高等數學定積分的物理應用新第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二5.9定積分的物理應用二.液體壓力一.變力沿直線做功習例1三.萬有引力四、函數的平均值與均方根習例2習例定積分的物理應用習例第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二一、變力沿直線所作的功變力作功包括有：電場力作功、氣體壓力作功、克服阻力作功、萬有引力作功、彈力作功等.第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解題思路：(1)適當選取坐標系及積分變量；(2)寫出功元素dw的表達式；(以不變代變，其中用了公式(3)列出定積分并求值即得w.一、變力沿直線所作的功第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二

由于力的大小隨物體所在的位置變化而變化，因此它是一個的函數，記為，并且假定在上連續。求變力在上所作的功？

設物體在軸上運動，且在從移動到的過程中，一直受到跟軸的正方向一致的變力的作用，如圖所示

考慮用定積分的元素法。

選為積分變量，則第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二(2)在上任取一小區間,當物體從移動到時，由于位移很小，變力近似于恒力，則在此小區間上變力所做功的元素為(3)變力在上所作的功為：

在彈性限度內，彈簧拉伸（或壓縮）的長度與外力成正比，已知彈簧拉長0.02（m），需用9.8（N）的力，求把彈簧拉長0.1（m）所做的功。例1第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二

設拉力為，彈簧的伸長量為則（為比例系數），從而有

在上任取一小區間，則在此小區間上變力所做功的元素為解

即變力函數為：

如圖建立坐標系，取為積分變量于是，拉力所做的功為

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則在此小區間上變力所做功的元素為解建立坐標系如圖。例2

在上任取一小區間第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二問題：物體在變力F(x)的作用下，從x軸上a點移動到b點，求變力所做的功。用積分元素法1）在[a,b]上考慮小區間[x,x+x]，在此小區間上wdw=F(x)dx2）將dw從a到b求定積分，就得到所求的功

總結：變力沿直線所作的功第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二習例1例3(1)半球形貯水池，貯滿水，從池中把水抽出，問作多少功？

(2)若半球形貯水池平底在下，問作多少功？例4

半徑為R，比重為(大于1)的球沉入深為H(>2R)的水池底，現將其從水中取出，問需作多少功？例5

用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第n

次錘擊時又將鐵釘擊入多少？第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二習例解答解功元素所求功為第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二點擊圖片任意處播放\暫停解建立坐標系如圖習例解答第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二這一薄層水的重力為功元素為(千焦)．習例解答第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二例3(1)半球形貯水池，貯滿水，從池中把水抽出，問作多少功？

(2)若半球形貯水池平底在下，問作多少功？解(1)如圖所示建立坐標系，則邊界曲線方程為選x為積分變量，這一薄層水的重力為習例解答第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二(2)如圖所示建立坐標系，則邊界曲線方程為選y為積分變量，這一薄層水的重力為習例解答第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二注意：也可建立另一如圖所示的坐標系，則邊界曲線方程為選x為積分變量，這一薄層水的重力為習例解答第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二例4

半徑為R，比重為(大于1)的球沉入深為H(>2R)的水池底，現將其從水中取出，問需作多少功？解如圖所示建立坐標系，則邊界曲線方程為選x為積分變量，將其取出水面總行程為H,在水中行程為H2Rx,在水外行程為H

(H2Rx)

2Rx,習例解答第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二在水中作功的力為在水外作功的力為此時功元素為兩部分之和(水中與水外)習例解答第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解設木板對鐵釘的阻力為例5

用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第n

次錘擊時又將鐵釘擊入多少？第一次錘擊時所作的功為設

次擊入的總深度為厘米次錘擊所作的總功為習例解答第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二依題意知，每次錘擊所作的功相等．次擊入的總深度為第次擊入的深度為習例解答第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二二、液體壓力第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解題思路：(1)適當選取坐標系及積分變量；(2)寫出液體壓力元素dF的表達式；(以不變代變，其中用了公式(3)列出定積分并求值即得F.二、液體壓力第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二習例2第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解在端面建立坐標系如圖習例2---解答第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二習例2---解答第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解建立坐標系如圖斜邊方程為積分變量為小面積習例2---解答第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二則在此小區間上閘門所受壓力的元素為解在上任取一小區間例8

一個豎直的閘門，形狀是等腰梯形，尺寸與坐標如圖所示，當水面齊閘門時，求閘門所受的壓力？從而第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二三、萬有引力第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解題思路：(1)適當選取坐標系及積分變量；(2)寫出引力元素dF的表達式；(以不變代變，其中用了公式(3)列出定積分并求值即得F.三、萬有引力第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解建立坐標系如圖將典型小段近似看成質點小段的質量為萬有引力習例及解答第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二小段與質點的距離為引力元素水平方向的分力元素萬有引力習例及解答第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二鉛直方向的分力元素萬有引力習例及解答第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二

設質點的質量為m,繞軸l轉動，角速度為,則線速度為v=r,轉動動能為

E=1/2m(r)2=1/2J2轉動慣量例求長為l,=1的細桿關于y軸的轉動慣量.xyol解x(0,l)

,把小段[x,x+dx]視為質量集中于x處的質點，則m=x=dxdJ=dmx2=x2dx四、轉動慣量（J=mr2)第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二例有一質量為M,半徑為R的均勻圓片，求（1）對垂直圓面中心軸的轉動慣量；（2）對直徑的轉動慣量。解（1）與軸等距離的點轉動慣量相同故x(0,R)

,視位于[x,x+dx]的小圓環質量是集中于x處的質點，dJ=dmx2=x2dA=第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二（2）x(0,R)

,視小細條[x,x+dx]的質量集中于x處，dJ=dmx2=

第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二五、函數的平均值與均方根

1.平均值實例：用某班所有學生的考試成績的算術平均值來描述這個班的成績的概貌.算術平均值公式只適用于有限個數值問題：求氣溫在一晝夜間的平均溫度.入手點：連續函數在區間上的平均值.討論思想：分割、求和、取極限.第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二(1)分割：每個小區間的長度設各分點處的函數值為函數在區間上的平均值近似為每個小區間的長度趨于零.(2)求和：(3)取極限：五、函數的平均值與均方根第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二函數在區間上的平均值為幾何平均值公式區間長度五、函數的平均值與均方根第38頁，共41頁，2023年，2月20日，星期二解設電阻為R,功率一個周期區間