第1頁（共8頁）中檔解答題特訓(xùn)之——模擬篇（9）2017年四川省瀘州市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科）1．已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前2n項的和T2n．2．如圖，在△ABC中，，點D在線段BC上．（1）當(dāng)BD=AD時，求的值；（2）若AD是∠A的平分線，，求△ADC的面積．3．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4（1）求證：直線PA∥平面QMB；（2）若二面角P﹣AD﹣C為60°，求直線PB與平面QMB所成角的余弦值．4．從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機(jī)抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本，分別統(tǒng)計出這些試卷總分，由總分得到如下的頻率分布直方圖．（1）求這100份數(shù)學(xué)試卷的樣本平均分和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）由直方圖可以認(rèn)為，這批學(xué)生的數(shù)學(xué)總分Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2．①利用該正態(tài)分布，求P（81＜z＜119）；②記X表示2400名學(xué)生的數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間（81，119）的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求EX（用樣本的分布區(qū)估計總體的分布）．附：≈19，≈18，若Z=～N（μ，2），則P（μ﹣σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若點P（1，2），設(shè)圓C與直線l交于點A、B，求的最小值．參考答案1．已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前2n項的和T2n．【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）由an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1，取倒數(shù)可得﹣=2，即可得出．（2）=（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1，利用“裂項求和”即可得出．【解答】（1）證明：∵an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1，∴﹣=2，∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，等差數(shù)列為2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，解得an=．（2）解：=（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1，∴T2n=﹣+…+﹣==．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2．如圖，在△ABC中，，點D在線段BC上．（1）當(dāng)BD=AD時，求的值；（2）若AD是∠A的平分線，，求△ADC的面積．【考點】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，利用正弦定理可求=2，由已知利用二倍角的正弦函數(shù)公式可得sin∠ADC=2sinBcosB，在△ADC中，利用正弦定理可求的值；（2）設(shè)AC=x，則AB=2x，由余弦定理可得x的值，進(jìn)而可求DC，又由（1）可求sinC的值，利用三角形面積公式即可求值得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵cosB=，可得：sinB==，∵，AB=2AC，∴=2，…3分∵BD=AD，可得∠ADC=2∠B，∴sin∠ADC=sin2B=2sinBcosB，∴在△ADC中，===…6分（2）設(shè)AC=x，則AB=2x，在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=，解得：x=1，或x=，因為：BD=2DC，所以：DC=…10分又由（1）知sinC=2sinB=，①當(dāng)x=1時，S△ADC===；②當(dāng)x=時，S△ADC==．綜上，△ADC的面積為或…12分【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于中檔題．3．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4（1）求證：直線PA∥平面QMB；（2）若二面角P﹣AD﹣C為60°，求直線PB與平面QMB所成角的余弦值．【考點】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接BQ，連接AC交BQ于點O，連接OM．由已知可得四邊形BCDQ是矩形．由BQ∥CD，又Q是AD的中點，可得點O是AC的中點．又M是棱PC的中點，可得OM∥PA，即可證明直線PA∥平面QMB．（2）Q為AD的中點，PA=PD，PQ⊥AD，又BQ⊥AD，∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．由PA=PD=PC，可得點P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．O為△ADC的外心，可得PO⊥平面ABCD．過點O作Ox∥DA，以O(shè)x、OB、OC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面QMB的法向量為=（x，y，z），，可得，直線PB與平面QMB所成角的正弦值=．【解答】（1）證明：連接BQ，連接AC交BQ于點O，連接OM．∵Q為AD的中點，BC=AD=2，∴BC=DQ，又BC∥DQ，∠ADC=90°，∴四邊形BCDQ是矩形．∴BQ∥CD，又Q是AD的中點，∴點O是AC的中點．又M是棱PC的中點，∴OM∥PA．又AP?平面QMB，OM?平面QMB，∴直線PA∥平面QMB．（2）解：∵Q為AD的中點，PA=PD，∴PQ⊥AD，又BQ⊥AD，∴∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．∴∠PQB=60°，∴PA=PD=PC，∴點P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．．∵△ADC為等腰直角三角形，∴O為△ADC的外心，∴PO⊥平面ABCD．在Rt△PQO中，∵∠PQO=60°．∴PO=2．過點O作Ox∥DA，以O(shè)x、OB、OC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．取B（0，2，0），Q（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（﹣2，2，0）．∵M(jìn)是PC的中點，∴M（﹣1，1，）．=（﹣1，﹣1，），=（0，﹣4，0）．設(shè)平面QMB的法向量為=（x，y，z），，．取=，又=．∴直線PB與平面QMB所成角的正弦值是：==．∴直線PB與平面QMB所成角的余弦值為．【點評】本題考查了空間位置關(guān)系、線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、法向量的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4．從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機(jī)抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本，分別統(tǒng)計出這些試卷總分，由總分得到如下的頻率分布直方圖．（1）求這100份數(shù)學(xué)試卷的樣本平均分和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）由直方圖可以認(rèn)為，這批學(xué)生的數(shù)學(xué)總分Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2．①利用該正態(tài)分布，求P（81＜z＜119）；②記X表示2400名學(xué)生的數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間（81，119）的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求EX（用樣本的分布區(qū)估計總體的分布）．附：≈19，≈18，若Z=～N（μ，2），則P（μ﹣σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考點】CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；B8：頻率分布直方圖．【分析】（1）一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，求這100份數(shù)學(xué)試卷的樣本平均分和樣本方差s2；（2）①利用該正態(tài)分布，Z～N（100，366），即可求P（81＜z＜119）；②數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），即可求EX．【解答】解：（1）由題意，=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，樣本方差s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+（100﹣100）2×0.24+（110﹣100）2×0.15+（120﹣100）2×0.1+（130﹣100）2×0.08+（140﹣100）2×0.04=366；（2）Z～N（100，366），P（81＜z＜119）=P（100﹣19＜z＜100+19）=0.6826；②數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），EX=2400×0.6826=1638.24．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，樣本方差的求法，正態(tài)分布，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若點P（1，2），設(shè)圓C與直線l交于點A、B，求的最小值．【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）利用