第62線性代數59主講 大 教第62第62 5. : :@川 第62 5.7第62第62觀看第62

第62p.130,例f(1x2,x3)2x1x22132x2 1

f2y2y2 6

1

y1

2y)2y2x

y

2

6 2x

y 3 3四

6 第62 f(1x2,x3)2x1x22x2x32x2 1

6x1

1 1

y1

x

y

f2 y2 2

6 2x y

3 2 3

2y)y 6

z1z2y1

z1 y y 2

z2

y 1z川四 3 3川四

July第62 f(1x2,x3)2x1x22132x2

f2y2y2 fz2z2 第62 f(1x2,x3)2x1x22132x2

f2y2y2 fz2z2 01

2

1 A10

010 010 10

01

0f(1x2,x3)2x1x22132x2

第62f2y2y2

fz2z2 01 A10

2 1010 1

1 2010 2 10

第62WhythisWhythistermSylvester’slawof

可逆變換x=Cy和x=Pz，分別 fky2ky2...k Provedflz2lz2...lProved k1k2krl1l2lr中正數的個數相等（從而負數的個數也相等）第62ThispropertyisnamedafterJ.J.Sylvesterwhopublisheditsproofin1852第62在二次型化簡的研究中，維斯特得到了結果，就是著名的(lawofinertia)，p是唯一確定的，當時維斯特沒有給出證明，這個定律后來被雅可比(Jacobi)重新發現并證明．第62 集》(Thecollectedmathematicalpapers 集》(ThecollectedmathematicalpapersJamesJosephSylvester)，共4卷。 “不變式”“不變式”、“判別式 過《詩體法則》(Lawsofverse,1870)等著作．他對音 第62frfky2...ky2 y2

...kr負系數的個數稱為負慣性指數(negativeindex(ki0,i1,...,第62fky2...ky2

y2 ...k

(ki0,i1,...,f(ky)2.(ky)2( )2.(ky 學fz2...z2z2 ...z2學

規范形 第62 (optional 設二次型f(1,...)r，經過可逆變換x=Cy和x=Pzfy2...y2y2 ... fz2...z2z2 ...z2

第62 用反證法。假設p>q,我們來推 第62fy2...y2y2 ...y2 fz2...z2z2 ...z2 y用反證法。假設p>q,我們來推 y

2...y2y2 ...y2 z2...z2 zP1xP1Cy假設p>q,我們來推

第62y2...y2y2 ...y2 z2

2

...

其中zP1x z1

y1學 學

z

yn

nn nz1

k11

y1

第62 z

y

n

nn nk11y1k1nyn

y

ynk11y1k1nyn y

q(np)n(q

yp1

n(qp) yn

小y 12y20202y2y2小y 1

02...02

...h2 q1 q1

z z

y2...y2學大 學大 第62是唯一的（即負慣性指數）。大學數，或者說它們有相同范形。第62

大學E E

npq 0 0第62fλy2λ 其中1,...,λn是A

第62第621n1n《高等代數》2235 Ep

Onpq

第62 Ep

n

p0n第62 共有12nn11(n1)(n100

July p=1時，q=0,1,…,n-1共n

第6212共有12nn1122

0

0

1 p0,q

p0,q

p0,q 0

1

1第62講慣第62講慣 2p1,q

p1,q

p2,q0 0

p

000 000

0 0 q

q q qp

四川大學 四川大學階實對稱矩陣按合同關系可分為階實對稱矩陣按合同關系可分為2q

q q第62p

0

0

0 1p

0 00

0

1學 學

大

11p 11

p 0

1

1 q q q2

第62f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx 的秩r,正慣性指數p和負慣性指數q。 若令yxx,yxx,yxx 大 大

fy2y2

1

y x

011化的(不可逆

3

1 第62f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx rpq： f2x22x22x22x： 211 矩陣：A12 1201120112λλ3

學01λ120A學01λ120 211 矩陣：A12 12

第62求Af的11111111 1λ10002 2

第62

第62 A1

B 0

0

0

乘以-1得

第62， A1，

C 0 02

第62

第62選第62此第624

第6211140001110B00111000111000A 則A與 大 大

第62(1)兩個同階實對稱矩陣相似的充分必要條件是 (2)兩個同階實對稱矩陣合同(2)兩個同階實對稱矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的特征值及重數 1 1

第62A 1 1 41144114λ41λ 141141100000001111100

1111AλE1111AλE111111111111大 ,大 1

B400000000第0000000A

1 1 1

學學 芳設11111111

第62 0 0A

B 11111111

0 0A與

5

第62

100A

B010 2A與

000大 大

第62A

100

B 2

0 trA222 trB110

第62A1

1 2Allrowsaddedtorow

AllcolumnssubtractcolumnAλE

2λ 2λ

λ 2λ 2λ學 3λ學

λ(3

大λ30

100

第62A

1

B010 2

000與B的特征值1,1,0不同，A與B

第621 0 A

1

1

B0101 2A與

0 湛

第62 (i,

f(

,...x

)

AijxA A XX=(x1xn)Tf(X寫成矩陣形式，并證明二次型f(X)的矩陣是A-1.第626設An階實對稱矩陣，秩 (i,Af(A

,...x)

Aijx

X=(x1xn)Tf(Xf(XA- 秩(A)=n則A可 (A1

(AT

A*

AA1大 A*(

Aji

f(

,...x)

Aijx

第62A Ai jf(Xf(X的矩陣是A-1.

x1 A2nxf(x,...x)(x,x,...x)

A 2

x

A A

nAAA AAA f(

,...x)

Aijx

第62

A Af(Xf(X的矩陣是A-1. A12