§21時間平移和時間反演§21-1時間平移、量子力學中的時空觀在量子力學中，系統或粒子的空間坐標是物理量，有厄米算符與之對應，有本征值和本征矢量，但是時間卻不是物理量，沒有算符與之對應，它在理論中的地位只是一個實數參數，所以系統的哈密頓量在時間變換方面的不變性或對稱性，與對空間變換的不變性是不完全一樣的。1第一頁，共三十八頁。二、時間平移操作以及對態函數和算符的作用在位置表象中

時間平移算符及對態函數的作用設系統處于某一含時態中，其態函數滿足Schr?dinger方程

態的時間平移態是一個運動變化完全與相同，但全面推遲時間發生的態，即2第二頁，共三十八頁。定義為作用于時間參量上的時間平移操作，即定義為作用于時間函數上的時間平移算符，這是一個函數空間上的幺正算符，其對函數的作用可寫為2.時間平移算符對其他算符的作用Hilbert空間中的算符的時間平移為3第三頁，共三十八頁。不顯含時間的算符不受時間平移的影響，如用時間平移算符作用于Schr?dinger方程兩邊：即此式一般來說與原來Schr?dinger方程不同，因為不一定與相同，因此不一定是系統一個可能實現的狀態。4第四頁，共三十八頁。三、哈密頓具有時間平移對稱性的情況具有時間平移對稱性，即如果系統的對一切成立，則Schr?dinger方程任何狀態的時間平移態也是系統的一個可能的狀態，哈密頓具有時間平移的對稱性即是要求它不明顯依賴于時間，不顯含時間的哈密頓本身是一個守恒量，因此說：系統的哈密頓如果具有時間平移的不變性則導致系統的能量守恒。5第五頁，共三十八頁。注意：時間平移與時間演化是兩個不同的概念。波函數經時間平移后不一定再滿足Schr?dinger方程，而時間演化算符作用后的波函數要服從Schr?dinger方程。時間平移算符：(不顯含時間）演化算符：所以：6第六頁，共三十八頁。§21-2時間反演一、態函數的時間反演變換1．時間反演算符設系統的為實算符（不含虛數），且不含時，無自旋。系統的態滿足Schr?dinger方程：

t換成-t：兩邊取復共軛：

7第七頁，共三十八頁。令

則為時間反演態，稱為時間反演算符。每一個含時態都有一個時間反演態與之對應，當哈密頓在時間反演下不變時，時間反演態與原狀態滿足相同的Schr?dinger方程。滿足下列條件：

8第八頁，共三十八頁。的時間反演是位置算符，動量算符和軌道角動量Proof:取任意函數，有所以，

9第九頁，共三十八頁。如果無自旋系統的不顯含時間，又是動量的二次式，則有此時該系統（及其哈密頓）具有時間反演不變性或時間反演對稱性。這時系統的每一個含時態的時間反演態也是系統的一個可能實現的狀態。10第十頁，共三十八頁。在經典力學中，若單粒子所受的外力只是位置的函數而與速度無關，則其運動方程滿足牛頓第二定律，即2.時間反演態

t換成-t：令粒子的時間反演態為則滿足與相同的運動方程。11第十一頁，共三十八頁。反演態的物理圖象：當粒子從初始態經過時間運動到點，動量為時，則其時間反演態如以為初始態，經過時間后，粒子將按原路徑回到，而那時動量為，情況與將原過程拍成電影倒過來放映一樣。12第十二頁，共三十八頁。在量子力學中，以無自旋粒子系統為例，原來的含時態Schr?dinger方程，而的最一般解是

與其時間反演態兩者都滿足同一個式中

是能級的簡并度。

時間反演態:可見：13第十三頁，共三十八頁。所以，當中不含虛數的情況下，雖然仍舊滿足原Schr?dinger方程，但不一定等于原過程的倒放。

其原因是：經典力學只涉及實數，而量子力學涉及復數；量子力學中有狀態疊加原理；與之間有較為復雜的關系。

14第十四頁，共三十八頁。3.時間反演算符的數學性質無自旋系統的時間反演算符可以寫成不尋常的數學性質：（1）時間反演算符不是線性算符，它是反線性算符。

它雖然滿足

但是

15第十五頁，共三十八頁。（2）時間反演算符（）在單一空間的函數空間中不存在厄米共軛算符。根據定義，的厄米共軛算符

無論是什么算符，都不能上式成立。所以不存在。

但滿足

因此，時間反演算符是反幺正算符。16第十六頁，共三十八頁。（3）由于不存在厄米共軛，時間反演算符不是厄米算符，所以沒有物理量與之對應，沒有守恒律與之對應4.Hilbert空間中的時間反演算符（1）反線性算符對左右矢的作用：對線性算符，

對反線性算符，?=

例如：可以設

則對反線性算符，有

17第十七頁，共三十八頁。若對任意,,成立，則，且有那么必須要求不符合矢量的任意性，所以對反線性算符，所以對反線性算符要分別表示：和18第十八頁，共三十八頁。（2）時間反演算符對態矢量的作用：

在Hilbert空間中，無自旋系統的時間反演算符對右矢的作用：利用：

左乘并積分，得

在Hilbert空間中仍有仍可寫成左矢形式其中19第十九頁，共三十八頁。內積

（3）Hilbert空間中算符之間的關系定義一個符號“*”：用這個符號可以把寫成所以

與函數空間中的

對應20第二十頁，共三十八頁。利用有則

以上關系只有處于左右矢之間時才有意義。由此可見反幺正算符與幺正算符的異同之處。在Hilbert空間中，位置算符，動量算符和軌道角動量算符的時間反演變換為21第二十一頁，共三十八頁。三、自旋1/2粒子系統的時間反演算符取常用的表象來討論，自旋1/2粒子的時間反演算符除了符合所滿足的21.10式或21.19式之外，還應滿足

S是粒子的自旋算符。令

其中,是一個矩陣，為自旋空間中的算符。22第二十二頁，共三十八頁。在表象中，

和都是實矩陣，而是純虛的，所以應滿足才能使取

即可

時間反演算符為滿足23第二十三頁，共三十八頁。四、哈密頓本征函數的時間反演態在時間反演下不變，有時可以討論哈密頓本征函數的時間反演。如果態不含時，時間反演實際上是起作由于定態中的時間因子用—取復共軛。對無自旋粒子，對兩邊取復共軛，得即的時間反演態，

可見，當哈密頓量具有時間反演不變性時，它的本征函數的時間反演仍是其本征函數，而本征值不變。24第二十四頁，共三十八頁。§21-3實表示和復表示介紹了如何判斷他們之間的關系屬于哪種類型。主要內容：討論了一個空間對稱變換群{Q}的d維表示矩陣D(Q)與其復共軛表示D*(Q)之間的關系,并重點、變換算符的矩陣表示設{D(Q)}是群{Q}的一組幺正的不可約表示，其基函數為,其中n是一個給定的數，i=1,2,3,…,d25第二十五頁，共三十八頁。兩邊取復共軛，得在上式中，算符的復共軛的定義為：在位置及表象中將算符中的所以因此，空間對稱變換中的平移，轉動和反演算符都滿足

26第二十六頁，共三十八頁。例如：

所以有

上式表明：矩陣元為的一組矩陣也是群的一組幺正的不可約表示，其基函數是27第二十七頁，共三十八頁。類型1：對所有的，全是實矩陣，二、表示矩陣的分類

或者雖然不全是實矩陣，但與一個實表示等價，這種表示稱為實表示；這時可以說是實質上的實表示。另有：當表示不全是實矩陣，但與實表示等價時，必定與等價。28第二十八頁，共三十八頁。類型2.

這種表示稱之為贗實表示。與不等價，類型3.與等價，但不存在一個實表示與之等價，為群的復表示。則29第二十九頁，共三十八頁。§21-4時間反演引起的附加簡并、附加簡并的一組本征函數（共d個）是其對稱性群{Q}的d維幺正不可約表示D(Q)的基函數設系統的哈密頓為，已知某一特定能級E

30第三十頁，共三十八頁。將證明:這一能級的簡并度只有d和2d兩種可能。可以發生后一種情況，沒有時間反演對稱性時，肯定是前者；當當具有時間反演對稱性時，在一定條件下，這時時間反演引起了多一倍的附加簡并。31第三十一頁，共三十八頁。附加簡并的解釋:

當具有時間反演對稱性時，它的任意一個本征函數如果這些時間反演態都在原來的表示空間之內，則能級E的簡并度仍為d。如果所有的時間反演態都在原來的表示空間之外，又形成一個新的d維空間，這個能級的簡并度是2d。的時間反演也是同一能級的本征函數。32第三十二頁，共三十八頁。二、結論三、例子對于沒有自旋的系統，當表示D(Q)屬于類型1時不發生附加簡并，而當表示D(Q)屬于類型2或類型3時，則發生附加簡并。1.一維自由粒子：

哈密頓具有平移不變性。33第三十三頁，共三十八頁。一維位形空間中的平移算符的作用為Hilbert空間(函數空間)中的平移算符及其作用為一維平移群它有無窮多個不可約表示，都是一維的，其形式取是一個單參量的連續Abel群，（k=實數）

34第三十四頁，共三十八頁。這是一個1×1矩陣。與不等價，屬于類型3。因此表示所以有附加簡并，每一能級的簡并度為2。及的表示基矢（1維）分別是乘以時間因子表示向正負兩個方向傳播的平面波。

35第三十五頁，共三十八頁。2．堿金屬原子具有空間轉動性，轉動群的表示屬于類型1，所以不發生附加簡并，能級Enl的簡并度等于2l+1。的基函數是的基函數是與這也是能級Enl的本征子空間。也就不會有附加簡并。

是完全相同的表示空間，而所以，36第三十六頁，共三十八頁。狀態與兩者的差別是平均概率流密度反向，相當于價電子在原子實外面的轉動反向，符合時間反演的物理圖象。37第三十七頁，共三十八頁。內容總結§21時間平移和時間反演。系統的哈密頓如果具有時間平移的不變性。注意：時間平移與時間演化是兩個不同的概念。波函數經時間平移后不一