2021-2022學(xué)年浙江省浙東北聯(lián)盟（ZDB）高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．2 B．8 C．1 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，即.故選：D.2．直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．150° D．120°【答案】B【解析】先由直線方程求出斜率，再由斜率求出直線的傾斜角得解.【詳解】，故選：B【點睛】此題考查由直線方程求直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.3．已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題知，焦點在軸上，再根據(jù)公式求解即可.【詳解】解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，焦點在軸上，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：A4．直線截圓所得的線段長為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】先算出圓心到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得答案.【詳解】圓，即圓心.圓心C到直線的距離，則直線截圓所得線段長為：.故選：C.5．已知點是拋物線上一點，是拋物線的焦點，是圓的圓心，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作的垂線，垂足為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值，在根據(jù)幾何知識得當(dāng)，，在一條直線上時有最小值【詳解】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為，為圓的圓心，所以的坐標(biāo)為，過作的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，所以問題求的最小值，就轉(zhuǎn)化為求的最小值，由平面幾何的知識可知，當(dāng)，，在一條直線上時，此時，有最小值，最小值為，故選：B．6．已知函數(shù)的定義域為R，數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性的定義，可得的不等式組，解不等式可得所求范圍．【詳解】解：由函數(shù)的定義域為，數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，可得，即為，解得，則實數(shù)的取值范圍是．故選：D．7．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅特在世紀(jì)年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)表示第行中白圈的個數(shù)，由題意可得，，根據(jù)初始值，結(jié)合遞推公式可求得的值.【詳解】已知是第行中黑圈的個數(shù)，設(shè)表示第行中白圈的個數(shù)，由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一白兩黑三個圈，由題意可得，且，，所以，，；，；，；，.故選：A.8．已知橢圓，若存在過點且互相垂直的直線，，使得，與橢圓C均無公共點，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷l(xiāng)1，l2中一條斜率不存在和另一條斜率為0，兩直線中有一條與橢圓相交，當(dāng)兩直線斜率存在且不為0時，可設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，由于判別式小于0，以及求根公式，結(jié)合兩直線垂直的條件，可將換為，解不等式，考慮不等式有解，可得m的范圍，即可得到所求離心率的范圍．【詳解】橢圓，過點A（3，1）的直線l1，l2中一條斜率不存在和另一條斜率為0時，斜率為0的直線與橢圓相交，當(dāng)兩直線的斜率存在且不為0時，設(shè)，即，聯(lián)立橢圓方程可得，由直線和橢圓無交點，可得，化簡得，解得或；由兩直線垂直的條件，可將換為，即有，化為，解得．由題意可得，可得；同樣，解得．則．故選：C．二、多選題9．（多選）若直線過點（－3，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的一般式方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分情況討論，當(dāng)直線過原點時直線方程；當(dāng)直線不過原點時：設(shè)直線方程為，代入點求出的值即可得到直線方程．【詳解】解：①當(dāng)直線過原點時：直線方程為，化為一般式為，②當(dāng)直線不過原點時：設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，則直線方程為，又直線過點，代入得，即，直線方程為：，化為一般式為，綜上所求，直線的方程為或.故選：BD.10．某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點（離地面最近的點）距地面千米，遠(yuǎn)地點（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面千米，并且三點在同一直線上，地球半徑約為千米，設(shè)該橢圈的長軸長、短軸長、焦距分別為，則A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件數(shù)形結(jié)合可知，然后變形后，逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】因為地球的中心是橢圓的一個焦點，并且根據(jù)圖象可得，（），故A正確；，故B正確；（）兩式相加，可得，故C不正確；由（）可得，兩式相乘可得，，故D正確.故選ABD【點睛】本題考查圓錐曲線的實際應(yīng)用問題，意在考查抽象，概括，化簡和計算能力，本題的關(guān)鍵是寫出近地點和遠(yuǎn)地點的方程，然后變形化簡.11．若圓上有且只有兩個點到直線的距離等于2，則半徑r的大小可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BCD【分析】先求出圓心到直線的距離，根據(jù)題設(shè)知，解不等式可得解.【詳解】由圓，可得圓心的坐標(biāo)為圓心到直線的距離為由題設(shè)知，解得，即的取值范圍是故選：BCD12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線上任意點與兩個定點和點連線的斜率之和等于，曲線上任意點與兩個定點和點連線的斜率之積等于，則關(guān)于曲線、的結(jié)論正確的有（

）A．曲線是中心對稱圖形B．曲線上所有的點都在圓外C．曲線、有兩個公共點D．過與曲線公共點最少的直線中有兩條與曲線沒有公共點【答案】ABD【分析】求出曲線、的方程，利用對稱性的定義可判斷A選項的正誤；利用基本不等式可判斷B選項的正誤；聯(lián)立兩曲線的方程，利用方程思想可判斷C選項的正誤；求出所求直線的方程，判斷直線與曲線的公共點個數(shù)，可判斷D選項的正誤.【詳解】設(shè)點、，由已知可得，顯然，可得，故曲線的方程為（且），由已知可得，化簡得，故曲線的方程為.對于A選項，在曲線上任取一點，則，那么，說明點也在曲線上，故曲線關(guān)于原點中心對稱，A對；對于B選項，在曲線上任取一點，其中則，即點在圓外，B對；對于C選項，聯(lián)立，化簡可得，矛盾，故曲線、無交點，C錯；對于D選項，過與曲線公共點最少的直線的方程為或，這兩條直線與曲線均無公共點，D對.故選：ABD.三、填空題13．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若大夫出6錢，則上造出的錢數(shù)為__________．【答案】【分析】將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)前項和公式求出公差，結(jié)合通項公式即可求解.【詳解】解：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列.根據(jù)題意可知，等差數(shù)列的首項為，前5項和為100，設(shè)公差為，則，解得，所以上造出的錢數(shù)為.故答案為：14．過點作圓的切線，則點到切點的距離為__________．【答案】【分析】由題知點到圓心的距離為，再根據(jù)求解即可.【詳解】解：由圓得圓心為，半徑為，所以點到圓心的距離為，所以點到切點的距離為故答案為：15．若直線與曲線有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得直線過定點，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想可得直線斜率的最大、最小值.【詳解】由題意得，直線過定點，畫出的圖象，如圖，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線與圓相切于點時，斜率取得最小值，此時；當(dāng)直線與圓相交于點時，斜率最大，此時，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16．已知橢圓，過左焦點任作一條斜率為的直線交橢圓于不同的兩點，，點為點關(guān)于軸的對稱點，若，則面積的取值范圍是_____．【答案】，【分析】先設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和與積，利用得到關(guān)于的表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求其最值.【詳解】由題意，設(shè)，，，，則，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，消去，得，所以，，因為，所以，即，即，不妨設(shè)，，則令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，所以，，即，，所以△面積的取值范圍是，，故答案為：，．四、解答題17．已知直線和直線．(1)當(dāng)時，求的值；(2)當(dāng)時，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)兩直線平行可的關(guān)于實數(shù)的等式，解出的值，再進(jìn)行檢驗即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.(1)解：因為，則，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，直線的方程為，；當(dāng)時，直線的方程為，直線的方程為，與重合，不合乎題意.綜上所述，.(2)解：因為，則，解得.18．已知圓和圓．(1)當(dāng)時，判斷圓和圓的位置關(guān)系；(2)是否存在實數(shù)，使得圓和圓內(nèi)含？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】(1)圓和圓相交(2)不存在實數(shù)，使得圓和圓內(nèi)含，理由見解析【分析】（1）由題設(shè)寫出圓、的圓心坐標(biāo)及半徑，并求出圓心距，根據(jù)與的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.（2）假設(shè)存在實數(shù)，根據(jù)兩圓內(nèi)含關(guān)系列不等式并求解，即可知參數(shù)的存在性.(1)解：當(dāng)時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，半徑，圓的方程為，則，半徑，∴兩圓的圓心距，又，∴，∴圓和圓相交．(2)解：不存在．理由如下：圓的方程可化為，則，半徑．而，半徑．假設(shè)存在實數(shù)，使得圓和圓內(nèi)含，則圓心距，即，此不等式無解．故不存在實數(shù)，使得圓和圓內(nèi)含．19．已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前n項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）由于時，，當(dāng)時，，故分和兩種情況討論求解即可.(1)解：因為數(shù)列的前n項和為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然，當(dāng)時，滿足，所以(2)解：由（1）知，因為時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，①，②，所以①②得，即，所以，20．設(shè)橢圓過點，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點且斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點，求弦的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意求出，再由離心率及，求出，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線的方程，設(shè)直線與的交點為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，再利用弦長公式求出弦長；(1)解：將點代入橢圓的方程得，所以．又由，得，即，所以．所以橢圓C的方程為．(2)解：過點且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點為，，聯(lián)立方程，消去得，得，．由弦長公式21．已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）將等式變形得出，利用等差數(shù)列的定義可得出結(jié)論；（2）求得，分析數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列的最大項的值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實數(shù)的取值范圍.(1)證明：對任意的，，所以，，則，故且，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為，公差為，，故.(2)解：，則.當(dāng)時，則有，即；當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有，故數(shù)列從第四項開始單調(diào)遞減，所以，，對任意，都有，則，整理可得，解得或.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.22．已知點、、是拋物線上的點，且．(1)若點的坐標(biāo)為，則動直線是否過定點？如果過定點，請求出定點坐標(biāo)，反之，請說明理由．(2)若，求面積的最小值．【答案】(1)證明見解析，直線過定點；(2).【分析】（1）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算與韋達(dá)定理可得出、所滿足的等式，化簡直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標(biāo)；（2）分和兩種情況討論，在時，直接計算出的面積，在時，將的面積表示為的表達(dá)式，求出面積的取值范圍，綜合可得結(jié)果.(1)解：設(shè)直線軸，則直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，則且，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，同理，，所以，，可得，故直線的方程為，因此，直線過定點.(2)解：由（1）可知，直線的斜率存在，且直線的方程為，記線段的中點為點.①當(dāng)時，則、關(guān)于軸對稱，此時線段的垂線為軸，因為