最優(yōu)控制極小值第1頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六本章首先介紹應(yīng)用哈米爾登函數(shù)法求解變分學(xué)中的被爾扎問(wèn)題，然后介紹威爾斯特拉斯E函數(shù)，為推導(dǎo)極小值原理做準(zhǔn)備；最后介紹極小值原理，包括有控制變量不等式約束的極小值理、有控制變量及狀態(tài)變量不等式約束的極小值原理，以及離極小值原理。

一、波爾札問(wèn)題及其解法

這一節(jié)研究變分學(xué)中的波爾札問(wèn)題，通過(guò)它來(lái)介紹求解變分問(wèn)題的哈米爾登函數(shù)法。哈米爾登函數(shù)法仍然屬于變分法的內(nèi)容。但是，由它導(dǎo)出的結(jié)果在許多方面同極小值原理的結(jié)果十分相似，可以把它看成極小值原理的特殊情況，即只存在性約束條件的情況。這正是我們不把這部分內(nèi)容放在研究經(jīng)典變分學(xué)的第一章的原因。下面，首先討論固定端點(diǎn)時(shí)間的波爾札問(wèn)題，然后討論未定終端時(shí)間問(wèn)題。第2頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

1．固定端點(diǎn)時(shí)間、無(wú)不等式約束的波爾札問(wèn)題本小節(jié)研究這樣幾個(gè)問(wèn)題：(1)應(yīng)用哈米爾登函數(shù)法導(dǎo)出在微分方程等式約束下性能泛函取極值的必要條件；(2)一般條件下的橫截條件；(3)哈米爾登函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)；(4)在微分方程等式約束下泛函取極值的充分條件；最后介紹若干應(yīng)用實(shí)例。（1）在微分方程等式約束下性能泛函取極值的必要條件前一章研究過(guò)有等式約束的拉格郎問(wèn)題，其約束方程和性指標(biāo)具有下列形式：

和

現(xiàn)在研究在一類(lèi)特殊的等式約束，即系統(tǒng)微分方程(2·3—1)約束下的波爾札問(wèn)題。其中是維狀態(tài)矢量，是待選擇第3頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的m維控制矢量。取決于控制矢量和初始條件矢量。是維矢量函數(shù)，它的每個(gè)元對(duì)和有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。給定性能泛函 （2.1—2）式中、和L都是連續(xù)可微的純量函數(shù)。假設(shè)端點(diǎn)時(shí)間和固定。下面我們應(yīng)用哈米爾登函數(shù)法來(lái)推導(dǎo)在系統(tǒng)方程(2·1—1)的約束下，使泛函J取極值的必要條件。應(yīng)用拉格朗日乘子，通過(guò)矢量拉格郎乘了把系統(tǒng)微分方程（2·1—1）能泛函(2·1—2)，得到

定義一個(gè)純量函數(shù)第4頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六 （2.1—4）該函數(shù)稱(chēng)做哈米爾等函數(shù)。利用這個(gè)函數(shù)，方程(2·1—3)可寫(xiě)成

（2.1—5）取的一次變分，得 （2.1—6）對(duì)上式右邊積分號(hào)下最后一項(xiàng)使用分部積分；得到

第5頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六把它代入方程(2·1—6)，可得

(2·1一7)泛涵J’取極值的必要條什是。在這里函數(shù)、、不受限制，方程(2·1—7)中、、為任意。于是，根據(jù)必要條件可得下面一組重要的關(guān)系式：

(2·1—8) (2·l—9)

(2·1—10)

（2·1—11）方程(2·1—8)、(2·1—9)和(2·1—10)是利用哈米爾登函數(shù)法導(dǎo)出的歐拉方程，分別叫做系統(tǒng)方程和控制方程。方程(2·1—11)是相應(yīng)的橫截條件，式中n維矢量叫做協(xié)狀態(tài)矢量方程(2·1—8)和(2·1—9)一起叫做規(guī)范方程。

第6頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這里有2n+m個(gè)待定函數(shù)，，。方程(2·1—8)一(2·1—l0)提供2n+m獨(dú)立方程，其中有2n個(gè)一階微分方程，它們的解帶有2n個(gè)積分常數(shù)，這2n個(gè)常數(shù)正好可以利用方程(2·1—11)提供的2n個(gè)邊界條件來(lái)確定。由此可以得出結(jié)論；解方程(2．1—8)一(2·1—11)便能確定待求的最優(yōu)制和最優(yōu)軌線。

必須指出，要得出控制方程，必須任意。如不是任意的，就不能使用基本預(yù)備定理，這樣，條件就不一定是使J取極值的條件。第7頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

（2）關(guān)于橫截條件的進(jìn)一步討論下面討論橫截條件的一般情況。假設(shè)初始狀態(tài)受方程 (2·1—12)的約束，其中

是r維矢量函數(shù)，它的每一個(gè)元連續(xù)可微、。終端狀態(tài)受方程 (2·1—13)約束，其中第8頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

是維連續(xù)可微函數(shù)，。在求性能泛函的極值時(shí)，方程(2。1—12)、(2·1—13)分別規(guī)定了初始狀態(tài)和終端狀態(tài)的取值范圍。利用矢量拉格郎乘子和，將約束條件(2，1—12)和(2·1—13)結(jié)合到函數(shù)和；得到(2·1—14)

式中和分別是r維和q維的。根據(jù)泛函取極值的必要條件，可求出初始狀態(tài)和終端狀態(tài)受約束時(shí)的橫截條件為第9頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2·1—15)

(2·1—16)矢量方程(2·1—15)、(2·1—16)包括2n+r+q個(gè)方程，可以用來(lái)確定規(guī)范方程的2n個(gè)積分常數(shù)和r+q個(gè)待定常數(shù)。（3）哈米爾登函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)哈米爾登函數(shù)有一個(gè)重要性質(zhì)，利用這個(gè)性質(zhì)經(jīng)常可以使最優(yōu)控制問(wèn)題的求解得到簡(jiǎn)化。已知哈米爾登函數(shù)

將上式兩瑞對(duì)t求全導(dǎo)

利用歐拉方程(2.1—8)一(2.1—10)，沿著最優(yōu)軌線

第10頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

若H不顯含t，則由上式可得或常數(shù) (2．1—17)由此得出一條重要結(jié)果：如果哈米爾登函數(shù)H不顯含，那么，它沿著最優(yōu)軌線等于常數(shù)。

（4）在微分方程等式約束下泛函取極值的充分條件假設(shè)端點(diǎn)時(shí)間、固定，初始狀態(tài)。考慮微分方程約束（2.1—1）和終端約束（2.1—13）,性能泛函可寫(xiě)成

第11頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六取J的二次變分，得到

(2·3—18)由此可以得出結(jié)論：假設(shè)，J的一次變分等于零建立了J取極值的必要條件，那么，J取極小(極大)值的充分條件是n×n矩陣， (2·3—19)和(n十m)×(n十m)矩陣，即 (2·3—20)都是正定或半正定(負(fù)定或半負(fù)定)的。第12頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

上面從理論上導(dǎo)出了有系統(tǒng)微分方程和終端狀態(tài)方程約束時(shí)泛函取極值的充分條件。根據(jù)這個(gè)條件可以判斷求出的極值是極大值還是極小值。然而，對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，極值的性質(zhì)是明顯的比如最短時(shí)間問(wèn)題和最少燃料問(wèn)題的最優(yōu)解一定使性能泛函取極小，而最大平飛速度問(wèn)題的最優(yōu)解一定使性能泛函取極大。因此對(duì)于這樣一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題不必計(jì)算矩陣(2·l—19)和(2，1—20)，可直接根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)確定。

小結(jié)總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果：給定系統(tǒng)微分方程

第13頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六和性能指標(biāo)泛函

其中是n維狀態(tài)矢量，是m維控制矢量。假設(shè)、固定，純量函數(shù)、和連續(xù)可微，初始狀態(tài)受r維方程

的約束，終端狀態(tài)受q維方程

的約束，控制矢量不受限制。如果定義哈米爾登函數(shù)為

第14頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

那么，使性能指標(biāo)泛函取極值的控制和軌線必須滿足1）系統(tǒng)方程2）伴隨方程3）控制方程 4）橫截條件

其中、分別是r維和q維待定拉格郎乘子。

5）如果哈米爾等函數(shù)不顯含，則沿著最優(yōu)軌線

=常數(shù)第15頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例2·1—3試求控制和軌線，把系統(tǒng)

從點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線

且使

取極小。解：這個(gè)問(wèn)題的哈米爾登函數(shù)

伴隨方程是伴隨方程的解是

第16頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六控制方程是

于是得

將它代入系統(tǒng)方程，然后積分，可得

利用初始條件，可得

于是

第17頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這里，終端橫截條件是

由后兩式得出。把、、、代入終端橫截條件，即當(dāng)

t＝1，有

和

聯(lián)立求解這兩個(gè)代數(shù)方程，得，于是得到最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，即

第18頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例2·1—2已知系統(tǒng)由3個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，其運(yùn)動(dòng)方程式為

，

，

，試將系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到終端目標(biāo)集

且使性能泛函

取極小。

第19頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

解：這個(gè)問(wèn)題的哈米爾登函數(shù)

伴隨方程是

控制方程是 或終端橫截條件是

這里，，于是得到

因此要求出最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，需要求解下列方程組表示的兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題： ， ， ，第20頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由于終端條件是非線性的，確定積分常數(shù)比較復(fù)雜，最好利用數(shù)字計(jì)算機(jī)來(lái)求解。

例2·1—3

沒(méi)有推力ma作用在二維空間里運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)m上，用坐標(biāo)x、y定質(zhì)點(diǎn)的位置。質(zhì)點(diǎn)的速度分絨分別是u和v，如圖2—1所示。假設(shè)報(bào)力加速度a為常數(shù)，重力加速度和空氣阻力忽略

圖2—1不計(jì)。試確定推力方向角的變化規(guī)律，使質(zhì)點(diǎn)在規(guī)定終端時(shí)間進(jìn)入平飛狀態(tài)，離x軸距離為h，且使平飛速度達(dá)到最大。第21頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第22頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

解：這個(gè)問(wèn)題的系統(tǒng)微分方程是 (2·1—21) (2·1—22) (2·1—23) (2·1—24)初始條件是 (2·1—25) (2·l一26) (2·1—27)(2·1—28)

第23頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六終端約束方程是 ，性能指標(biāo)是

哈米爾登函數(shù)

伴隨方程是

伴隨方程的解為(2·1—29)(2·1—30)(2·1—31)(2·1—32)第24頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六控制方程是

(2·1—33)已知 ，由橫截條件

和

可得第25頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六 (2·1—34) (2·1—35) （2·l—36）

(2·l—37)

和 (2·l—38) (2·1—39)

由方程(2．1—29)一(2·1—32)和方程(2，1—34)一(2·1—37)，可得

第26頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

將代入控制方程(2·1—33)，可得 (2·1—40)其中

下面，我們用代替作獨(dú)立變量，解系統(tǒng)方程(2，l—21)一(2。1—24)。對(duì)式(2．1—40)兩邊微分，可得

另一方面，由

可得到

把它代入系統(tǒng)方程組，用線性正切律積分，再利用初始條件(2·—25)一(2·1—28)，可得第27頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六式中待定常數(shù)和。要用尚未使用的兩個(gè)邊界條件即式(2·1—38)和式(2·1—39)來(lái)確定。由式(2。1—40)，知當(dāng)時(shí)，有

第28頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六可得出 (2．1—45)由式(2，I—38)和式(2．1—42)，知當(dāng)時(shí)，有

由此得出，(2·2—46)

由式(2，1—45)和式(2．1—46)，可得(2·1—47)將上式代入式(2·1—40)，得到

(2·1—48)第29頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由式(2·1—39)、(2．1—44)、（2·1—45）、(2·1—48)，令，得到 (2·1—49)給定、、，由上式可算出，再將代入式(2·1—48)算出。將代入式(2·1—40)，便求出最優(yōu)推力方向角隨時(shí)間變化的規(guī)律 （2·1—50）將式(2·1—47)、(2·1—48)代入方程(2·1—41)和(2·1—43)，得到端時(shí)間質(zhì)點(diǎn)的平飛速度和x坐標(biāo)：和

第30頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

請(qǐng)看實(shí)例：設(shè)

試求終端時(shí)間可能達(dá)到的最大平飛速度。由給定條件可算出

而

把它們代入式(2·1—49)，得到 0.2133333由上式算出，把它代入方程(2．1—51)，可算出終端時(shí)間最大平飛速度，即第31頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2·1—4在高超音速流體中零攻角下旋轉(zhuǎn)體最小阻力外形第32頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第33頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六子彈高速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的激波第34頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第35頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六日本新干線高速列車(chē)第36頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六美國(guó)航天飛機(jī)試驗(yàn)飛行第37頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第38頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六AF-3Britishmilitaryjetaircraft第39頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第40頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六美國(guó)隱形B2戰(zhàn)略轟炸機(jī)第41頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2·1—4在高超音速流體中零攻角下旋轉(zhuǎn)體(見(jiàn)圖2—2)動(dòng)壓J可以精確地表示成

(2·1—53)式中q＝動(dòng)壓；x＝離開(kāi)最大半徑點(diǎn)的軸向距離；r(x)＝旋轉(zhuǎn)體半徑，為x的函數(shù)； (2．1—54)＝牛頓近似壓力系數(shù)＝旋轉(zhuǎn)體長(zhǎng)度；旋轉(zhuǎn)體最大半徑。

圖2—2我們的任務(wù)是根據(jù)給定的、、，酌定r(x)，使D達(dá)到最小。第42頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第43頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：令

（2·1一55）考慮可能出現(xiàn)鈍頭情況，將式(2·1—54)代入式(2·3—53)，可得

或 (2·1—56)這個(gè)問(wèn)題的系統(tǒng)方程是

性能指標(biāo)是

式中

x是獨(dú)立變量；

r是狀態(tài)變量；

u是控制變量；

r(0)給定為a；r(l)未規(guī)定。第44頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

u是控制變量；

r(0)給定為a；r(l)未規(guī)定。

由系統(tǒng)方程和性能指標(biāo)，哈米爾登函數(shù)

(2·1—57)伴隨方程是

控制方程是 (2·1—58)第45頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由橫截條件確定兩點(diǎn)邊界條件為

(2·1—59)哈米爾登函數(shù)不顯含x，所以H沿最優(yōu)軌線等于常數(shù)。將式(2·1—58)代入式，得 常數(shù) (2·1—60)由式(2·1—58)和(2·1—59)，可得：

由此得出或 (2·1—61)第46頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將代入式(2．1—60)，得

由式(2．1—60)和上式得到用斜率表示的旋轉(zhuǎn)體半徑表達(dá)式，即 （2·1—62）對(duì)上式兩邊求微分，得 (2·1—63)由式(2·1—55)，可求出

dr＝一udx或dx＝一dr／u(2·1—64)將上式代入式(2·1—63)；整理后積分，可得

由此求得 （2·1—65）上式表示x與斜率u之間的關(guān)系。方程(2·1—62)和(2·1—65)是旋轉(zhuǎn)體最優(yōu)形狀參數(shù)方程。現(xiàn)解第47頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

下面這兩個(gè)超越方程： (2．1—66) (2．1—67)可以確定頂點(diǎn)半徑r(l)和x＝0上的斜率u。

圖2—3表示固定，為幾種不同值時(shí)旋轉(zhuǎn)體的幾何形狀。由式(2·1—62)一(2·1—64)，可得

將上式代入式(2·1—56)，并注意到

和可得

參考面積為。因此，最小阻力系數(shù)為

第48頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第49頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2·1—68)假設(shè)＝1000mm，＝250mm；形式(2·l—67)除(2·1—66)，

解上述方程得

將代入式(2·1—66)和(2·1—68)，得第50頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例2·1—5給出長(zhǎng)為的繩子，連在一根長(zhǎng)為2的直線的兩端，，試用哈米爾登函數(shù)法，求使繩子同直線間面積最大的繩子的形狀。解：設(shè)繩子與直線間的關(guān)系如圖2—4所示，由題意可列出如下關(guān)系式：

其中是繩子形狀函數(shù)曲線的斜率。設(shè)是從起到處的一段繩長(zhǎng)，則第51頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第52頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

因此有

且

于是，得到這個(gè)問(wèn)題的系統(tǒng)方程是

其中x、y是狀態(tài)變量；是控制變量，t是獨(dú)立變量。這個(gè)問(wèn)題的性能指標(biāo)

初始條件 (2·1一69)第53頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六哈米爾登函數(shù)可表示為 (2·1—71)伴隨方程為 (2·1—72)

控制方程為

因此 (2·1—73)第54頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六哈米爾登函數(shù)不顯含，因此，沿最優(yōu)軌線等于常數(shù)。由式(2·1—72)和(2·1—73)，可得， (2·1—74)由式(2·1—71)和(2·1—73)，可得 (2·1—75)對(duì)(2·1—74)兩邊取微分，可求得’

因此有 (2·1—76)令。當(dāng)時(shí)，由式(2·1—75)和式(2·1—69)第一式，可得 (2·1—77)由式(2·1—75)和(2·1—70)，當(dāng)時(shí)，有 (2·1—78)第55頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由式(2·1—77)、(2·1—78)，可得(2·1—79)由式(2·1—76)，可知

即(2·1—80)因此由式(2。1—79)、(2·1—80)，得到

把和代入式(2·1—76)、(2·1—77)，得到

， (2·1—81)由式(2·1—74)和式(2．1—81)，得

當(dāng)，有第56頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

當(dāng)，有

比較以上兩式知c＝0，于是得到 (2．1—82)由式(2·1—74)、(2。1—75)和式（2。1—81）以及c＝o，可得

和

將上面兩式兩邊平方然后相加，得到繩子最優(yōu)形狀方程，即

第57頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這是一段圓弧方程圓心位于，半徑為，其中已知，通過(guò)求解超越方程(2·1—82)可求出相應(yīng)的。

例2·1—6把一火箭運(yùn)載工具從一已知的初始環(huán)形軌道在預(yù)定時(shí)間內(nèi)發(fā)．射值至最大可能的環(huán)形軌道。假設(shè)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推力大小恒定，即為常數(shù)，如圖2—5所示，試求推力方向角的變化規(guī)律。

解：令

r為宇宙飛船至引力巾心的徑向距離；

u為速度的徑向分量；

v為速度的切向分量；為運(yùn)載火箭的質(zhì)量；為燃料消耗的速率，設(shè)為常數(shù)；為推力方向角；為引力常數(shù)。第58頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第59頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由題意可列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，即

性能泛函為

初始條件為

終端條件為

于是，可列出哈米爾登函數(shù)

伴隨方程是第60頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

控制方程是

即

在這里

出此可得終端橫截條件：第61頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六出此可得終端橫截條件：

于是，得到以下兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題：

第62頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六 ， ， ，

，求解上面的非線性、時(shí)變兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題，可求出狀態(tài)變量，協(xié)狀態(tài)變量，拉格郎乘子、進(jìn)而由可求出推力方向角隨時(shí)間的變化規(guī)律。第63頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

2．未定終端時(shí)間、無(wú)不等式約束的波爾扎問(wèn)題前一小節(jié)用哈米爾登函數(shù)法研究了端點(diǎn)時(shí)間固定的波爾札問(wèn)題現(xiàn)在討論終端時(shí)間未規(guī)定的情況。在這里終端約束條件是終端狀態(tài)和終端時(shí)間的函數(shù)，而對(duì)終端時(shí)間未做規(guī)定。為方便起見(jiàn)，假設(shè)初始時(shí)間已知。現(xiàn)在的問(wèn)題是在系統(tǒng)微分方程 未規(guī)定 (2·1—83)約束T，求控制u(t)和軌線x(t)，使性能泛函 (2·1—84)取極小，且在未定終端時(shí)間滿足下面?zhèn)€終端約束方程： (2·1—85)這個(gè)終端約束條件是前一章研究過(guò)的終端條件：的更一般情況。使用矢量拉格郎乘子和v，把約束方程(2·1—83)、(2·1—84)第64頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六·85)結(jié)合到性能泛函(2。1—84)，可得到

或 (2·1—86)式中哈米爾登函數(shù)H和純量函數(shù)別定義為

和

第65頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六令

把它們代入式(2·1—86)，構(gòu)成

再把展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取它的線性項(xiàng)，得到泛函J的一次變分

為分析方便，式中省去了符號(hào)“*”。對(duì)上式右邊積分號(hào)下最后項(xiàng)使用分部積分，并注意列第66頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2·1—87)得

圖2—6是式(2．1—87)的幾何說(shuō)明。上式中各個(gè)變分、、圖2-6 第67頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六 、、、互不相關(guān)且任意，根據(jù)泛函J取極值的必要條件，可以得出如下結(jié)果： (2·1—88) (2·1—89) (2·1—90)第68頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2·1一91)

(2·1—92)(2·1—93)(2·1—94)

方程(2·1—88)一(2·1—90)代表2n個(gè)一階微分方程和m個(gè)代數(shù)方程，用來(lái)確定2n十m個(gè)未知函數(shù)(i＝1，2，…，n)和(j＝1，2，…，m)。方程(2。1—91)一(2，1—94)代表2n十q十1條件，，用來(lái)確定2n個(gè)積分常數(shù)，q個(gè)拉格朗乘子(k＝1，2，…q)和一個(gè)最優(yōu)終端時(shí)間。同固定端點(diǎn)時(shí)間問(wèn)題相比，這里增加一個(gè)方程，即式(2·1—94)。這個(gè)階加方程正好是確定未知終端時(shí)間需要的。第69頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

上一小節(jié)證明了哈米爾登函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，即如果它不顯含t，則沿最優(yōu)軌線等于常數(shù)。對(duì)于未定終端時(shí)間問(wèn)題，可以證明上述性質(zhì)同樣存在，特別是如果函數(shù)和都不顯含t，則由方程(2。1—94)可得出

由此可以得出結(jié)淪：如果終端時(shí)間未規(guī)定，且函數(shù)H、和不顯含t，則哈米爾登函數(shù)沿最優(yōu)軌線等于零，即 ，小結(jié)總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果：給定系統(tǒng)微分方程

和性能指標(biāo)

其中第70頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

是n維狀態(tài)矢量；是m維控制矢量。假設(shè)固定，未規(guī)定。純量函數(shù)和L連續(xù)可微，初始狀態(tài)未規(guī)定，終端狀態(tài)受q個(gè)方程，即

約束，控制向量不受限制。定義哈米爾登函數(shù)

那么，如果、、分別是最優(yōu)控制、最優(yōu)軌線和最優(yōu)終端時(shí)間，則它們同一起在區(qū)間上必須滿足：1）系統(tǒng)方程2）伴隨方程3）控制方程第71頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4）橫截條件

5）如果哈米爾登函數(shù)H和函數(shù)、都不顯含t，則

例2。1—7給定單積分系統(tǒng)

，求控制變量使，并使

第72頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

取極小。其中和是給定常數(shù)，終端時(shí)間未規(guī)定。解；這個(gè)問(wèn)題的哈米爾登函數(shù)

控制方程是 或伴隨方程是

它的解是 常數(shù)系統(tǒng)方程的解是

第73頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六利用邊界條件

可得

終端約束方程和附加方程是

和

或

給定和，可由上述方程求出和，進(jìn)而求出最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線。例如，假設(shè)，則可算出： ， ，第74頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2·1—8對(duì)于例2·1—3所描述的系統(tǒng)，假設(shè)推力加速度。為常數(shù)，重力加速度和空氣阻力忽略不計(jì)。要求用最短時(shí)間把質(zhì)點(diǎn)送到垂直坐標(biāo)為的水平軌道上；且使水平速度達(dá)到規(guī)定值 ，而對(duì)x坐標(biāo)未規(guī)定，試求推力方向角的變化規(guī)律。解：由題意，可列出這個(gè)問(wèn)題的系數(shù)微分方程：

性能指標(biāo)(2·1—96)終端約束條件

(2·1—96) (2·1—37) (2·I—98)第75頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六于是得到哈米爾登函數(shù)

伴隨方程是 (2．I一99) (2·1—100) (2、1一101) (2·1—102)半隨方程的解為

(2·1—103) (2·1—104)控制方程

第76頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2．1—105)這個(gè)問(wèn)題的初始條件是

(2·1—106)(2．1—107)(2．1—108)(2·1—109)終端橫截條件是 (2·1—110) (2·1—111)

(2．1—112) (2·1—113)第77頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

和(2·1—114)(2．1—115)(2·1—116)這里

因?yàn)镠和N都不顯含t，所以，于是有

利用終端橫截條件可確定伴隨方程解的積分常數(shù)由式(2·1—103)一(2·1—105)及上面求出的積分常數(shù)，可得

(2．1—117)其中

解系統(tǒng)方程，得到第78頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2·1—118) (2·3—119)

(2·1—120)

(2·1—121)由式(2·1—117)，當(dāng)時(shí)，有

因此，。由方程(2·1—115)和(2·1—119)，可得

第79頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六因此，，于是得到 (2·1—122) (2·1—123)利用式(2·1—114)、(2·1—116)、(2．1—118)、(2．1—120)、(2。1—121)和(2，1—122)，并注意到

可得 （2·1—124） （2·l—125） (2·2—126)由式(2．1—124)、(2·1—125)消去c，可得第80頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2．1—127)將式(2，1—123)代入(2，1—124)，消去c，可求出 （2·1—128）如果給定a、h和U，則可以式(2·1—127)算出，再由式(2．1—128)和(2．1—126)計(jì)算出最短時(shí)問(wèn)和終端時(shí)間的x坐標(biāo)；然后把式(2·1—123)代入(2·l—117)得到最優(yōu)推力方向角隨時(shí)間的變化規(guī)律。例如，假設(shè)

a＝150m／，h＝200m，U＝737m／s第81頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六那么，利用上面導(dǎo)出的關(guān)系式可算出：

例2·1—9在例2·1—8中考慮重力加速度g的影響，試確定1)

初始推力方向角；2)終端推力方向角；3)最短時(shí)間；4)終端時(shí)間的坐標(biāo)。解：這個(gè)問(wèn)題的系統(tǒng)方程是 ， ，性能指標(biāo)泛函是式(2·l—95)，終端約束條件是方程(2·1—96)—(2．1—98)；哈米爾登函數(shù)是

伴隨方程是方程(2·l—99)一(2·1—102)；初始條件是式(2·1—l06)

一(2．1—209)；終端橫截條件是式(2．1—110)一(2．3—116)；控

第82頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六制方程是方程(2·1—117)。解系統(tǒng)方程，可得

用終端橫截條件(2．1—114)一(2·1—116)，可得 (2·l—129) (2·1—130)

(2·1—131)外，當(dāng)時(shí)，有 (2·1—132)第83頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2·1—133)方程(2·1—130)和(2·1—133)，可得 (2·1—134)方程(2，1—129)一(2．1—131)和方程(2·I—133)，可得

(2．1—135)由方程(2·1—129)一(2。1—133)，可得 (2．1—136)如果給定阿a、h和U，則由式(2·1—134)、(2．1—135)可算出和，然后把它們代入式(2·1—132)、(2·1—136)可算出和。例如，給定 ，h＝200m，U＝737In／s可算出 ，

第84頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

問(wèn)題2·1—1給定系統(tǒng)方程

初姑條件為

終端條件為 未規(guī)定試求控制和軌線，使性能泛函

達(dá)到極小。問(wèn)題2·1—2給定系統(tǒng)方程為

端點(diǎn)條件為

未規(guī)定試求控制和軌線，使性能泛函

達(dá)到極小。

第85頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

問(wèn)題2·1—3給定系統(tǒng)方程

端點(diǎn)條件為 未規(guī)定試求控制和軌線，使性能泛函

達(dá)到極小。

問(wèn)題2·1—4試求控制和軌線，把系統(tǒng)

從轉(zhuǎn)移到，且使性能泛函達(dá)到極小。

問(wèn)題2·1—5試在例2·l—4所述最優(yōu)彈頭形狀問(wèn)題中，用式2·1—61)表示的另一結(jié)果，導(dǎo)出彈頭形狀曲線方程，并討論所得結(jié)果。

問(wèn)題2·1—6給定系統(tǒng)方程為

性能泛函為 ，未規(guī)定初始條件為

第86頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

終端條件為

試求使J取極小的、和應(yīng)滿足的微分方程式和邊界條件。

問(wèn)題2·1—7試用哈米爾登函數(shù)法求解例1·4—3。

問(wèn)題2·1—8設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在平面上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度是該質(zhì)點(diǎn)所在位置的函數(shù)，即V=V(x，y)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程式是

式中是速度方向與x軸間的夾角。試證明當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著最優(yōu)時(shí)間軌線行進(jìn)時(shí)控制變量必須滿足下列微分方程：

問(wèn)題2·1—9試用哈米爾登函數(shù)法求在t—x平面上由點(diǎn)到直線具有最短弧長(zhǎng)的曲線方程。

第87頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

二、充分條件及威爾斯持拉斯E函數(shù)本章主要任務(wù)是介紹極小值原理。但是，極小值原理的嚴(yán)格證明全十分復(fù)雜的，我們只做簡(jiǎn)單的證明。在推導(dǎo)極小值原理時(shí)，要用到泛函取極值的一個(gè)充分條件。這個(gè)條件是建立在威爾期特拉斯E函數(shù)基礎(chǔ)上的。這一節(jié)的任務(wù)是介紹這個(gè)充分條件及威爾斯特拉斯E函數(shù)。1．極值曲線場(chǎng)在(t，x)平面上，如果對(duì)其中的某個(gè)域D上的每一點(diǎn)都有曲線族x＝x(t,c)中的一條曲線而且只有一條曲線經(jīng)過(guò)，我們便說(shuō)曲線族在D域上形成一個(gè)場(chǎng)，或更準(zhǔn)確地說(shuō)，形成一個(gè)正常場(chǎng)。在曲線族x＝x(t，c)上點(diǎn)(t，x)處切線的斜率，叫做場(chǎng)在該點(diǎn)的斜率，記為p(t，x)。顯然，如果x(t，c)連續(xù)可微，則p(t，c)在場(chǎng)中每一點(diǎn)上都唯一確定。如果真x(t，c)是分段光滑的，那么，除角點(diǎn)以外，p(t，x)在場(chǎng)中每—點(diǎn)也都唯一確定。例如，在圓域內(nèi)一切乎行直線形成一個(gè)場(chǎng)，這個(gè)場(chǎng)的斜率為p(t，x)＝1，如圖2—7所示。如果曲線族x＝x(t，c)的全部曲線都通過(guò)某一點(diǎn)A(t。，x。)，形成一個(gè)曲線束，束中曲線布滿整個(gè)域D，束心也在其中，并且除束心以外曲線在域D內(nèi)不再相交，如圖2—8所示，我們就說(shuō)曲線族x＝x(t，c)也形成一個(gè)場(chǎng)。為了同前面說(shuō)的正常場(chǎng)相區(qū)別，稱(chēng)它為中心場(chǎng)。第88頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第89頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

如果正常場(chǎng)或中心場(chǎng)是由某個(gè)變分問(wèn)題的極值曲線族形成D，則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為極值曲線場(chǎng)。在第于章曾經(jīng)指出，關(guān)于某個(gè)變分問(wèn)題的歐拉方程的積分曲線代表一族曲線，這樣一族曲線就是所述變分問(wèn)題的極值曲線族。場(chǎng)的概念也可以由平面情況推廣到任意維空間情況。如果對(duì)于空間的域D內(nèi)的每一點(diǎn)，都有曲線族(i＝1，2，…，n)中的一條并且只有一條曲線經(jīng)過(guò)，則曲線族在域D內(nèi)形成一個(gè)場(chǎng)。在點(diǎn)

處函數(shù)對(duì)t的偏導(dǎo)數(shù)，叫做場(chǎng)的斜率函數(shù)(i＝1，2，…，n)。如果寫(xiě)成量形式，則有

其中

任意維空間里的中心場(chǎng)也可以用同樣方法來(lái)定義。第90頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

2．威爾斯特拉斯E函數(shù)

假設(shè)在性能泛函

求p極值問(wèn)題中，極值曲線起始于，終止于它被包含在斜率等于p(t，x)的極值曲線場(chǎng)內(nèi)，如圖2—9所示。取c是經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)與鄰近的容許曲線，則性能泛函J的增量

(2．2—1)式中積分和分別表示性能泛函 沿著容許曲線c的積分值和沿著極值曲線的積分值。

圖2。9第91頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第92頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六勿庸置疑，如果泛函J在任何一條與曲線鄰近的曲線上的積分值都不小于(不大于)在曲線上的積分值，也就是，則泛函J在曲線上達(dá)到極小(極大)值。由此可見(jiàn)，要確定極值的性質(zhì)，就要確定的符號(hào)，這就需要判斷方程(2．2—1)右邊的兩項(xiàng)中哪一項(xiàng)大，哪一項(xiàng)小。但是由于這兩項(xiàng)的積分路線不同，直接進(jìn)行比較是困難的。為了把它們化成便于比較的形式，可把式(2·2—1)右邊第二項(xiàng)沿曲線積分，變成等價(jià)的，沿曲線c的積分。為了便于數(shù)學(xué)上處理，我們引入如下輔助函數(shù) (2·2—2)其中p是極值曲線場(chǎng)在點(diǎn)(t,x)，處的斜率，即通該點(diǎn)的極值曲線線在該點(diǎn)的切線斜率，dx/dt是容許曲線在(t,x)處切線的斜率率。

第93頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在圖2—10上，點(diǎn)劃線表示一族極值曲線，c表示與極值曲線鄰近的一條容許曲線，那么，在點(diǎn)處，有

圖2—10

下面我們來(lái)證明積分(2，2J2)與積分路徑無(wú)關(guān)。由普通微積分學(xué)可知，曲線積分

與積分路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件是函數(shù)N(x，y)和M(x，y)在各點(diǎn)滿足關(guān)系式： （2。2—3）把函數(shù)(2·2—2)改寫(xiě)成第94頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第95頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

(2·2—4)如果上述積分與積分路徑無(wú)關(guān)，利用關(guān)系式(2‘2—3)，就有 (2·2—5)桓等式(2。2-5)兩邊都是全偏導(dǎo)數(shù)，把它展開(kāi)，可得

或 (2·2—6)第96頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六容易看出，方程(2。2—6)恰巧是方程

的展開(kāi)式，這也正是歐拉方程

當(dāng)時(shí)的展開(kāi)式，而場(chǎng)的斜率就是歐拉方程積分曲線切線的斜率，因此，對(duì)所述極值曲線場(chǎng)中的來(lái)說(shuō)，必然滿足歐拉方程。這就證明了恒等式(2·2—5)必然成立，從而證實(shí)了輔助函數(shù)(2·2—4)或(2·2—2)與積分路徑無(wú)關(guān)；因此下式立：

第97頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六因?yàn)樵跇O值曲線場(chǎng)中沿著極值曲線每一點(diǎn)，因此，上式右邊變成

于是得到

對(duì)于任意選擇的，上式都成立。因此，增量方程(2。2—1)可以變換成如下形式：

第98頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上式右邊的被積函數(shù)叫做威爾斯特技斯俄E函數(shù)。用符號(hào)表示，即

于是J的增量方程可寫(xiě)成顯然，如果函數(shù)E不為負(fù)，則一定有。因此，泛函J在曲線上達(dá)到極小值的充分條件是；反之，如果E不為正，則必有。于是，泛函J在曲線上達(dá)到極大值的充分條件是。這個(gè)根據(jù)函數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷泛函取極小值或極大值條件，叫做威爾斯特拉斯條件。在極值曲線場(chǎng)中，每一點(diǎn)都有一條極值曲線經(jīng)過(guò)，容許曲線c上的每一點(diǎn)(t，x)同時(shí)也是經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的極值曲線上的點(diǎn)(t，x*)。例如，在圖2—10所示的極值曲線場(chǎng)中，容許曲線上的點(diǎn)同樣也是通過(guò)該點(diǎn)的極值曲線上的點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)第99頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

對(duì)容許曲線而言記為，對(duì)極值曲線而言記為。因此，威爾斯特拉斯條件也可以這樣說(shuō)：如果函數(shù)

則性能泛函取極小(極大值。這里

上述條件也可以推廣到多變量，即函數(shù)為矢量的情況。假設(shè)性能泛函

其中為一n維矢量，那么，J沿某一容許曲線

c的積分值與沿極值曲線的積之差第100頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

如果

或

則性能泛函J取極小(極大)值。其中和3．弱極值和強(qiáng)極值如果對(duì)于一切，在同時(shí)滿足容許曲線上的x值與極第101頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六值曲線上的點(diǎn)相接近，容許曲線上的值也與極值曲線上的p相接近的條件下，有，則泛函達(dá)到的極值稱(chēng)為弱極小（極大）值，具有這樣性質(zhì)的容許曲線如圖2—11所示。如果對(duì)于一切，在容許曲線上的與極值曲線上的點(diǎn)相接近，對(duì)于任意，有，則泛函達(dá)到的極值稱(chēng)為強(qiáng)極小(極大)值。在這樣的情況下，容許曲線不僅包括圖2—11中的那一類(lèi)，而且也包括圖2—12中的那一類(lèi)。由此可見(jiàn)，如果泛函在上有強(qiáng)極值，那么，它在上也有弱極值；反之，如果它在上有弱極值，那并不一定在上有強(qiáng)極值。

圖2—11圖2—12在此以前，我們根據(jù)泛函的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)式的線性項(xiàng)建立極值的必要條件根據(jù)它的二次項(xiàng)來(lái)判斷極值的性質(zhì)。這就要求和都是微變量。也就是說(shuō)，要求對(duì)于一切，容許曲線及其導(dǎo)數(shù)分別接近極值曲線及其導(dǎo)數(shù)。這正是弱極值要求的條件，因此，所確定的極值屬于弱極值。第102頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

小結(jié)

總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果：給定性能泛函其中是一n維矢量，建立威爾斯特拉斯E函數(shù)

或

如果在區(qū)間上滿足威爾斯特拉斯條件

或

則性能泛品J取極小(極大)值。第103頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果上述條件是在容許曲線上的值與極值曲線上的點(diǎn)相接近，同時(shí)容許曲線上的x位也與板位曲線上的p相接近的條件下達(dá)到的，那么，泛函達(dá)到的極值稱(chēng)為弱極值。如果只要求x接近，而不要求也接近于p，那么，泛函達(dá)到的極位稱(chēng)為強(qiáng)極值。例2．2—1給定性能泛函其中a＞0，b＞o。直線族是它的歐拉方程的解。利用端點(diǎn)條件，可求出極值只能在直線

上達(dá)到。而且直線形成一。個(gè)以點(diǎn)(0，0)為中心，其中包括直線第104頁(yè)，共174頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的中心場(chǎng)，如圖2—13所示。這個(gè)問(wèn)題的威爾斯特拉斯函數(shù)是

在極值曲線上，場(chǎng)的斜率p＝b／a＞0，如果取近似于