所示。因已知合力R沿y軸向下，故Rx=0，Ry=

-R。由式(2-2)知，得例1如圖所示，已知F1=20kN，F2=40kN，如果三個力F1、F2、F3的合力R沿鉛垂向下，試求力F3和R的大小。第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一又由第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一【例2】固定于墻內的環形螺釘上，作用有3個力

，各力的方向如圖所示，各力的大小分別為，

。試求螺釘作用在墻上的力。

解：要求螺釘作用在墻上的力可先求作用在螺釘上三力合力。第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一根據力的平衡可知，墻給螺釘的作用力應與

大小相等方向相反。再根據牛頓第三定律可知，螺釘作用在墻上的力，方向與

相同。

第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.1.3平面匯交力系平衡條件從上面可知，平面匯交力系合成的結果是一個合力。顯然要物體在平面匯交力系的作用下保持平衡，則該力系的合力應等于零；反之，如果該力系的合力等于零，則物體在該力系的作用下，必然處于平衡。所以，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：平面匯交力系的合力等于零。而根據式（3-5)的第一式可知上式與恒為正數，要使R=0，必須且只須所以平面匯交力系平衡的必要和充分的解析條件是：力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上的投影的代數和都等于零。式(3-6)稱為平面匯交力系的平衡方程。應用這兩個獨立的平衡方程可以求解兩個未知量。

（3-6）第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例3-4一桁架的結點由四根角鋼鉚接在連接板上。已知作用在桿件A和C上的力為，，以及作用在桿件B和D上的力，作用的方向，該力系匯交于o點。求在平衡狀態下力，的值。解：以匯交點為坐標原點，建立圖示坐標系。第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一節點：例3-3圖示一起重構架的點裝置一個定滑輪。絞車的鋼繩通過滑輪而起吊重物，已知。支架三處的連接均為鉸接，不計滑輪、鋼繩、構架的自重及滑輪軸的摩擦。求起重架、桿所受的力。解：第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

為負值，說明實際方向與圖中所設方向相反。第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例3一結構受水平P作用如圖a)所示。不計各桿自重，求三根桿AB、BC、CA所受的力。解：桿AB、BC、CA兩端鉸接，中間不受力，故三根桿都是二力桿。先取鉸鏈C為研究對象，假定桿CA、BC都受拉，畫出鉸C的受力圖如圖

b)所示。設直角坐標系如圖，列平衡方程

第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

(a)

由式(a)、(b)解得FBC的結果為負值，表示其指向與假設的相反，桿BC應是受壓。再取鉸鏈B為研究對象，假定桿BC、AB受拉，畫出鉸B的受力圖如圖2-11c)所示。桿BC是二力桿，故它對兩端鉸鏈的作用力，應當是大小相等，方向相反，用FBC表示。

(b)第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

設直角坐標系如圖，列平衡方程

原假設桿BC受拉，得正號表示桿AB受拉。(c)將其代入式(c)，于是得第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一通過以上各例的分析，可知用解析法求解平面匯交力系平衡問題的步驟一般如下:1．選取研究對象。2．畫受力圖約束反力指向未定者應先假設。3．選坐標軸最好使某一坐標軸與一個未知力垂直，以便簡化計算。4．列平衡方程求解未知量列方程時注意各力的投影的正負號。當求出的未知力為負數時，就表示該力的實際指向與假設的指向相反。

第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一解：⑴選球為研究對象。⑵畫出受力圖。

為主動力，

為約束力。三力匯交于

點。⑶以球心

為坐標原點，建立圖示坐標系。⑷根據平衡條件建立平衡方程。

【例4】重的球放在與水平成角的光滑斜面上，并用與斜面平行的繩

系住。試求繩

受到的拉力及球對斜面的壓力。第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一根據作用與反作用定律，繩子所受拉力為

；球對斜面的壓力為

，其方向與圖中相反。

也可以取沿斜面向上、垂直斜面向上為

軸，則

第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.2力線的平移

設有一個力F作用在某剛體的A點，如圖所示。若在剛體的B點加上兩個共線、反向、等值的力F＇和F＂，且作用線與力F平行大小與力F的大小相等，并不影響力F對剛體單獨作用時產生的運動效果。進一步分析可以看出，力F與F＂構成一個力偶，其力偶矩為而作用在點B的力F＇，其大小和方向與原力F相同，即相當于把原來的力F從點A平移到點B。第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一于是，得到力的平移定理：作用于物體上的力F，可以平移到同一物體上的任一點B，同時附加一個力偶，其力偶矩等于原力F對于新作用點B的矩。第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.3平面一般力系的合成3.3.1簡化方法和結果設在物體上作用有平面一般力系F1、F2、…、Fn。為了將這力系簡化，在其作用面內取任意一點Ｏ，根據力的平移定理，將力系中各力都平移到O點，就得到兩個基本力系F1＇、F2＇、…、Fn＇和M1、M2、…、Mn。第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一平面匯交力系可合成為作用在O點的一個力，附加的平面力偶系可合成為一個力偶。任選的O點，稱為簡化中心。平面一般力系向平面內任一點簡化，可以簡化為作用于簡化中心的一個力和一個力偶。第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.3.2主矢和主矩平面一般力系簡化為作用于簡化中心的一個力和一個力偶。這個力RO稱為原力系的主矢，這個力偶的力偶矩MO，稱為原力系對簡化中心的主矩。

求主矢RO的大小和方向，可應用數解法。通過Ｏ點取直角坐標系xoy。

第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一主矢RO在x軸和y軸上的投影為得主矢RO的大小和方向為第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一α為主矢RO與x軸所夾的銳角，RO指向由∑Fx和∑Fy的正負號確定。由平面力偶系的合成知，主矩為

第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一討論：

1、主矢等于原力系各力的矢量和，它與簡化中心的選擇無關。一般情況下主矢不是原力系的合力。

2、主矩等于原力系各力對簡化中心的力矩的代數和，與簡化中心的選擇有關。這是因為取不同的點為簡化中心，各力的力臂將會改變，則各力對簡化中心的矩也會改變，從而導致主矩的改變。所以對于主矩，必須標明力系對于哪一點的主矩。

3、主矢描述原力系對物體的平移作用，主矩描述原力系對物體繞簡化中心的轉動作用，二者的作用總和代表原力系對物體的作用。因此，單獨的主矢RＯ或主矩MＯ并不與原力系等效，而主矢RＯ與主矩MＯ二者的共同作用才與原力系等效。第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一4、幾種特殊情況⑴

，。原力系向簡化后為一個力，是原力系的合力。⑵，。原力系向簡化后為一力偶，則原力系無合力只有合力偶矩。⑶，。原力系是平衡力系。第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.4平面一般力系的平衡的方程和應用平面一般力系向任一點A簡化后，如果得到的主矢量

和主矩MA。如果該平面一般力系使物體保持平衡，則必然有

=0，MA=0。反之，如果=0，MA=0，則說明原力系就是平衡力系。因此，平面一般力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢以及力系對任一點的主矩均為零，即=0，MA=0由于故平面一般力系的平衡條件為

（3-9）

第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一即，平面一般力系平衡的必要和充分條件也可敘述為：力系中各力在兩個坐標軸上投影的代數和分別等于零；力系中各力對于任一點的力矩的代數和等于零。式（3-9）叫做平面一般力系的平衡方程，稱為一矩式方程組，其中前兩個叫做投影方程，后一個叫做力矩方程。可以把投影方程的含意理解為物體在力系作用下沿坐標軸x和y方向不可能移動；將力矩方程的含意理解為物體在力系作用下繞任一矩心均不能轉動。當滿足平衡方程時，物體既不能移動，也不能轉動，這就保證了物體處于平衡狀態。當物體處于平衡狀態時，可應用這三個平衡方程求解三個未知量。式(3-9)是平面一般力系平衡方程的基本形式。除了這種形式外，還可將平衡方程表示為二矩式和三矩式。二矩式

：

（3-10）

第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一該平衡方程的限制條件是：x軸不能與A、B兩點的連線垂直。三矩形式：

（3-11）

該平衡方程的限制條件是：A、B、C三點不在同一直線上。平面一般力系的平衡方程雖有三種形式，但不論采用哪種形式，都能夠寫出、且只能寫出三個獨立的平衡方程。所以，對于平面一般力系來說，應用平衡方程，只能求解三個未知量。在實際解題時，所選的平衡方程形式應盡可能使計算簡便，力求在一個方程中只包含一個未知量，避免求解聯立方程。第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一【例5】一剛架受荷載作用及支承情況如圖(a)所示。已知P=5kN，M=2kN·m，剛架自重不計，試求A、B處的支座反力。解：取剛架為研究對象，其受力圖如圖所示。(a)(b)第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一作用在剛架上力P和力偶M，支座反力RA和FBx、FBy組成一個平面一般力系。取坐標系如圖所示，則

第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

作用在剛架上有一個力偶荷載。由于力偶在任一軸上的投影均為零，因此，力偶在投影方程中不出現；由于力偶對平面內任一點之矩等于力偶矩，而與矩心位置無關，因此，在力矩方程中可直接將力偶矩列入。

由

得

第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一【例6】一梁

受有集度為q的均布荷載，并在B端作用一集中力P，如圖，設梁長為l，試求固定端A的約束反力。解：固定端支座A處，有FAx和FAy兩個未知力和一個約束反力偶MA。此時梁AB在已知荷載q、P和未知的約束反力作用下平衡。列平衡方程時，均布荷載q可用其合力

表示，方向與均布荷載方向相同，作用在AB段的中點。選取坐標系如圖所示。第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

建筑工程中的雨篷、陽臺等，它們一端牢固地嵌入墻內，另一端無約束，這類結構叫做懸臂結構。在力學計算時，它們都作為懸臂梁來考慮。第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一【例7】如圖(a)，梁AC在C處受集中力P作用，設P=30kN，試求A、B支座的約束反力。解：以外伸梁為研究對象，畫其受力圖，并選取坐標軸，如圖(b)所示。作用在外伸梁上的有已知力P，未知的支座反力FAx、FAy和RB，運用三個獨立的平衡方程可求解三個未知力。(a)(b)第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一由

由

由

第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

力系既然平衡，則力系中各力在任一軸上的投影的代數和必然等于零，因此可再列出其它的平衡方程，用以校核計算的正確與否。校核：

說明求得的FYA和RB之值是正確的。第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一【例8】起重機在

圖(a)所示的位置時平衡。已知吊桿AB長10m，吊桿重G=10kN，重心在吊桿AB的中點，起吊物重Q=30kN，α=45°，β=30°，試計算鋼絲繩所受的拉力和鉸鏈A所受的反力。(a)(b)

第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一解：取吊桿AB為研究對象。吊桿的受力圖及選取的坐標軸如圖所示。以上各力組成了一個平面一般力系。用平面一般力系的平衡方程可以求解三個未知力，由第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一計算結果中不帶負號，說明各約束反力的假設指向與實際指向一致。校核：說明求得的反力大小FAx和FAy以及T是正確的。第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例3-6一個三角形管道支架固定在磚柱上，支架由兩根型鋼與結點板構成。結點

均采用焊接，在分析支架受力情況時，可簡化為鉸接計算，已知每一管道為，支架間距為。試求支架兩處的約束反力。支架重忽略不計。解：由題知每一支架承擔長管道重力，故第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一1.用一矩式方程組求解第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一2.用二矩式方程組求解第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一校核：3.用三矩式方程求解第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一校核：經校核說明計算正確。第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例3-7一簡支梁受力如圖所示。已知，，不計梁自重，求兩支座反力。解：第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一校核：經校核說明計算正確。第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一在工程中，常常遇到由多個物體通過一定的約束聯系在一起的系統，這種系統稱為物體系統。例如圖所示的連續梁，就是由梁AB和粱BC通過鉸B連接，并支承在A、C支座而組成的一個物體系統。當物體系統平衡時，組成系統的每一物體及系統整體都處于平衡狀態。第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一下面舉例說明求解物體系統平衡問題的方法。【例9】組合梁受荷載如圖4-16(a)所示。已知q=5kN／m，P=30kN，梁自重不計，求支座A、B、D的反力。解：組合梁由兩段AC、CD在C處用鉸鏈連接并支承于三個支座上而構成；若取整個梁為研究對象，畫其受力圖如圖所示。由受力圖可知，有RA、RB和RD三個未知量，而獨立的平衡方程只有兩個，不能求解。因而需要將梁從鉸C處拆開，分別考慮CD段第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一(a)(b)(c)(d)圖4-16和AC段的平衡，畫出它們的受力圖如圖所示。在梁CD段上，只有兩個未知量，應用平衡方程可求得RD,RD求出后，再考慮整體平衡，RA、RB也可求出。第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一綜上分析，求法如下：(1)取梁CD段為研究對象(2)取整個組合梁為研究對象第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一校核：對整個連續梁，

計算正確。本題還可先取梁CD段為研究對象，求解RC和RD；再取梁AC段為研究對象，求解RA和RB。但這一種解法不如上述解法簡單。第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一取梁CD段為研究對象由對稱性可知(2)取梁AC段為研究對象第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例3-8已知，求圖示三鉸剛架處的支座反力。解：以整體為研究對象。第68頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一以部分為研究對象。第69頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一校核：取整體為研究對象。說明計算正確。第70頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一4.5平面平行力系的合成與平衡在平面力系中如各力的作用線互相平行，這樣的力系就是平面平行力系。4.5.1平面平行力系的合成

設有相互平行的n個力

作用在物體的同一平面內。他們的合力作用線必平行于各力作用線，合力的大小：合力作用線的位置：

在平面內任選一參考點o，利用合力矩定理第71頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例3-10圖示為一最大起重力

的塔吊。其自重

，作用線距離塔身中心線為。塔身最下面四個輪子可在軌道上行走。為使在起吊過程中不傾倒，必須放置配重，配重作用線位置如圖所示。第72頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一試問為多少時，該塔吊不會發生傾倒？解：塔吊受平面力系作用，為使塔吊不傾倒，三力的合力作用線范圍必須在之間。其大小若合力作用線位置在，各力對塔身中心線取力矩，合力的力臂，根據合力矩定理第73頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一若合力作用線位