（優選）極限的基本性質ppt現在是1頁\一共有25頁\編輯于星期一二、函數極限的性質唯一性局部有界性局部保號性函數極限與數列極限的關系

第二章

現在是2頁\一共有25頁\編輯于星期一一、收斂數列的性質

1.唯一性定理1.1

(收斂數列極限的唯一性)即若則必有若極限則極限唯一.現在是3頁\一共有25頁\編輯于星期一(用反證法)及且取因

N1

N+,使當n>N1時,假設即當n>N1

時,從而使當n>N1

時,證法1現在是4頁\一共有25頁\編輯于星期一同理,因故

N2

N+,使當n>N2時,有從而使當n>N2

時,有從而使當n>N1

時,則當n>N

時,矛盾！故假設不真!現在是5頁\一共有25頁\編輯于星期一例1

證明數列是發散的.證

用反證法.假設數列收斂,則有唯一極限a

存在.對于則存在N,使當n>N

時,有因此該數列發散.于是推得矛盾！區間長度為1這與現在是6頁\一共有25頁\編輯于星期一2.有界性例如:有界無界現在是7頁\一共有25頁\編輯于星期一即若使(n=1,2,…).定理2.2(收斂數列的有界性)收斂的數列必定有界.現在是8頁\一共有25頁\編輯于星期一證設取則當時,從而有取則有即收斂數列必有界.有現在是9頁\一共有25頁\編輯于星期一注有界性是數列收斂的必要條件，但不是充分條件.

收斂有界關系：例如,雖有界，但不收斂.數列推論無界數列必發散.現在是10頁\一共有25頁\編輯于星期一3.保號性、保序性定理2.3(收斂數列的保號性)(1)若則使當n>N

時，(<)(<)(2)若則a0.(<)()恒有且現在是11頁\一共有25頁\編輯于星期一對a>0,取證(1)(2)

用反證法證明.注如：現在是12頁\一共有25頁\編輯于星期一推論2.3(保序性)使當n>N時，恒有(2)若時,有現在是13頁\一共有25頁\編輯于星期一證(

用反證法)取因故存在N1,

使當n>N1

時,假設從而當n>N1

時,現在是14頁\一共有25頁\編輯于星期一從而同理,因故存在

N2,使當n>N2

時,有則當n>N

時,便有與已知矛盾,于是定理得證.當n>N1

時,現在是15頁\一共有25頁\編輯于星期一4.收斂數列與其子數列的關系(1)子數列的概念稱為數列{xn}的一個子數列(或子列)。現在是16頁\一共有25頁\編輯于星期一例如,

從數列中抽出所有的偶數項是其子數列.它的第k項是組成的數列：現在是17頁\一共有25頁\編輯于星期一(2)收斂數列與其子數列的關系定理2.4也收斂，且證

設的任一子數列.若則當時,有取正整數K,使于是當時,有從而有現在是18頁\一共有25頁\編輯于星期一注定理1°

某收斂例如，但發散.2°

若數列有兩個子數列收斂于不同的極限，則原數列一定發散.例如，

發散!現在是19頁\一共有25頁\編輯于星期一二、函數極限的性質1.唯一性定理2.1'

(函數極限的唯一性)2.局部有界性現在是20頁\一共有25頁\編輯于星期一如：(2)若則

X>0,函數f(x)有界.使得當時，現在是21頁\一共有25頁\編輯于星期一3.局部保號性

定理2.3'

(函數極限的局部保號性)(1)如果且

A>0,則存在(A<0)(2)如果且存在A

0.則(A

0).據此，可由極限符號推得函數在該點鄰域內的符號據此，可由函數在該點鄰域內的符號推得極限符號現在是22頁\一共有25頁\編輯于星期一(1)如果存在X>0(或δ>0),時,恒有f(x)<g(x)(或推論2.3'(函數極限的局部保序性)時,恒有現在是23頁\一共有25頁\編輯于星期一問題:若f(x)<g(x),能否推出？例如:設當x>0時,有f(x)<g(x),但是不能！現在是24頁\一共有25頁\編輯于星期一內容小結1.