水力學課件恒定流動的連續方程第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

則根據質量守恒原理：經過dt時刻經控制面流進流出控制體積內的液體質量應相等。（因為是恒定流體內的質量不隨時間變化）則有下式：

ρu1dA1dt=ρu2dA2dt

簡化得

u1dA1=u2dA2

此即為不可壓縮液體元流的能量方程。它表明：通過元流的流速和過水斷面面積成反比。第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

總流由無數個元流組成的。把元流的能量方程對總流過水斷面積分，可得到總流的連續方程，即

或

又由于總流的流量Q＝vA

上式又可寫為

此即為恒定總流連續方程。它表明：通過總流的斷面平均流速與斷面面積成反比。第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六若有支流：

Q1Q2Q3Q1Q2Q3第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六實際液體恒定總流的能量方程式

水流的能量方程就是能量守恒規律在水流運動中的具體表現。根據流動液體在一定條件下能量之間的相互轉換，建立水流各運動要素之間的關系。理想液體恒定流微小流束的能量方程式實際液體恒定流微小流束的能量方程式實際液體恒定總流的能量方程式方程式建立的思路：返回第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六由于是理想液體，不考慮阻力，那么外力只考慮重力與壓力所做的功(1)重力做的功

WG＝dmg(z1–z2)=ρgdQdt(z1–z2)(2)壓力做的功

WP=p1dA1ds1–p2dA2ds2=p1dA1u1dt–p2dA2u2dt=dQdt(p1–p2)第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六方程式的物理意義0012位置水頭壓強水頭流速水頭測壓管水頭總水頭單位位能單位壓能單位動能單位勢能單位總機械能表明：在不可壓縮理想液體恒定流情況下，微小流束內不同過水斷面上，單位重量液體所具有的機械能保持相等（守恒）。返回第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六3.5.4理想液體相對運動恒定元流能量方程

第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六實際液體恒定流微小流束的能量方程式——單位重量液體從斷面1-1流至斷面2-2所損失的能量，稱為水頭損失。0012返回第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

3.6實際液體恒定總流能量方程

將元流能量方程乘以元流的重量ρgdQdt可得出dt時段內通過元流兩過水斷面的能量守恒關系為

對上式積分，可得出dt時段內通過總流兩過水斷面的能量守恒關系第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

上式除以ρgQdt可得出通過總流過水斷面的單位重量液體的能量守恒關系第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六200112

實際液體恒定總流的能量方程式表明：水流總是從水頭大處流向水頭小處；或水流總是從單位機械能大處流向單位機械能小處。

總水頭線測壓管水頭線

實際液體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線，而測壓管水頭線則可能是下降的線也可能是上升的線甚至可能是一條水平線。水力坡度J——單位長度流程上的水頭損失，測管坡度前進方程式的物理意義：第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六應用能量方程式的條件：（1）水流必需是恒定流；（2）作用于液體上的質量力只有重力；（3）在所選取的兩個過水斷面上，水流應符合漸變流的條件，但所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流；（4）在所取的兩個過水斷面之間，流量保持不變，其間沒有流量加入或分出。若有分支，則應對第一支水流建立能量方程式，例如圖示有支流的情況下,能量方程為：（5）流程中途沒有能量H輸入或輸出。若有，則能量方程式應為：Q1Q2Q3112233返回第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六應用能量方程式的注意點：（1）選取高程基準面；（2）選取兩過水斷面；

所選斷面上水流應符合漸變流的條件，但兩個斷面之間，水流可以不是漸變流。（3）選取計算代表點；（4）選取壓強基準面；（5）動能修正系數一般取值為1.0。前進能量方程式的應用返回第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

例1.如圖所示，一等直徑的輸水管，管徑為d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心點的高度為H=2m，若不水流運動的水頭損失，求管道中的輸水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：對1-1、2-2斷面列能量方程式：其中：所以有：可解得：則：答：該輸水管中的輸水流量為0.049m3/s。前進第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六文丘里流量計（文丘里量水槽）1122收縮段喉管擴散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管軸線為高程基準面，暫不計水頭損失，對1-1、2-2斷面列能量方程式：整理得：由連續性方程式可得：或代入能量方程式，整理得：則當水管直徑及喉管直徑確定后，K為一定值，可以預先算出來。若考慮水頭損失，實際流量會減小，則μ稱為文丘里管的流量系數，一般約為0.95~0.98返回第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六例3.4孔口出流：第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六解得第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六實際液體恒定總流的動量方程式11221′1′2′2′t時刻t+△t時刻依動量定律：

即：單位時間內，物體動量的增量等于物體所受的合外力△t時段內，動量的增量：dA1u1u2dA2u1△t在均勻流或漸變流過水斷面上代入動量定律，整理得：即為實際液體恒定總流的動量方程式作用于總流流段上所有外力的矢量和單位時間內，通過所研究流段下游斷面流出的動量與上游斷面流入的動量之差前進第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六動量方程的投影表達式：適用條件：不可壓縮液體、恒定流、過水斷面為均勻流或漸變流過水斷面、無支流的匯入與分出。如圖所示的一分叉管路，動量方程式應為：v3112233ρQ3ρQ1

ρQ2v1v2前進第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六應用動量方程式的注意點：１．取脫離控制體；２．正確分析受力，未知力設定方向；３．建立坐標系４．右側為(下游斷面的動量)-(上游斷面的動量)５．設β１≈1，β２≈1。前進1122FP1FP2FRFGxzy第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六例：設有一股自噴嘴以速度v0噴射出來的水流，沖擊在一個與水流方向成α角的固定平面壁上，當水流沖擊到平面壁后，分成兩面股水流流出沖擊區，若不計重量（流動在一個水平面上），并忽略水流沿平面壁流動時的摩擦阻力，試推求射流施加于平面壁上的壓力FP，并求出Q1和Q2各為多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列動量方程為：前進第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六對0-0、1-1斷面列能量方程為：可得：同理有：依據連續性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列動量方程為：整理得：所以：返回第35頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六