作業(yè)115頁3,4,6,12,13現(xiàn)在是1頁\一共有48頁\編輯于星期二第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計算三重積分的概念與計算

第九章現(xiàn)在是2頁\一共有48頁\編輯于星期二一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用引例:

設在空間有界閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量M.密度函數(shù)為現(xiàn)在是3頁\一共有48頁\編輯于星期二定義.設存在,稱為體積元素,若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作下列“乘積和式”極限記作現(xiàn)在是4頁\一共有48頁\編輯于星期二三重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)、單調(diào)性、積分估值公式2.區(qū)域可加性4.微元法5.對稱奇偶性*6.中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,現(xiàn)在是5頁\一共有48頁\編輯于星期二二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次積分法現(xiàn)在是6頁\一共有48頁\編輯于星期二方法1.

投影法(“先一后二”)記作現(xiàn)在是7頁\一共有48頁\編輯于星期二投影法三次積分法設區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:適用范圍:由平面圍成的情況現(xiàn)在是8頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是9頁\一共有48頁\編輯于星期二其中為三個坐標例.計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面現(xiàn)在是10頁\一共有48頁\編輯于星期二.計算,其中由錐面及平面圍成.解：例2.現(xiàn)在是11頁\一共有48頁\編輯于星期二化為三次積分，由曲面及平面圍成.解：如圖所以曲面與xOy坐標面交于x軸和y軸.例1.現(xiàn)在是12頁\一共有48頁\編輯于星期二方法2.截面法(“先二后一”)現(xiàn)在是13頁\一共有48頁\編輯于星期二特別適用于積分區(qū)域中一坐標的范圍易獲得，截面范圍易表示的情況。現(xiàn)在是14頁\一共有48頁\編輯于星期二其中為三個坐標例3.計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.面及平面為面上軸，解:如圖，：軸和圍成的等腰直角三角形.所以注：此題可用投影法求解．現(xiàn)在是15頁\一共有48頁\編輯于星期二計算三重積分其中是上半橢球體解：則而原式例4.現(xiàn)在是16頁\一共有48頁\編輯于星期二例.計算三重積分解:

用“先二后一”現(xiàn)在是17頁\一共有48頁\編輯于星期二補充：三重積分對稱性：現(xiàn)在是18頁\一共有48頁\編輯于星期二補充：三重積分對稱性：2、奇偶對稱性：現(xiàn)在是19頁\一共有48頁\編輯于星期二解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),球面關于xoy面對稱現(xiàn)在是20頁\一共有48頁\編輯于星期二解現(xiàn)在是21頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是22頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是23頁\一共有48頁\編輯于星期二1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習六個平面圍成,現(xiàn)在是24頁\一共有48頁\編輯于星期二3.設計算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)現(xiàn)在是25頁\一共有48頁\編輯于星期二tobecontinue現(xiàn)在是26頁\一共有48頁\編輯于星期二作業(yè)115頁3,4,6,12,13現(xiàn)在是27頁\一共有48頁\編輯于星期二換元法三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:體積元素一一對應雅可比行列式現(xiàn)在是28頁\一共有48頁\編輯于星期二利用柱坐標計算三重積分就稱為點M的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:現(xiàn)在是29頁\一共有48頁\編輯于星期二圓柱面現(xiàn)在是30頁\一共有48頁\編輯于星期二平面半平面現(xiàn)在是31頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是32頁\一共有48頁\編輯于星期二圓柱面半平面平面現(xiàn)在是33頁\一共有48頁\編輯于星期二在柱面坐標下現(xiàn)在是34頁\一共有48頁\編輯于星期二若從小到大邊界到邊界則有在投影區(qū)域上做極坐標變換現(xiàn)在是35頁\一共有48頁\編輯于星期二例.計算三重積分解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=現(xiàn)在是36頁\一共有48頁\編輯于星期二4.計算其中解:利用對稱性現(xiàn)在是37頁\一共有48頁\編輯于星期二利用球坐標計算三重積分

就稱為點M的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系現(xiàn)在是38頁\一共有48頁\編輯于星期二球面半平面錐面現(xiàn)在是39頁\一共有48頁\編輯于星期二在球面坐標系中從小到大，從邊界到邊界。體積元素為化為三次積分，現(xiàn)在是40頁\一共有48頁\編輯于星期二求的體積，解：球面方程為在球坐標系下方程為所以例6.現(xiàn)在是41頁\一共有48頁\編輯于星期二內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應雅可比行列式為變量可分離.圍成;現(xiàn)在是42頁\一共有48頁\編輯于星期二xzOy圖2-3222計算，其中為雙曲面，錐面及柱面圍成．思考與練習現(xiàn)在是43頁\一共有48頁\編輯于星期二3.設由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標現(xiàn)在是44頁\一共有48頁\編輯于星期二,其中由錐面平面圍成.解法：用投影法.計算現(xiàn)在是45頁\一共有48頁\編輯于星期二例5.計算三重積分解:在球面坐標系下所圍立體.其中與球面現(xiàn)在是46頁\一共有48頁\編輯于星