2021-2022學年北京市平谷區高一上學期期末考試數學試題一、單選題1．設全集，集合，那么（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由補集的定義分析可得，即可得答案．【詳解】根據題意，全集，而，則，故選：．2．函數的最小正周期是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得，再代入三角函數的周期公式求解．【詳解】根據三角函數的周期公式得，函數的最小正周期是，故選：．3．下列各式化簡后的結果為的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式化簡每一個選項即得解.【詳解】解：A.；B.；C.；D..故選：A4．下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由對數的單調性直接比較大小.【詳解】因為，，，所以，故選：A.5．函數的圖象與函數的圖象的交點個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】在同一個坐標系下作出兩個函數的圖象即得解.【詳解】解：在同一個坐標系下作出兩個函數的圖象如圖所示，則交點個數為為2.故選：C6．已知a，b，，那么下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據不等式的性質或通過舉反例，對四個選項進行分析．【詳解】．若，當時，，所以不成立；．若，當時，則，所以不成立；．因為，將兩邊同除以，則，所以成立．若且，當時，則，所以，則不成立．故選：．7．已知函數．則“是偶函數“是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用必要不充分條件的概念，結合三角函數知識可得答案.【詳解】若，則，，所以為偶函數；若為偶函數，則，，不一定等于.所以“是偶函數“是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】關鍵點點睛：掌握必要不充分條件的概念是解題關鍵.8．某人圍一個面積為32的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其平面示意圖如下），墻高3，新墻的造價為1000元/，則當x取（）時，總造價最低？（假設舊墻足夠長）A．9 B．8 C．16 D．64【答案】B【分析】由題設總造價為，應用基本不等式求最小值，并求出等號成立時的值即可.【詳解】由題設，總造價，當且僅當時等號成立，即時總造價最低.故選：B.9．已知定義在上的偶函數滿足下列條件：①是周期為2的周期函數；②當時，.那么值為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據函數的周期為2和函數是定義在上的偶函數，可知，再根據條件②，即可求出結果.【詳解】因為是周期為2的周期函數，所以，又函數定義在上的偶函數，所以又當時，，所以.所以值為.故選：B.10．某時鐘的秒針端點到中心點的距離為5cm，秒針繞點勻速旋轉，當時間：時，點與鐘面上標12的點重合，當兩點間的距離為（單位：cm），則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知圓心角為，過O作AB的垂線，通過計算可得.【詳解】由題知，圓心角為，過O作AB的垂線，則．故選：D二、填空題11．函數的定義域是___________.【答案】且【分析】根據具體函數的定義域求解方法即可得出結果.【詳解】根據題意可得如下不等式組，解得且.答案為：且.12．已知奇函數f（x），當，，那么___________.【答案】【分析】根據函數奇偶性把求的值，轉化成求的值.【詳解】由f（x）為奇函數，可知，則又當，，則故故答案為：13．已知，則__________．【答案】【分析】由題意利用同角三角函數的基本關系，求得要求式子的值．【詳解】∵tanα=3，∴sinα?cosα.故答案為.【點睛】本題主要考查同角三角函數的基本關系，屬于基礎題．14．從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去幾年里快速發展，并在國民經濟和日常生活中扮演著日益重要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數的折線圖圖（圖中的數據均是每年12月31日的統計結果).根據上述信息下列結論中，所有正確結論的序號是____①2015年這一年,高鐵運營里程數超過0.5萬公里;②2013年到2016年高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率;③從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數最多的一年是2014年;④從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數逐年遞增;【答案】②③【分析】根據數據折線圖，分別進行判斷即可.【詳解】①看2014，2015年對應的縱坐標之差小于，故①錯誤；②連線觀察2013年到2016年兩點連線斜率更大，故②正確；③2013年到2014年兩點縱坐標之差最大，故③正確；④看相鄰縱坐標之差是否逐年增加，顯然不是，有增有減，故④錯誤；故答案為：②③.三、雙空題15．在平面直角坐標系xOy中，設角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，將射線OP繞坐標原點O按逆時針方向旋轉后與單位圓交于點.那么___________，=___________.【答案】0.75

-0.6【分析】利用三角函數的定義和誘導公式求出結果．【詳解】由三角函數的定義及已知可得：，．所以．又．故答案為：，四、解答題16．已知集合，，全集.(1)求，；(2)求；(3)如果，且，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據函數和函數的單調性，可以直接得到的范圍（2）先求出集合與集合的交集，再求補集即可（3）根據集合和集合的交集為空集，可直接求出的取值范圍(1)根據題意，可得：，函數在區間上單調遞增，則有：故有：函數在區間上單調遞增，則有：綜上，答案為：，(2)由（1）可知：，則有：故有：故答案為：(3)由于，且，則有：，故的取值范圍為：故答案為：17．已知α是第二象限角，且.(1)求，的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）解方程組即得解；（2）直接利用誘導公式化簡求值.(1)解：因為，所以又，α是第二象限角，所以.(2)解：.18．已知二次函數.(1)當對稱軸為時，（i）求實數a的值；（ii）求f（x）在區間上的值域.(2)解不等式.【答案】(1)（i）；（ii）.(2)答案見解析.【分析】（1）（i）解方程即得解；（ii）利用二次函數的圖象和性質求解；（2）對分類討論解不等式.(1)解：（i）由題得；（ii），對稱軸為，所以當時，..所以f（x）在區間上的值域為.(2)解：，當時，；當時，，當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，，所以不等式的解集為.綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為.19．已知函數最小正周期是π.(1)求的值；(2)求證：當時.【答案】(1)2；(2)證明見解析.【分析】（1）解方程即得解；（2）利用三角函數的圖象和性質，結合不等式逐步求出函數的最值即得證.(1)解：由題得.(2)證明：，因為，，，所以當時.即得證.20．已知函數(1)求，的值；(2)作出函數的簡圖；(3)由簡圖指出函數的值域；(4)由簡圖得出函數的奇偶性，并證明.【答案】(1)，；(2)作圖見解析；(3)；(4)為奇函數，證明見解析.【分析】（1）根據對應區間，將自變量代入解析式求值即可.（2）應用五點法確定點坐標列表，再描點畫出函數圖象.（3）由（2）圖象直接寫出值域.（4）由（2）圖象判斷奇偶性，再應用奇偶性定義證明即可.(1)由解析式知：，.(2)由解析式可得：0120010∴的圖象如下：(3)由（2）知：的值域為.(4)由圖知：為奇函數，證明如下：當，時，；當，時，；又的定義域為，則為奇函數，得證.21．已知函數，.(1)列表，描點，畫函數的簡圖，并由圖象寫出函數的單調區間及最值；(2)若，，求的值.【答案】(1)圖象見解析，在、上遞增，在上遞減，且最大值為1，最小值為-1；(2)答案見解析.