r~i學(xué)而思-小升初第3講

-幾何二-圓與立體:口丫戾、IE 小升初名校真題專項(xiàng)測(cè)試 幾何篇（二）測(cè)試時(shí)間：15分鐘姓名 測(cè)試成績(jī) 1、求下圖中陰影部分的面積：（05年101中學(xué)入學(xué)測(cè)試題） 【解】如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然 后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置。可以看出，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形,其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。 所以陰影面積：nx4x4^4-4x4^2=4.56o4 34 32、從一個(gè)長(zhǎng)為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長(zhǎng)方體中截下一個(gè)最大的正方體，剩下（06年清華附中入學(xué)測(cè)試 （06年清華附中入學(xué)測(cè)試的幾何體的表面積 平方厘米.題） 【解】最大正方體的邊長(zhǎng)為6,這樣剩下表面積就是少了兩個(gè)面積為6x6的，所以現(xiàn)在的面積為（8x7+8x6+7x6）x2-6x6x2=220.3、有一個(gè)棱長(zhǎng)為1米的立方體，沿長(zhǎng)、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個(gè)小長(zhǎng) 方體（見(jiàn)左下圖）.這60個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積總和是 平方米. （06年三帆中學(xué)考試題）

【解】原正方體表面積:lxlx6=6（平方米），一共切了2+3+4=9（次），每切一次增加2個(gè)面：2平方米。所以表面積：6+2x9=24（平方米）4、右上圖中每個(gè)小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長(zhǎng)是 厘米.（兀=3.14）（06年西城某重點(diǎn)中學(xué)測(cè)試題）【解】可見(jiàn)大圓的半徑是小圓的3倍，所以半徑為【解】可見(jiàn)大圓的半徑是小圓的3倍，所以半徑為3,那么陰影部分的周長(zhǎng)就等于7的小圓的周長(zhǎng)加上1個(gè)大圓的周長(zhǎng)，即7x€x2+兀x6=20兀。5、有四個(gè)半徑為3厘米的圓如圖擺放，求陰影的面積。（某中學(xué)結(jié)業(yè)考試題）【解】如圖，連接四個(gè)圓心，那么有陰影部分面積為正方形面積減去4個(gè)1圓的面積。4則陰影部分面積為（3x2）2-4x1x32xn=9x（4-3.14）=7.74平方厘米。46、一千個(gè)體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開(kāi)為原來(lái)的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過(guò)的數(shù)目是多少個(gè)？口習(xí)不、IE不白而rjj不斗【解】：共有10x10x10=1000個(gè)小正方體，其中沒(méi)有涂色的^(10-2)x(10-2)x(10-2)=512個(gè)，所以至少有一面被油漆漆過(guò)的小正方體為1000-512=488個(gè)。lr=h□EHffi第三講小升初專項(xiàng)訓(xùn)練幾何二：圓和立體引言：立體圖形是近兩年來(lái)小生初的考察新熱點(diǎn)，由于立體圖形考察學(xué)生的空間想象能力，更反映學(xué)生的本身潛能，所以越來(lái)越受到學(xué)校的歡迎；而另一方面，初中很多知識(shí)點(diǎn)都是建立在空間問(wèn)題上，所以可以說(shuō)學(xué)校考察立體也是為初中選拔知識(shí)鏈接性好的學(xué)生。【典型題目解析】:—、圓與扇形【例1】.(★★★)在圖中，一個(gè)圓的圓心是。，半徑r=9厘米，乙1=乙2=15。。那么陰影部分的面積是多少平方厘米？(兀取3.14.)A［方法一］:［思路］:要求扇形面積，只有知道圓心角的度數(shù)，所以我們退求圓心角。解：各角標(biāo)號(hào)后見(jiàn)下圖，因?yàn)镺APBPC二半徑，Z1=Z2=15°,所以Z3=Z1=Z2Z1+Z3=15O+15O=30o,Z5=Z6=180o-30o=150o,所以Z7=360o-150ox2=60°所以面積二(60/360)xnx9x9=42.39A［總結(jié)］:基礎(chǔ)知識(shí)一定要牢記，象這種題就是考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)能力。:口丫戾、IE［方法二］:運(yùn)用定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半?解：圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.這樣的話，我們很快發(fā)現(xiàn)Z7=2x（Z1+Z2）=2x（15°+15°）=60°,所以面積二（60/360）xtix9x9=42.39［總結(jié)］:這種結(jié)論的運(yùn)用對(duì)解題速度的提高有很大的提升，所以見(jiàn)過(guò)以后盡量學(xué)會(huì)運(yùn)用！【例2】、（★★★★）如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個(gè)小圓和三個(gè)半圓的半徑都是1。求陰影部分的面積。［方法］:面積的加減［思路］:由于直接求陰影面積太麻煩,所以我們考慮用增加面積的方法來(lái)構(gòu)造新圖形.解:由圖可見(jiàn)，陰影面積等于1/6大圓面積減去一個(gè)小圓面積，再加上120°的小扇形面積所以面積二兀x5<6【例3］（★★★）草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊（見(jiàn)左下圖）。問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？【解】：（此題十分經(jīng)典）如右上圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為A,B,C三部分，2 1其中A是半徑為而來(lái)的j個(gè)圓，E,今別是半徑為為米和1妹的j個(gè)圓.所以羊活動(dòng)的范圍是TOC\o"1-5"\h\z-.，3 1冗#3護(hù)丸_+鶴壽藝滬?_+冗＞*1。，x-44 4-3- 1 1=雙做'X：--+203澆一+103窸-力4 4 4=3.14'.XC675-M00+25)=2：512：〔米專a二、立體幾何小學(xué)階段，我們除了學(xué)習(xí)平面圖形外，還認(rèn)識(shí)了一些簡(jiǎn)單的立體圖形，如長(zhǎng)方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計(jì)算公式，歸納如下。見(jiàn)下圖。件abh件abh在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來(lái)。【例4】.（★★）用棱長(zhǎng)是1厘米的正方塊拼成如下圖所示的立體圖形，問(wèn)該圖形的表面積是多少平方厘米？［方法一］:［思路］:整體看待面積問(wèn)題。解：不管疊多高，上下兩面的表面積總是3x3;再看上下左右四個(gè)面，都是2x3+1,所以，總計(jì)9x2+7x4=18+28=46。lr=h□EHffi［方法二］:［思路］:所有正方體表面積減去粘合的表面積解：從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，總共有14個(gè)正方體，這樣我們知道總共的表面積是：6x14=64,但總共粘合了18個(gè)面，這樣就減少了18x1=18,所以剩下的表面積是64-18=46。［方法三］:直接數(shù)數(shù)。［思路］:通過(guò)圖形，我們可以直接數(shù)出總共有46個(gè)面，每個(gè)面面積為1,這樣總共的表面積就是46o【例5】.(★★)如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體。在正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞；接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1/2厘米的小洞；第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相同，邊長(zhǎng)為1/4厘米。那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？［方法一］:［思路］:立體圖形的好處就是可以直觀視覺(jué)，雖然圖形被挖去，但6個(gè)面看過(guò)去是都還是面積不變的，特別是從上往下看是，3個(gè)正方形的下底面正好和剩下的面積等于原來(lái)的面積，這樣就只增加了3個(gè)小正方體的各自側(cè)面。解：原正方體的表面積是2X2X6=24平方厘米，增加的面積1X4+(1X1)X4+(1X1)X4，所以總共面積為2 2 4 424+1X4+(1X1)X4+(1X1)X4=2912 2 4 4 4口口［方法二］:［思路］:原正方體的表面積是2X2X6=24平方厘米，在頂部挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞后，原大正方體的頂部表面被去掉了一個(gè)1X1的小正方形，但是內(nèi)部增加了5個(gè)1X1的面，所以總共增加了4個(gè)1X1的面，即正方形小洞的4個(gè)側(cè)面-同樣，再往下挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體后，大正方體的表面積又增加4個(gè)2X2的小正方形的面積.最后挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體后，大正方體的表面積又增加了4個(gè)1X1的小正方體的面積.4 4 4所以最終大正方體的表面積=24+1X4+(1X1)X4+(1X1)X4=29-2 2 4 4 4［總結(jié)］：立體圖形中一定要學(xué)會(huì)想象，特別是這種面積分開(kāi)時(shí)，我們?nèi)钥梢钥闯上噙B的，這就要求學(xué)生必須學(xué)會(huì)如何看待面積的變化。【例6】.(★★)如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方體，分別從前后、左右、上下各面的中心處向內(nèi)挖去一個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方體，做成一種玩具。它的表面積是多少平方厘米？［方法一］:4-1x2=2厘米，說(shuō)明挖去小正方體后，大正方體的中心還是實(shí)心的。每挖去一個(gè)小正方體表面積增加1x1x4=4平方厘米。共挖去6個(gè)小正方體，表面積共增加4x6=24平方厘米。解答：原來(lái)表面積=4x4x6=96平方厘米，新增表面積=1x1x4x6=24平方厘米，現(xiàn)在表面積=96+24=120平方厘米。［拓展］：如果上題中挖去的是邊長(zhǎng)為1的正方形，但高是1.5呢？求產(chǎn)生新圖形的表面積？

【例7】（★★★）現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體，一個(gè)長(zhǎng)寬為1cm高為2cm的長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)寬為Icni高為3cm的長(zhǎng)方體。下列圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體圖形時(shí)，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形（如例）的樣子畫出來(lái)，并求出其表面積。例：上側(cè)上面陰看到的圖形側(cè)面所看到的圖形上側(cè)上面陰看到的圖形側(cè)面所看到的圖形【解】：立體圖形的形狀如下圖所示。（此題十分經(jīng)典）從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2,共14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2o—共有18+16+12+2=48（cm2）o【例8】.（★★）有大、中、小3個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別是6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉沒(méi)在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉沒(méi)在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？［方法一］:［思路］:等積變化問(wèn)題，抓住體積不變。解答：將石子看成水，那么就相當(dāng)于大小兩桶水分別倒入空的中、小池，中池水面高6厘米，小池水面高4厘米，由此得出中水池中石子的體積相當(dāng)于3x3x0.06,同理小池中的口習(xí)不、IE不白而rjj不中'石子的體積相當(dāng)于2x2x0.04,這樣把這么多的水都倒入大水池中，這樣升高了： (3x3x0.06+2x2x0.04)!(6x6)=7/360米=35/18厘米。［方法二］:［思路］:解：將體積相等的碎石放入不同的水池中，水面升高的高度比是水池底面積比的反比。大正方形水池的底面積是6x6=36平方米。中正方形水池的底面積是3x3=9平方米。小正方形水池的底面積是2x2=4平方米。大、中正方形水池的底面積比是36:9=4:1。將放入中水池，使中水池的水面升高6厘米的碎石放入大水池中。則大水池水面升高6x1/4=6/4厘米二3/2厘米。大、小正方形水池的底面積比是36:4=9:1。將放入小水池，使小水池的水面升高4厘米的碎石放入大水池中。則大水池水面升高4x1/9=4/9厘米。3/2+4/9=35/18厘米。將這兩堆碎石都沉沒(méi)在大水池的水里，大水池的水面升高了35/18厘米。［總結(jié)］:等積變化是很重要的知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生必須學(xué)會(huì)運(yùn)用。【例9］.(^★★)今有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方體。現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體。問(wèn)剩下的體積是多少立方厘米？［思路］:切下的體積要最大，我們就看能切下的最大邊長(zhǎng)是多少。因?yàn)?1>15>12,所以第一塊切下的是12x12x12;把剩余部分看成12x15x(21-12)的長(zhǎng)方體，15>12>(21-12),所以第二塊切下的是9x9x9;同理，第三塊切下的是6x6x6。lr=h□EHffi解答：原來(lái)體積=21x15x12=3780立方厘米，切下的第一塊體積=12x12x12=1728立方厘米，切下的第二塊體積=9x9x9=729立方厘米，切下的第三塊體積=6x6x6=216立方厘米,剩下的體積=3780-1728-729-216=1107立方厘米。［總結(jié)］：題目的思路與平面問(wèn)題中長(zhǎng)方形中切最大的正方形的思路相同，可以聯(lián)系看待。【例10】.(★★★)某工人用薄木板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條如圖6-9所示在三個(gè)方向上加固。所用尼龍編織條的長(zhǎng)分別為365厘米、405厘米、485厘米。若每個(gè)尼龍條加固時(shí)接頭處都重疊5厘米，由這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是多少立方米？［方法一］:［思路］:如果將三條尼龍繩長(zhǎng)各減去5厘米，則它們的長(zhǎng)度分別等于長(zhǎng)方體長(zhǎng)加寬的2倍、長(zhǎng)加高的2倍和高加寬的2倍，由此即可算出長(zhǎng)方體郵件包裝箱的長(zhǎng)、寬、高.解：去掉接頭處重疊的5厘米，三條尼龍條分別長(zhǎng)360、400和480厘米.將它們都除以2,則得到的180、200和240厘米，分別是立方體長(zhǎng)加寬、長(zhǎng)加高和寬加高的長(zhǎng)度那么180+200+240=620厘米則是2倍的長(zhǎng)加高加寬的長(zhǎng)度.因此該立方體長(zhǎng)+高+寬二310厘米.那么310—180、310—200和310—240就分別是立方體的高，寬和長(zhǎng)，即130厘米、110厘米和70厘米.從而該立方體的體積為1.3X1.1X0.7=1.001立方米.［方法二］:［思路］:設(shè)方程解答：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z,則：口口2(x+y)=365-5,2(y+z)=405-5,2(z+x)=485-5,x+y+z=310厘米,x=110厘米二1.1米,y=70厘米二0.7米,z=130厘米二1.3米,所以,長(zhǎng)方體的體積二1.3x1.1x0.7=1.001立方米。【例11】、(★★★★)用大小相等的無(wú)色透明玻璃小正方體和紅色玻璃小正方體拼成一個(gè)大正方形體，如下圖；大正方體內(nèi)的對(duì)角線AC1,BD1,CAI,DB1所穿的小正方體都是紅色玻璃小正方體，其他部分都是無(wú)色透明玻璃小正方體，小紅正方體共用了401個(gè)，問(wèn)：無(wú)色透明小正方體用了多少個(gè)？［思路］:因?yàn)閷?duì)角線穿過(guò)的都是紅色小正方體，所以我們從紅正方體入手，找出紅色的用了多少個(gè)，這樣我們通過(guò)總共的減去紅色的就是無(wú)色小正方體的個(gè)數(shù)。解：對(duì)角線AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方體中除了正中央的那個(gè)小正方體，每條對(duì)角線都沒(méi)穿過(guò)相同的小正方體，所以每條對(duì)角線穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)：(401-1)—4+1=101這就表明大正方體的每條邊由101個(gè)小正方體組成，因此大正方體由101x101x101個(gè)小正方體組成，其中無(wú)色透明的小正方體有101x101x101-401=1029900。【例12】(★★★★)右圖是由22個(gè)小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個(gè)大大小小的正方體？由兩個(gè)小正方體組成的長(zhǎng)方體有多少個(gè)?【解】：正方體只可能有兩種：

由1個(gè)小正方體構(gòu)成的正方體，有22個(gè)；由8個(gè)小正方體構(gòu)成的2X2X2的正方體，有4個(gè)。所以共有正方體22+4=26(個(gè))。由兩個(gè)小正方體組成的長(zhǎng)方體，根據(jù)擺放的方向可分為下圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個(gè)，左右位有13個(gè)，前后位有14個(gè)，共有13+13+14=40(個(gè))。【例13](*★★★)左下圖是一個(gè)正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請(qǐng)?jiān)谟蚁路降恼归_(kāi)圖中畫出四邊形APQC的四條邊。【解】：把空間圖形表面的線條畫在平面展開(kāi)圖上，只要抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)鍵，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。考慮到展開(kāi)圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有標(biāo)出，可想象將展開(kāi)圖折成立體形，并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對(duì)應(yīng)的符號(hào)，見(jiàn)左下圖。不盲而（2） 根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱，以及四條邊所在的平面：頂點(diǎn)：A—A，C—C，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3） 將上面確定的位置標(biāo)在展開(kāi)圖上，并在對(duì)應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點(diǎn)在展開(kāi)圖上有三個(gè)，B，D點(diǎn)在展開(kāi)圖上有二個(gè)，所以在標(biāo)點(diǎn)連線時(shí)必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖【例14］（^★★）有甲、乙、丙3種大小的正方體，棱長(zhǎng)比是1:2:3。如果用這三種正方體拼成盡量小的一個(gè)正方體，且每種都至少用一個(gè)，則最少需要這三種正方體共多少？【解】：設(shè)甲的棱長(zhǎng)是1，則乙的棱長(zhǎng)是2,丙的棱長(zhǎng)是3。一個(gè)甲種木塊的體積是1x1x1=1；一個(gè)乙種木塊的體積是2x2x2=8;一個(gè)丙種木塊的體積是3x3x3=27。3+2=5。則這三種木塊拼成的最小正方體的棱長(zhǎng)是5。體積是5x5x5=125。需要丙種木塊1塊，乙種木塊1+1x2+2x2=7塊。丙種木塊的體積是27，乙種木塊的體積是8x7=56。125-27-56=42。需要甲種木塊42/1=42塊。1+7+42=50塊。【課外知識(shí)】剪正方體lr=h□EHffi此題旨在培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力和動(dòng)手能力將一個(gè)正方體（圖1）剪開(kāi)可以展成一些不同的平面圖形（圖2）。圖1正方體(4)圖2正方體的平面展開(kāi)圖其中的圖2的（1）,（2）都是“帶狀圖”，好像是一條完整的削下來(lái)的蘋果皮。仔細(xì)觀察（1）,（2）兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，圖中的每個(gè)小正方形都有兩個(gè)邊與其它的正方形“共用”，除了兩頭的兩個(gè)正方形以外。再觀察圖（3）和圖（4）,由于這兩個(gè)圖中每個(gè)都有一個(gè)正方形（粉色）有兩條以上的邊（圖（3）有3條，圖（4）有4條）與周圍的正方形“共用”。所以圖（3）和圖（4）都不是“帶狀圖”。問(wèn)題1：運(yùn)用你的空間想象力或者動(dòng)手將圖2的四個(gè)圖折成正方體。問(wèn)題2：除了圖（1）和圖（2）以外還有兩個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖也是“帶狀圖”，你能找出來(lái)嗎？答案：小升初專項(xiàng)模擬測(cè)試題---幾何（二）［（★★★）如下圖，兩個(gè)半徑相等的圓相交，兩圓的圓心相距正好等于半徑，AB弦約等于17厘米，半徑為10厘米，求陰影部分的面積。

解：陰影部分由兩個(gè)相等的弓形組成，我們只需要求出一個(gè)弓形面積，然后二倍就是要求的陰影面積了.由已知若分別連結(jié)A0「A02,B0「B02,002,如圖所示，就可以得到兩個(gè)等邊三角形（各邊長(zhǎng)等于半徑）,則ZA00=ZB00=60°,即ZA0B=120°。21 21 2這樣就可以求出以0。為圓心的扇形A0]B0,的面積，然后再減去三角形A0,B的面積，就得到弓形面積，三角形AO^B的面積就息二分之一底乘高:辰是弦AB,高是0Q的一半。“即"冃影面積=2*（一&衲心-$' W這樣就可以求出以0。為圓心的扇形A0]B0,的面積，然后再減去三角形A0,B的面積，就得到弓形面積，三角形AO^B的面積就息二分之一底乘高:辰是弦AB,高是0Q的一半。“即"冃影面積=2*（一&衲心-$' W_ 3.14xl0akl￡017=容-■20?|-35360=124:-（平方厘米）2、圖）（★★）有一個(gè)正方體，邊長(zhǎng)是5.如果它的左上方截去一個(gè)邊長(zhǎng)分別是5、3、2的長(zhǎng)方體（如下，求它的表面積減少的百分比是多少？解:原立方體的表面積=5X5X6=150.減少的表面積是兩塊3X2長(zhǎng)方形12的面積,即減少了契籠2=12,所以減少的百分比是-吳二礙鈴3、（★★）如下圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中由上到下，由左到右，由前到后，有三個(gè)底面積是1的正方形高為3的長(zhǎng)方體的洞