第六講能30以下質數整除的數特征大家知道一個整數能被2整除么它的個位數能被整除過來也對，也就是一個數的個位數能被2整除，那么這個數本身能被整除因此，我們說“一個數的個位數能被2整除”是“這個數能被整除”的特征在這一講中，我們通過尋求對于某些質數成立的等式來導出能被這些質數整除的數的特征。為了敘述方便起見，我們把所討論的數記為：有時也表示為我們已學過同余，用mod2示除以2余數有公式：①N≡a0（mod2）②N≡a1a0（mod4③N≡a2a1a0（mod8）④N≡a3a2a1a0（）這幾個公式表明一個數被2（4，8，）整除的特性，而且表明了不能整除時，如何求余數。此外，被39）整除的數的特征為：它的各位數字之和可以被3（9）整.我們借用同余記號及一些運算性質來重新推證一下如（），如果，N=aaa=a1000+a×100+a×3210321

0＝a×（9991）＋×（99+1）＋×（9+1）+a3210＝（a+a+a+a）+（×999+a×），3210321那么，等式右邊第二個括號中的數是9的倍數，從而有N≡＋a+a（）3210對于mod3，理由相仿，從而有公式：⑤N≡（?＋a＋）（mod9），3210

N≡（?a＋＋）（mod3）。3210對于被11除的數，它的特征為：它的奇位數字之和與偶位數字之和的差（大減?。┠鼙?1整除。先看一例.N=31428576，改寫N為如下形式：N=6＋（）＋（991）（1001-1）（99991）4100001-1）+1（999999+1）+310000001-1）=6-7+5-8+2-4+1-3+7×11+5×998×1001+2××100001+1×＋3×。由于下面這兩行里，、、1001、9999、100001999999、10000001都是11倍數，所以＋5-8＋2-41-3（mod11）。小學生在運算時，碰上“小減大”無法減時，可以從上面的表達式最后一行中“借用”的適當倍數（這樣，最后一行仍都是11倍數），把它加到“小減大”的算式中，這樣就得到：N≡11＋＋＋2-41-3≡3（mod11?，F在總結成一般性公式（推理理由與例題相仿）則N≡（a0-a1+a2-a3＋＋a6-a7+?mod11）或者：⑥N≡（（a0+a2+a4+?a1+a3+a5+?（）（當不夠減時，可添加的適當倍數）。因此，一個自然數能被整除的特征是：它的奇位數字之和與偶位數字之和的差（大減?。┠鼙徽?。我們這里的公式不僅包含整除情況，還包含有余數的情況。下面研究被7、、整除的數的特征。有一關鍵性式子：7××13=1001

所以N能被、、整除，相當于能被7、11、除.總結公式：（mod11；（當倍數）。表述為判定某數能否被7或11或除只要把這個數的末三位與前面隔開，分成兩個獨立的數，取它們的差（大減?。此欠癖换蚧蛘?。此法則可以連續使用。例：判定N否被11除。因為822能被整除，所以N不能被整除。例：N＝定N是否被、11、13除。

由于117＝13×9，所117被13除，但不能711除，因此N能被13除，不能被7、11除。此方法的優點在于當判定一個較大的數能否被或或13除時用減法把這個大數化為一個至多是三位的數，然后再進行判定。如N＝判定N能否被13除？而654=50×，所以原數不能被13整除.如直接計算，很費力：987654321=75973409×13＋4。下面研究可否被、整除的簡易判別法回顧對比前面，由等式＝×1113啟發，才有簡捷的“隔位相減判整除性”的方.于質數17，我們有下面一些等式：176＝102，59=1003，×588=9996，17我們不妨從1759=1003出發。

因此，判定一個數可否被整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數與前面隔出數的3倍的差（大減小）是否被17整除。例：N=31428576，判定N能否被整除。而429=25×，所以N不能被整除。例：N＝2661027否被17除？又935=55×17。所以N可被除。下面來推導被整除的簡易判別法。尋找關鍵性式子：×，19×53=1007.因此，判定一個數可否被整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數的7的差（大減?。┦欠癖?9除。

例：N＝123456789可否被整除？又603＝31×19+14，所以不能被除。例：可否被整除？又57=3×，所以可被整除：×下面來推導被、整除的簡易判別法。尋找關鍵性式子，隨著質數增大，簡易法應該N的位數多時起主要作用，現有234351000529由此啟發得到一個末四位隔開的方法：因此判定一個數可否被或整除只要將其末四位與前面隔開看末四位與前面隔出數的5倍差（大減?。┦欠癖换?9除。例：N＝6938801否被2329除？

又533623×23223×29×8，所以很快判出N可被23及29除。最后，如讀者還想尋找以上數的更簡明判別法，或被31上質數整除的判別法，都是可以去探索的.把這一節得到的公式簡列于下：（可在上述這些同余式的右端加上相應質數的適當倍數）.后兩式沒有證明，讀者不難從×，＝×32發出“隔位加”的判別法。習題六1.公式1003=17×59曾用于推導判定被17整除的公式，請說明公式②也是判定被59整除的簡便公式。2.說明公式③也是判定被整除的簡便公式。3.61是質數，并且×164，你能利用這一等式導出判定被整除的簡便公式嗎？4.67是質數，×15，請證明：

（可在右端加上的適當倍數）。5.994＝71×14，71是