A2ixiyAA

Bix Cixiy(AB)A與BB與C,C與A A2ixiy Bix Cixiy AB3ix AC3ix2iy (AB)C cos(A^B)3 3

A|A||BB

32 36cos(B^C) |B||C C cos(C^A) |C||A i? z（5）|AC|det 12 2A(BC)B(AC)C(AA(BC)B(CA)C(AA(BC)B(AC)C(Ai? i? 左=(i?axi?ayi?az) bz

byczbz

bzcx

bxcyby

(1)2

B(C

A(BC)B(C

(1)2

C(A

A(BC)B(AC)C(AA(BC)B(CA)C(A XOYBC,Aixaxiyayiz Bixbx C （注意，這里不能說取CixcxBixbxiyby，因?yàn)檫@樣并不具有一般性）AB

(i?ai?ai?a)(i?bc y z zyi?abci?abxy xyyaxi?ayi?az)bx

byxxi?abci?abci?abci?abxx yxy xxx xyyi?abci?abxy xyy左AB (i?ai?ai?a)(i?bcx y z zyazby中BC (i?bi?b)(i?aci?acx y yz zyazbyCA (i?c)[i?abi?abi?(ababx xz yz x azbyXB AiXAXiYAY BiXBXiYBY顯然，要使XBA能成立，必須，有AB另外，由矢量的有關(guān)知識(shí)可知，只要AB，那么，可以找到任意多的X,使XAXAB。更具體的說，可通過調(diào)整X與A矢量之間的夾角，來調(diào)整X的值。所以，若 Aix2xiyziz Bix3yiyxziz求：矢量場FAi Ai AByzxyz ? = 2

垂直的定義，若F與AFA故FA

=yzx222xxy3y4zz2x23y A3ix4iy5iz，求A解：①若A位于原點(diǎn)，即如圖2-5- ，補(bǔ)出圖）所示，則有3i?4i? A A =334 A AA

? A

z其中z

3 rArS=

其中tg13

42 2r Sr

Ai(3iX4iY5iZ)(ixcoscosiycossinizsinA

i? A rSA3rSS

其中rSr

4

13C?xC

?ry?ryC

i?得

Aix3iy4izi?3cos4sini?4cos3sini? x2y x2y 其中six2y x2y ?3x04 ?4x0 x2yx2y x2y

其中 i?,i?均為tg1y0處的i?,i?,即rC,

xrC,x0

tg1tg1rxrxS?ry?ryS

S?zS

xxz其中sin cos x2y sinx2y ?3x4y

3xz4yz5x2y2

4x 0 x2y2zx2y2z x2y Sx2y x其中i?,i?,i?均為tg tg1y0處的i?x2y xzrSz0

rS0rr?Srr

1x2y2 1 1x2y2 1y x0?

x2y2 1y 0,tg0 0,tg0?

x2y2 1y 0,tg0 0,tg02- 已知E=i?i?i?,i?2i? ,2i?i?i?, 解：E，E， 分別為E在，，上的投影

EEi， EiEEi， 1 ?i ix2iyi?12i?i?i?6 6

?2

432ix3iy 1 ? E

2ix3iy Ei 2 Ei E Ei

)6 3

sincos cos52

sincos543同理P2：x2 y2 z23(x2x1)2(x2x1)2(y2y1)2(z2z414120PP=i?(xx)i?(yy)i?(zz1 3) PP=i?(353)i? 5i?(2533)1 3 =P1P2 [i?(353)i? 5)i?(25334120 4120f(r) ：（1）等值面方程為：令: (c是常數(shù) 其 (0cx2yx2y可見，等值面是一族不含頂點(diǎn)（x=0,y=0）c2所以，等值面方程為tg1 (x2y2 其圖形為不含原點(diǎn)的錐面。如圖2-x2y20

rs f(r)x2y f(rAixiyiz解：（1）等值面方程為：x22y22z2cf(1,1,1)x22y22z22-9所以f的方向即為法線方向 f2xix4yiy f(1,1,1)2ix4iyin

1 2 23ix3iy3 f

f(rA3 3 AA

(f 10 A) (UV)VUUV設(shè)廣義坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量為u1,u2,u3,坐標(biāo)單位矢量 i1,i2,i3,長度系數(shù)為h1,h2,h3 UU(u1,u2,u3 VV(u1,u2,u3(UV)[U(u,u,u)V(u,u,u

i

i3

1h

2h

h

i1

(VuUu)i2

(VuUu)i3

(VuUu（

U1U

1

)V

V

1

Vh

i2h i3

i1h

i2h i3h

(U)V(V (UV)(U)V(U(VU)(V)U(U)V(U)V(V(VU)(U)V(V)U(VU 2-11已知(r) r，求(r)在（x=1,y=0,z=1）點(diǎn)處的值。(r i?i?[(3)rs

2在（1，0，1）處，rs 2所以 i? (1)(1)i? rs 2rs i?1i? 2rs i?

1cos zcos(ai?)z所以夾角

z|(1,0,1)z z F(rix(xy3iyP1(1,2)P2(2,4)的路徑積分值；1）由P1到P2的直線， Fds (xy)dx Fds2(x24x2dx6dx53FP P P 對(duì)于路徑2，F(xiàn)ds Fds Fds

Fds

y)dx3dy

y)dx3dy1

4)dx2

3

計(jì)算r2ds，其中r ，c為（，補(bǔ)出圖C1（0，0，0）2（0，0，0）第一段：y=0,z=0,x0第二段：x=1,z=0,y0 1）[(x2y2z2)2]2dsx2dx(1y2)dy (y （2）（0，0，0）（1，2，0）1[(x2y2

1(x24x2)(1z)2]

y)2=

122dx=5 解：zrs

2i? rrs

i?sincosi?sinsini? 2

d2(i?sincos

sinsin

(i?sinsini?sincosi?cos)| zz1 1?，1 1?(r)r2 (r)r2其中，r ，和分別表示對(duì)（x,y,z）和(x,y,z)的(x(xx)2(yy)2(z1 r(xx)2(yy)2(z(xx)2(yy)2(zx y z=[i?(xx)i?(yy)i?(zz)] =[i?(xx)i?(yy)i?(zz)] ==r (xx)2((xx)2(yy)2(zr(xx)2(yy)2(z(xx)2(yy)2(zx y z [i?(xx)i?(yy)i?(zz)] x

1r3r2(rE(r等于竟電位(rE(r(r①

0(r)V 0 ②V(x2y0(r00③(r)Vr2sin20④V

(r 0⑤(r) V0ln(a⑴

? E

iysin sh V(i? yi?

y)(V/Ma0 0⑵(r)V(x2y E0⑶Vr2sin2

V(i?2xyi?x2i?)(V/M0 (V(r 0 r rsEV0[ir2rssin2cosirs2cos2cos ss

⑷Vr (r 0Vcosi?i?sinVcosi?i?sinV (V/MC C

0

(r

V0

)(Va a 1 1 V0rrC CEVrrC C

aV0r

(V/M r（1）0

EaV0ixcosaxchayiysinaxshay(V/M V00sinxchysinxchy0

（2）Vi?2xyi?x2i?(V/M 0 EV2y2V

0 02rVi?sin2cosi?cos2cosi?cos (V/MS S0 S

sinrcos2cos rsincos 2V 00r

rsin

cos

sin2sin

sin coscoscos6sin2coscoscos

sin

0V03sin2cos

cos6sincoscos （4）Vi?(V/M),

00E 0 E

0

(rV0E（5）V0E

C(V/M),E 0(C/m3 (rCr CrC

00 （1820題到那里去了P67 sEda=vs為任意曲面，vs所圍的體積。將上式兩端同除體積V，可得： sEda=v V0(

V0(

vdv pE （1）(fAfAf左i?Afi?Afi?A?x?y?x?y=z i ? fAy)?fAxfAz)i?(z i =ix

=i?(fA

A

fAy)f z Ax i?(fA

Axf

fAZ)

f

f

fAxy z