數學建模的思想方法

與

數學建模文章選講

一.什么是數學?

二,什么是數學模型?

1.什么是數學模型?

2.數學模型的特點

3.數學模型的分類

4.什么是數學建模?

5.為什么要學習數學建模?

6.怎樣學習數學建模?

三.數學建模競賽

1.數學建模競賽的特點

2.數學建模競賽的技巧

3.數學建模主要參考資料

4.數學建模競賽論文寫作技巧

四.歷年全國大學生數學建模競賽試題選講

1.復利和抵押貸款買房問題

2.易拉罐問題一一個想法改變了可

口可樂易拉罐的形狀

3.2009高教社杯全國大學生數學建模

競賽題目

C題衛星和飛船的跟蹤測控

4.2008年全國大學生數學建模競賽

D題：NBA賽程的分析與評價

一,什么是數學？

1、數學就是解題

數學家科利亞說過，什么是數學？數學

就是解題，就是把不熟悉的題型向熟悉的題

型轉化。

2、數學是訓練思維的體操

數學是由數學、字母、符號、圖形構成

的一座迷宮。我們在數學中重視思維的訓

練，思想和方法的潛移默化比知識的傳授更

為重要。

3、數學是一種國際通用的科學語言。

數學是一種科學的語言。伽利略說過：

“宇宙這本書是用數學語言寫成的。……除

非你首先學懂了它的語言，……這本書是無

法讀懂的

4.數學是生活學習、科研的一個有力工具

數學是一個有力的工具，在人們的

日常生活及生產中隨時發揮重要的作用。

5.數學是一切科學的基礎。

數學是各門科學的基礎。

6.數學是門科學。

數學不僅具有上述那些服務性功能，而

且特色鮮明，自成體系，本身是一門重要的

科學。

7.數學是一門技術。

數學的思想和方法與計算技術的結合的

確已經形成了技術，而且是一種關鍵性的、

可以實現的技術，稱為“數學技術”。

8.數學是一種文化。

數學是一種先進的文化，是人類文明的

重要基礎。在西方，數學作為一種文化、作

為一種文明的象征受到尊重，還是有悠久歷

史的。

9、數學是哲學

數學中充滿了哲學，許多數學家（比如

畢達哥拉斯）也是哲學家。或者說，許多哲

學觀點在數學中找到了實證，得到了體現。

10、數學是藝術

數學中存在著美。對于有鑒賞能力的人

來說，對數學美的感悟可以震撼他的靈魂。

另外，還有“邏輯說”，“集合說”，“結

構說”，“活動說”，“構造說”，“符號

說”，“直覺說”，“精神說”等等

綜上所述，對數學本質特征的認識是發展

的，變化的。用歷史的、發展的觀點來看待

數學的本質特征，數學可以這樣定義：

“數學是研究現實世界中數與形之間各

種模型的一門計算性結構性科學”。

學好了數學這個重要的語言和工具，掌

握了數學這個重要基礎，那就掌握了開啟任

何科學技術之門的金鑰匙。

二.什么是數學模型?

1.什么是數學模型?

什么是數學模型？為此，我們先看幾個

全國大學生數學建模競賽題:

2001年B題……公交車調度

2001年C題……基金使用計劃

2002年A題……車燈線光源的優化設

計

2002年B題??彩票中的數學

2003年A題??SARS的傳播

2003年B題,?露天礦生產的車輛安

排

2003年D題??搶渡長江

2004年C題??飲酒駕車

2004年B題??電力市場的輸電阻塞

管理

2008年B題??高等教育學費標準探

討

2008年D題……NBA賽程的分析與評價

2009年A題……制動器試驗臺的控制

方法分析

2009年B題……眼科病床的合理安排

2009年D題……會議籌備

從以上幾道競賽題的內容可以看出，既

有工程技術方面的問題，也有社會以及和我

們日常生活學習中有關的問題；既有醫療、

疾病傳播等問題，也有我們所喜歡的體育運

動等方面的問題。總之一句活，幾乎涉及所

有的問題。什么是數學模型,至今還沒有一

個統一的說法。

但可以這樣講:

這就是對于現實世界的一個特定對象,

為了一個特定目的，根據特有的內在規律，

做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學

工具（如等式，不等式，圖表，函數，方程,

方程組等）得到的一個數學結構式（如函數、

圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差

分方程等）。

也就是說，數學模型是通過抽象、簡化

的過程，使用數學語言對實際現像的一個近

似的刻畫，以便于人們更深刻地認識所研究

對像。

數學模型并不是新事物，它早就有之。

自從有了數學，也就有了數學模型。

2.數學模型的特點

模擬性創造性強鍵性計算復雜性

漸進性抽象性經濟性可轉移性非預測

性應用廣泛性局限性

3.數學模型的分類

數學模型可以按照不同的方式分類，下面介

紹常用的幾種.

1.按照模型的應用領域（或所屬學科）分：如

人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、

城鎮規劃模型、水資源模型、再生資源利用

模型、污染模型等.范疇更大一些則形成許

多邊緣學科如生物數學、醫學數學、地質數

學、數量經濟學、數學社會學等.

2.按照建立模型的數學方法（或所屬數學分

支）分：如初等數學模型、幾何模型、微分

方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規劃論

模型等.

3.按照模型的表現特性又有幾種分法：

確定性模型和隨機性模型取決于是否

考慮隨機因素的影響.近年來隨著數學的發

展，又有所謂突變性模型和模糊性模型.

靜態模型和動態模型取決于是否考慮

時間因素引起的變化.線性模型和非線性模

型取決于模型的基本關系.

離散模型和連續模型指模型中的變量

（主要是時間變量）取為離散還是連續的.

雖然從本質上講大多數實際問題是隨機性

的、動態的、非線性的，但是由于確定性、

靜態、線性模型容易處理，并且往往可以作

為初步的近似來解決問題，所以建模時常先

考慮確定性、靜態、線性模型.連續模型便

于利用微積分方法求解，作理論分析，而離

散模型便于在計算機上作數值計算，所以用

哪種模型要看具體問題而定.在具體的建模

過程中將連續模型離散化，或將離散變量視

作連續，也是常采用的方法.

4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、

預報模型、優化模型、決策模型、控制模型

5.按照對模型結構的了解程度分：有所謂白

箱模型、灰箱模型、黑箱模型.這是把研究

對象比喻成一只箱子里的機關，要通過建模

來揭示它的奧妙.

4,什么是數學建模？

簡而言之,建立數學模型的這個過程就

稱為數學建模。數學建模是利用數學方法解

決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、

假設、引進變量等處理過程后，將實際問題

用數學方式表達，建立起數學模型，然后運

用先進的數學方法及計算機技術進行求解

驗證并得到結論的全過程。（畫出圖表）

數學模型不同于其他學科，建立數學模

型沒有固定的模式，通常它與實際問題的性

質、建模的目的等有關。當然，建模的過程

也有共性，一般說來大致可以分為以下幾個

步驟：

1.形成問題

2.假設和簡化

3.模型的構建

即盡量采用簡單的數學工具。

4.檢驗和評價（模型求解前的檢驗）

數學模型能否反映原來的現實問題，必

須經受多種途徑的檢驗。這里包括：（1）.數

學結構的正確性，即有沒有邏輯上自相矛盾

的地方；（2）.適合求解，即是否有多解或無

解的情況出現；（3）.數學方法的可行性。評

價模型的根本標準是看它能否準確地反映

現實問題和解決現實問題（這點往往需要求

解后方能看出）。此外，是否容易求解也是

評價模型的一個重要標準。

5.模型的改進

6.模型的求解

數學建模的過程是一種創造性思維的

過程，對于實際工作者來說，除了需要具有

想象力、洞察力、判斷力這些屬于形象思維、

邏輯思維范疇的能力外，直覺和靈感往往不

可忽視，這就是人們對新事物的敏銳的領

悟、理解、推理和判斷。它要求人們具有豐

富的知識，實慣用不同的思維方式對問題進

行艱苦探索和反復思考。這種能力的培養要

依靠長期的積累。

此外，用數學模型解決現際問題，還應

當注意兩方面的情況。

一方面，對于不同的實際問題，通常會

使用不同的數學模型。但是，有的時候，同

一數學模型，往往可以用來解釋表面上看來

毫不相關的實際問題。

另一方面，對于同一實際問題要求不

同，則構建的數學模型可能完全不同。

5.為什么要學習數學建模?

(1)、數學模型無處不在，我們的生活、工

作、學習都離不開它

例如：生活中的合理投資問題、銀行的按揭

問題、養老保險問題、住房公積金問題、

新技術的傳播問題、流言蜚語的傳播問

題、流行性傳染病的傳播問題、語言學

中用詞變化問題、人口的增長問題、.減

肥問題以及各種資源的管理問題等等。

(2)、是學好數學用好數學的必經之路

戴維(1972年曾任尼克松總統的科學顧問，

1966年入選美國工程院院士)在1984年說的

一段話：“…對數學研究的低水平的資助

只能來自對于數學研究帶來的好處的完全

不妥的評價，顯然，很少有人認識到當今被

如此稱頌的‘高技術'本質上是數學技術。”

數學等于機會

數學建模的方法能使人們在解決復雜

的科學技術問題時設計出在最佳情勢下可

行的新的技術手段，并且能預測新的現象.

(3)、是數學教學改革的重要手段和有效路

徑

數學的教學，不僅要使學生學到許多重

要的數學概念、方法和結論，而且應該在傳

授數學知識的同時，使他們學會數學的思想

方法，領會數學的精神實質，知道數學的來

龍去脈，在數學文化的熏陶中茁壯成長。

實踐證明，數學建模教育和競賽就是最

好的方法和最有效的途徑。

(4)、數學建模競賽所提唱的團隊精神是現

代大學生必須具備素質

(5)、數學建模競賽鼓勵學生用跳躍式的、

發散式的形象思維方法，這有利于培養學生

的創新意識。

數學建模固然需要邏輯思維，但邏輯思

維有其局限性，主要是邏輯思維過分主張言

必有據，亦步亦趨，缺少浮想聯翩的遐想。

(7)、數學建模是培養學生綜合素質的好方

法好途徑

數學建模的工作是綜合性的，所需要的

知識和方法是綜合性的，所研究的問題是綜

合性的，所需要的能力當然也是綜臺性的。

(8)、數學模型可以培養學生理論聯系實際

的能力

(9)、從應用的觀點來看更重要的是預測和

控制所建模系統的行為的強有力的工具。

6.怎樣學習數學建模？

數學建模方法

一、機理分析法從基本物理定律以及系統

的結構數據來推導出模型。

1.比例分析法一建立變量之間函數關系的

最基本最常用的方法。

2.代數方法一求解離散問題(離散的數據、

符號、圖形)的主要方法。

3.邏輯方法一是數學理論研究的重要方

法，對社會學和經濟學等領域的實際問題，

在決策，對策等學科中得到廣泛應用。

4.常微分方程一解決兩個變量之間的變化

規律，關鍵是建立〃瞬時變化率〃的表達式。

5.偏微分方程一解決因變量與兩個以上自

變量之間的變化規律。

二、數據分析法從大量的觀測數據利用統

計方法建立數學模型。

1.回歸分析法一用于對函數f(x)的一組

觀測值(xi.fi)i=1,2,…，n,確定函數的

表達式，由于處理的是靜態的獨立數據，故

稱為數理統計方法。

2.時序分析法一處理的是動態的相關數

據，又稱為過程統計方法。

3.回歸分析法一用于對函數f(x)的一組

觀測值(xi.fi)i=1,2,…，n,確定函數的

表達式，由于處理的是靜態的獨立數據，故

稱為數理統計方法。

4.時序分析法一處理的是動態的相關數

據，又稱為過程統計方法。

三、仿真和其他方法

1.計算機仿真(模擬)一實質上是統計估

計方法，等效于抽樣試驗。①離散系統仿

真一有一組狀態變量。②連續系統仿真一

有解析表達式或系統結構圖。

2.因子試驗法一在系統上作局部試驗，再

根據試驗結果進行不斷分析修改，求得所需

的模型結構。

3.人工現實法一基于對系統過去行為的了

解和對未來希望達到的目標，并考慮到系統

有關因素的可能變化，人為地組成一個系

統。

(參見：齊歡《數學模型方法》，華中理工

大學出版社，1996)

三.數學建模競賽

1.數學建模競賽的特點

數學建模競賽的特點我把它歸結為靈

活、有趣、有用、影響大、培養人才十三個

字。

靈活表現在：

(1)內容形式靈活，比賽題目內容靈

活，可以是理、工、文、經濟、社會、以及

軍事等各種專業學科的學生。

(2).充分的開放性，數學建模競賽不

同其他封閉式的比賽，它對所有的學員開

放，參賽的三個隊員可以是任何專業的自由

結合，在比賽過程中三人可以互相討論切

磋，可攜帶任何筆記、資料、雜志、圖書，

以及上網查找資料。(但隊與隊之間不能進

行討論，也不能與指導教師或其他老師討

論。必須三個隊員獨立完成。)

(3).比賽的題目是來源于實際問題，

經過適當簡化提煉而成。沒有唯一的答案，

也沒有標準答案，更沒有現成的可供套用的

方法。

(4),論文的優劣主要看思想方法好不

好，有沒有創新意識及論文是否清晰。是綜

合的評判過程。論文要經過多個專家的考

評。

有趣表現在：

(1)競賽題目內容有趣。。

(2)比賽氣氛熱烈，三個隊員可以相互

切磋，討論爭論。

(3)結合實際應用有趣。

有用主要表現在：競賽過程所學的知

識、思想方法(包括使用數學軟件的方法，

查閱資料的方法及計算方法等)對今后的學

習工作都有用。

影響大：數學建模競賽的規模是現有各

項比賽中規模最大，參賽學校和人數最多的

全國大學生課外科技活動。

培養人才：數學建模競賽是培養優秀人

才的有效方法和途徑這是已被實踐證明了

的事實。

2.數學建模競賽的技巧

1、合理組隊（數學+計算機編程繪圖

數學軟件使用+文筆好）

2、時間合理高效安排

3、要注意審題，弄清題意；

4、站在巨人的肩膀上

全面高效率的搜索相關書籍和文章（一

般考題都有相關資料）

5、第一印象是成功的一半（要寫好論

文的摘要）；

6、注意論文語言的準確性、專業性和

簡練性及策略性。

7、建模貴在創新性和建模思想過程的

完整性

8.建模競賽中不回避失誤，但它重考查

參賽者是否掌握建模思想，是否有創新的閃

光點，所以在競賽中我們應該提出合理的假

設，然后通過建立嚴格的數學模型對其進行

合理驗證。

9、注意建模方法的簡潔性多樣性

數學建模大賽的宗旨是培養大學生解

決實際問題的能力，因此在比賽中大家應注

意從簡單到實際的思維模式。

10、建模論文的標準化和高規格化

文中指明參考文獻出處細到具體頁碼

文后一定要帶上計算程序

11.團結就是力量！(團結和諧協作有利

于創造性的發揮)

3.數學建模主要參考資料

1、數學模型相關軟件工具：

matIab,Iingo,Iindo,mathmatic,mapIe,

spss等

2、數學基礎：

高等數學，概率統計，線性代數，離散數學,

微分方程，運籌學，圖論與網絡流，

3.數學建模的十大算法

(1)、蒙特卡羅算法(該算法又稱隨機性

模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的

算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模

型的正確性，是比賽時必用的方法)

(2)、數據擬合、參數估計、插值等數據

處理算法（比賽中通常會遇到大量的數據需

要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算

法，通常使用Matlab作為工具）

（3）、線性規劃、整數規劃、多元規劃、

二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問

題屬于最優化問題，很多時候這些問題可以

用數學規劃算法來描述，通常使用Lindo、

Ling。軟件實現）

（4）、圖論算法（這類算法可以分為很多

種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，

涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需

要認真準備）

（5）、動態規劃、回溯搜索、分治算法、

分支定界等計算機算法（這些算法是算法設

計中比較常用的方法，很多場合可以用到競

賽中）

（6）、最優化理論的三大非經典算法：模

擬退火法、神經網絡、遺傳算法（這些問題

是用來解決一些較困難的最優化問題的算

法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的

實現比較困難，需慎重使用）

（7）、網格算法和窮舉法（網格算法和窮

舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競

賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視

算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好

使用一些高級語言作為編程工具）

（8）、一些連續離散化方法（很多問題都

是實際來的，數據可以是連續的，而計算機

只認的是離散的數據，因此將其離散化后進

行差分代替微分、求和代替積分等思想是非

常重要的）

（9）、數值分析算法（如果在比賽中采用

高級語言進行編程的話，那一些數值分析中

常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函

數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行

調用）

（10）、圖象處理算法（賽題中有一類問題

與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應

該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如

何處理就是需要解決的問題，通常使用

MatIab進行處理）

4.常用網站：

;;

5.其他主要算法：Floyd算法、分治算法、

概率算法、模擬退火算法、神經網絡、搜索

算法、貪婪算法、遺傳算法、組合算法、蒙

特卡羅算法、數據擬合、參數估計、插值等

數據處理算法、線性規劃、整數規劃、多元

規劃、二次規劃等規劃類問題、圖論算法、

動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界

等計算機算法、模擬退火法、神經網絡、遺

傳算法、網格算法和窮舉法

4.數學建模競賽論文寫作技巧

寫好數模答卷的重要性

1.評定參賽隊的成績好壞、高低，獲獎級

別，

數模答卷，是唯一依據。

2.答卷是競賽活動的成績結晶的書面

形式。

3.寫好答卷的訓練，是科技寫作的一種

基本訓練。

二、答卷的基本內容，需要重視的問題

評閱原則：假設的合理性，

建模的創造性，

結果的合理性，

表述的清晰程度。

三.如何寫作數學建模競賽論文

(1).論文格式

論文的封面：

題目-----------------

參賽隊員：XXXXXXXXX

指導教師：--------

單位：----------------

論文的第一頁是摘要，第二頁開始是論

文的正文，論文要有以下幾方面的內容：

一.問題的提出

二.問題的分析

三.模型的假設

四.模型的建立

五.模型的求解

六.模型的檢驗

七.模型的修正

八.模型的評估

九.附錄

以上各部分內容應該都是要具備的，但

有些步驟可以合并在一起。例如：問題的提

出與問題的分析，模型的假設與模型的建

立，模型的檢驗與模型的修正等。下面就每

一步以及建模過程中應注意的幾個問題作

一簡要介紹。

1.選題：賽題一般有兩道，我們可以

從中任選一道，這就面臨選哪道題合適的問

題。因此，首先必要弄清題目的意義。數學

建模的題目有時很長，有時很復雜。不易弄

懂它的意義，一般要用幾個鐘頭的時間才能

弄清楚它的含義。因此我們要求：

(1).深刻理解題意

(2).弄清題目的實際背景

(3)正確選擇題目，根據自身的特長和

優勢作出決定。要注意不要被題目的繁長的

敘述嚇住。

2.問題的分析：當選定題目后，接下

來就應該是對題目進行進一步的分析。下面

的幾項工作是必需要做的：

(1).在弄清問題的背景下，說清事情

的來龍去脈。

(2).列出必要的數據，題目所給的數

據往往是不夠的，還要尋找題目以外的數

據。

(3),列出和題目相關的各種條件和變

量，分清各變量之間的主從關系。

(4).給出研究對象的關鍵信息內容。

3.問題的假設：在分析問題的基礎上,

提出合理的假設

模型是在假設的前提下建立起來的。對

情景的說明不可能也不必要提供問題的每

一個細節。由題目所提供的假設來建立數學

模型還是不夠的，還要補充一些假設。假設

是建立數學模型很關鍵的一步，關系到模型

的成敗和優劣。所以應該仔細地分析實際問

題，從大量的變量中篩選出最能表現問題本

質的變量，并簡化它們的關系。這部分內容

就應該在論文的問題的假設部分中體現。由

于假設不是實際問題直接提供的，它因人而

異，所以，在撰寫這部分內容時要注意以下

幾個方面：

(1).論文中的假設要以嚴格、確切的

數學語言來表達，使讀者不致產生任何曲

解。

(2).所提出的假設確實是建立數學模

型所必需的，與建立數學模型無關的假設只

會擾亂讀者的思考

(3)假設應該是合理的；怎樣的假設才

是合理的呢？

A、假設應合乎生活常識。

B、假設不能與已知的科學定律相悖。

C、假設必需是對建模有用的。

D、盡量使用數學的語言。

E、假設不要超出題目要求的范圍。

4.模型的建立

在假設的基礎上下一步當然就是模型

的建立。在建立模型之前要引變量及其記

號。每個字母所表達的確切含義。經過抽象,

確切表達各變量之間的關系，用一定的數學

方法，建立起方程式或歸納為其它形式的數

學關系式，如圖形、表格等。在建模過程中

要注意以下幾個問題：

(1).要用分析和論證的方法，讓讀者

清楚地了解到建模的過程。

(2),上下文之間切忌邏輯推理過程中

躍度過大，影響論文的說服力。

(3).需要推理和論證的地方，應該有

推導過程且應該力求嚴謹。引用現成定理

時，要先驗證滿足定理的條件。論文中用到

的各種數學符號，必須在第一次出現時加以

說明。

5.模型的求解

把實際問題歸結為一定的數學問題后，

就要求解或進行分析，數學模型的求解多數

是數值求解。在求解時應對計算方法有所說

明。使用何種數學軟件，給出計算程序(通

常以附錄形式給出)。有時還用圖形或表格

形式表示出計算結果。有些模型還要作穩定

性或靈敏度分折。

6.模型的檢驗

數學模型未必都是正確的，這就需要檢

驗，如何檢驗：

(1).檢驗是否符合生活常識；

(2).用己給的數據檢驗；

(3).用分析推理檢驗。

7.模型的評估

(1),模型的優缺點，對自已建立的模

型要有正確的評價，既要實事求是，不要過

分謙虛，也不要過分善張。

(2).模型的推廣，模型的適用范圍。

對所作的模型，可以作多方面的討論，

例如可以就不同的情景，探索模型將如何變

化；也可以根據實際情況，改變文章中的某

些假設，指出由此引起數學模型的變化。還

可以用不同的數值方法進行計算，并比較所

得結果。甚至可以拓廣思路，考慮由于建模

方法的不同選擇而引起的變化。

8.論文寫作中語言表述應注意的問

題。

語言是構成論文的基本元素，數學模型

論文的語言與其他科學論文的語言一樣，要

求達意、精煉，不要把一個句子寫得太長，

使人不甚辛讀。語言中應多用客觀陳述句，

切忌使用你、我、他等代名詞和帶主觀意向

的語句。要特別注意以下幾點：

(1).語言要簡煉清晰，不要用含糊不

清、莫臨兩可的語言。

(2).不要隨意造句。

(3)..不要用倒裝句

(4).要通俗易懂

9.如何寫論文摘要

競賽論文要求寫論文摘要，摘要放在論

文寫完最后寫。摘要不是提綱，摘要應把論

文的主要思想方法、結論和模型的特色講清

楚。讓人看到論文的新意。摘要是給讀者和

評閱專家的第一印象，直接影響到能否獲獎

的重要因素。從98年開始，由于參賽規模

的不斷擴大，為了節省閱卷時間和質量，規

定論文摘要寫祥細一些，即評閱論文時，先

看摘要，如果看了你論文的摘要，認為這

篇文章不值得參加評獎，則就被打掉。因此

希望大家要十分重視論文摘要的寫作。

最后論文要用計算機打印出來，裝訂好

連同電子版上繳，論文一律用A4打印。

附兩篇論文的摘要供參考

NBA賽程的分析與評價摘要

NBA是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之

一，而一個完整、對各球隊盡可能公平的賽

程是一件非常重要的事情。在本題中，我們

通過建立數學模型對2008-2009新賽季常規

賽的賽程安排進行了定量的分析與評價。

在問題一中，為了分析賽程對某一支球

隊的利弊，我們考慮到下列因素：（1）：比

賽時間間隔的均勻度：由于比賽時間是一定

的，每一支球隊所要打比賽的總場數也是一

定的。比賽分配越均勻，球員才有足夠的時

間來休息調整，而如果連續的打比賽或連續

休息都不是好的選擇。（2）計算“背靠背”

的個數：連續兩天打比賽是對球員極大的挑

戰，球員體能將有極大的消耗。（3）連續地

遭遇強手：這樣也會嚴重消耗球員的體能，

使球隊處于疲勞狀態，影響下面的比賽。（4）

連續的客場比賽。

而對以上四個因素的衡量，我們分別用

（a）方差衡量時間間隔的均勻度：

加一19

,=\一，并在Matlab中實現（見附錄

2）；（b）在Matlab中編程計算出各球隊“背

靠背”總數s來衡量此因素（見附錄3）；（c）

用連續函數來衡量連續遭遇強隊的指標：

h/1\乂力-1

%=?-［之（見附錄4）；（d）同樣用連續

、&T

函數表示連續的客場之旅：k（11（見

4=1'乙）

附錄5）。最后我們用層次分析法，通過分

析、計算及一致性檢驗給出四個因素的一個

合理性數量指標，分別為：0.290771

0.3056940.200367

0.203168,并且將這些因素轉化為數學

公式:

Y；=Z,xA.x10+z2xB.4-10+z3xCj+z4xD.

在問題二中，我們根據第一問的計算結

果對30個隊進行利弊的總排序，順序見表

(8),從而找出賽程對魔術隊最有利，對森

林狼隊最不利，并可以分析出此次賽程的安

排對姚明所在的火箭隊也不利。

對于問題三，我們通過對04—05,05

—06…，08—09五年中，各球隊的賽程安排

進行分析，發現了NBA聯盟對同部異區打三

場或是四場比賽的安排是采取以五年為一

個周期的特定模式來循環進行的，我們通過

“鐘盤”模型加以實現；同時我們另外給出

了一種編排方法，得到的結果比NBA的實際

編排結果均衡性更好、也易于實現。

關鍵詞：綜合評價模型層次分析法

方差矩陣變換

B題高等教育學費標準探討

【摘要】

本文探討了高等教育學費標準高低對

社會的影響，從培養質量、收益、教育成本、

支付能力與入學率等幾方面入手，構建了學

費制定加權模型，舉例計算得到幾類有代表

性的專業的具體學費，并進一步討論了確定

助學金發放對象及具體金額的方法。

論文第一步按照教育部教學評價優秀

標準對學校教育質量指標量化，考慮教育成

本，從整體上構建學校學費的最低標準計算

模型。

通過分析我國財政指標、人民生活水

平指標相關數據，可得支付能力和個人、社

會收益與學費的關系的一些結論，在這些結

論和最低標準計算模型的基礎上進一步建

立完整學費計算模型。

所建學費計算模型學費分為兩個部分：

個人收益學費和支付能力學費。其中利益獲

得學費與所在專業的個人收益獲得率和專

業的生均成本有關，支付能力學費與我國國

民經濟水平有關，進而有區別的建立了不同

專業學費的普遍加權模型和某家庭實際可

以承受的學費具體模型，給出了確定某專業

學費的具體步驟，這是論文的核心。

在模型計算中，首先根據全國統計數據

確定了模型中的加權系數&，夕，得到了計算

特定專業學費具體的經驗公式，并對其方法

進行了單因素方差分析，證實了這樣計算的

合理性；然后再有選擇的計算出了一些學科

專業的學費標準（見表6）。

在計算所得學費基礎上說明了助學金

的必要性，進一步拓展模型，按照不同收入

人群分類計算應補助學費金額，并設立公平

度指標，討論了給誰發放助組學金和最終發

放金額。

模型的驗證嘗試新的思路，借鑒蟻群和

蒙特卡羅算法的一些思想，從微觀到宏觀驗

證模型。通過定義個體行為，設定意愿度指

標，用matlab編程，以計算機仿真的形式

試驗，用統計學觀點說明學費是否合理。這

是本文的亮點之一。

討論了模型的優缺點后，本文提出了問

題拓展的幾點思路，一是綜合考慮各種因

素，量化指標，給出建立優化模型，直接計

算學費的思路；二是討論了文章前一部份沒

有考慮的各種因素對學費的影響，以及加入

這些因素后建模的思路。

文末以報告的形式給出了關于學費制

定標準的一些研究結論和建議(附錄5)。

關鍵詞：學費標準培養質量生均

培養成本加權模型

四.數學建模文章格式模版

題目：明確題目意思

一、摘要：500個字左右，包括模型的主要

特點、建模方法和主要結果

二、關鍵字：3—5個

三.問題重述。略

四.模型假設

根據全國組委會確定的評閱原則，基

本假設的合理性很重要。

(1)根據題目中條件作出假設

(2)根據題目中要求作出假設

關鍵性假設不能缺；假設要切合題意

五.模型的建立

(1)基本模型：

1）首先要有數學模型：數學

公式、方案等

2）基本模型，要求完整，

正確，簡明

（2）簡化模型

1）要明確說明：簡化思想，依

據

2）簡化后模型，盡可能完整給

出

（3）模型要實用，有效，以解決問題

有效為原則。

數學建模面臨的、要解決

的是實際問題，

不追求數學上：高（級）、

深（刻）、難（度大）。

u能用初等方法解決的、就不用

高級方法，

u能用簡單方法解決的，就不用

復雜方法，

U能用被更多人看懂、理解的方

法，就不用只能少數人看懂、理解的方法。

（4）鼓勵創新，但要切實，不要離題搞

標新立異

數模創新可出現在

▲建模中，模型本身，簡化的好方法、

好策略等，

▲模型求解中

▲結果表示、分析、檢驗，模型檢驗

▲推廣部分

（5）在問題分析推導過程中，需要注意

的問題：

u分析：中肯、確切

u術語：專業、內行；；

u原理、依據：正確、明確，

U表述：簡明，關鍵步驟要列出

U忌:外行話，專業術語不明確，

表述混亂，冗長。

六.模型求解

（1）需要建立數學命題時：

命題敘述要符合數學命題的表述規范，

盡可能論證嚴密。

（2）需要說明計算方法或算法的原理、

思想、依據、步驟。

若采用現有軟件，說明采用此軟件的理由，

軟件名稱

(3)計算過程，中間結果可要可不要

的，不要列出。

(4)設法算出合理的數值結果。

七、結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修

正；結果表示

(1)最終數值結果的正確性或合理性

是第一位的；

(2)對數值結果或模擬結果進行必要

的檢驗。

結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原

因，

對算法、計算方法、或模型進行修正、改進;

(3)題目中要求回答的問題，數值結

果，結論，須一一列出；

(4)列數據問題：考慮是否需要列出

多組數據，或額外數據

對數據進行比較、分析，為各種方案的提出

提供依據；

(5)結果表示：要集中，一目了然，

直觀，便于比較分析

▲數值結果表示：精心設計表格；可能

的話，用圖形圖表形式

▲求解方案，用圖示更好

(6)必要時對問題解答，作定性或規

律性的討論。

最后結論要明確。

八.模型評價

優點突出，缺點不回避。

改變原題要求，重新建模可在此做。

推廣或改進方向時，不要玩弄新數學

術語。

九、參考文獻.

十、附錄

詳細的結果，詳細的數據表格，可在此

列出。

但不要錯，錯的寧可不列。

主要結果數據，應在正文中列出，不怕

重復。

檢查答卷的主要三點，把三關：

n模型的正確性、合理性、創新性

n結果的正確性、合理性

n文字表述清晰，分析精辟，摘要精

彩

四.歷年全國大學生數學建模競賽試題選講

例1買房貸款問題

設某人買房因資金不足需向銀行貸款p元，年利率為r%,計劃辦理〃年銀

行按揭，問每個月末應向銀行存款多少錢？即每月等額應還銀行多少錢？

設每月還款4元，由現值公式可知：

A

第一期還款4元的折現值為上一,其中/為月利率=「/12

1+i

A

第=期還款A元的折現值為

(1+0

A

第n期還款4元的折現值為一一

所以，

故A=P

1-(1+。"

上術公式即銀行按揭的數學模型，又稱資金還原公式(已知嚴求1)。

例2物體冷卻過程的數學模型

將某物體放置于空氣中，在時刻片o時，測量得它的溫度為〃()=15O()C,

io分鐘后測量得溫度為%=1OO()C,試求決定此物體的溫度"和時間z的關

系。并計算20分鐘后物體的溫度。這里我們假定空氣的溫度保持為“a=240C

解：為了解決上述問題，需要了解有關熱力學的一些基本規律：例如：熱量

總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導的；在一定的溫度范圍內(其中包括了

上述問題的溫度在內)，一個物體的溫度變化速度與這物體的溫度和其所在介質

溫度的差值成正比例。這是己為實驗證明了的牛頓冷卻定規。

/、du

設物體在時刻t的溫度為?=?V),則溫度的變化速度為—.注意到熱

量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導的，因而所以溫差

W-4〃恒正；又因為物體的溫度將隨時間而逐漸冷卻，故溫度變化速度一恒

dt

負，因此由牛頓冷卻定律得到

牛二-《("以).....(1)

at

這里A>0是比例常數。方程⑴就是物體冷卻過程的數學模型。

為了確定物體溫度u和時間，的關系，我們要從方程⑴中解出//o注意到

%是常數，且M->0,可將上式改寫成

d(u-u),

———Un=-Kdt

u-ua

ln(w-wa)="Kt+ct

Kt+CKl

u-ua=e'=ce

K,

即〃=ut+ce

根據初始條件：傳加上式解

C="0-%

K,

于是,〃=ua+Go-ua)e

又根據條件：當t=io時，“=%.代入上式得

%=4+(%-4,)e")K

O1iM0-Ua

K=—In-------

10%-ua

用時A得隹％=100,露=24,

150-24

K——In—In1.660.051

10100-2410

從而,〃=24+126e005k

這就是冷卻該物體溫度〃隨時間f的變化規律。用420代人得

u?24°c

同時由上式可知，當時,u24°c

事實上，經過二小時后，即當片120時〃》24.3°c,當片180時（三小時）

u?24.0l°c,這時一般的測量儀器已測不出它和空氣溫度的差別，我們可

以認為這時冷卻過程已基本結束。以上兩個例子，一個是我們日常生活中的實際,

一個是物理現象。都是我們所熟悉的。

兩個例子

數學建模最關鍵的是：合理假設，數學問題，解釋驗證

1.復利和抵押貸款買房問題

復利

4=4(1+〃)”

4

A)=

(l+rf

/、i/〃

r—-1

IA)J

ln[1+r]

應用實例一位使用工商銀行國際信用卡的張姓用戶，2004年12月用工商銀行

的信用卡，刷卡消費39771.52元，由于記錯了還款額，他在還款日期（2005年1

月25日）到期之前，分多次共計還款39771.28元，少還了0.24元（事后才發現）.

但就是這區區0.24元，工商銀行在他1月份的摩單里記裱兩筆共計853元的利息.

張先生從網上查到裱單后，立即致電工商銀行95588,得到的答復是最新的國

際信用卡章程已將原來只對逾期沒有還的欠款部分收取利息改為對消費款全部

從消費發生日起收取每日萬分之五的利息.

我們先不說張先生是否及時知道新的章程，這種收費是否合理.這里，我

們只問一個問題：工商銀行按多少天來收的利息？

解已知&=39771.52

4n二39771.28+853=40624.52,r=O.OOO5

^ln[A/Al

由（3.i-2）中的=—ln[l+r]，代入計算得n42.46

天.

在①pp.27-33"第二節數列極限的定義”中強調等比數列，特別是在p.31

的例3中，加上最重要的幾何（等比）級數部分和的求和公式

Sn=1+q+q2+q3H-----q"i=--------,q>0

i-q

的內容，然后提出下面的問題：

例1.在“文曲星”電子詞典（或類似的電子詞典）中，打開其目錄，在“計算”

目錄下有一項“貸款計算”，打開后有下列顯示：

貸款金額200,000

貸款年數20

年利率冊）6.39%=0.0639

（月利率=6.39/12=0.5325%）

如果是上述輸入，則會見到如下“計算結果”

每月應付款數（記為x）1478.22

總還款額354,773.41

總利息154,773.41

問題：用數學建模的方法來回答：這是怎么算出來的.

假設：月等額還款

提示:借款模型是按月利率，按月計算的。

用符號表示，設一開始的貸款金額記為%(=200,000)

貸款年數記為N（=240月），

年利率記為R=0.0639,

月利率記為r=M2=0.005325

確定變量以及變量之間的關系，即數學模型的建立：這個月（記為第〃個月）尚

欠銀行的款數記為Ai,上個月（記為第n-1個月）結余欠款記為4-1加上

利息記為A?-l（1+r）

,減去這個月的還款x,還欠

Ai（l+r）r.

所以數學模型為：這個月的欠款等于上個月欠款加上利息，再減去這個月的

（等額）還款；一開始的借（欠）款已知；20年必須還清.用數學語言表示，即數

學模型為：

4=A〃_i（l+r）-xn=1,2,3,…,N

<A）已知

A=o

N=240,A240=°表示20年=240個月還清貸款.

求解這個數學模型只需栗用到等比級數部分和的求和公式.

解：

4=&(1+r)-x

—Aj(1+r)-x

=[—(I+r)-x](l+r)-x

=4(1+廳-x[l+(l+r)]

4—A2(1+r)-x

={4(l+r)2-x[l+(l+r)]}(l+r)-x

2

=4(1+廠>一%[1+(1+r)+(1+r)-

容易觀察出規律，并用數學歸納法證明，對于任何A有

A“=4(l+r)〃-x[l+(l+r)+(l+r)2+_+(i+r)〃T-

由等比級數部分和的求和公式(1+廠=y)

/-l=()；-l)(l+y+/+...+/-1),H>l,y>l

于是有

人人,1、〃(1+r)〃一1、〃(1+rf-l

A,=4(1+廠)〃-x--=4(1+ry-x^-

(1+r)-1r

由于AN—°,所以

(l+r)N_]

驗證“文曲星”電子詞典顯示的結果是否正確.

不算出數值，怎么讓人相信？但是，手算是不現實的，這就涉及到在教學中要

不要(允許不允許)使用計算器和計算機及相應的數學軟件這個不可回避的問題

(實際上也是不應該回避的問題).

我認為，做課外作業應該允許，考試不允許.

到底應該怎么做，值得認真研究，但這不是今天在這里要討論的問題.

不過，我們必須及時關注于2009年5月18日由WolframResearch(沃爾弗

拉姆研究)公司正式推出(發行)的一個基于Mathematica數學軟件和ANewKind

ofScience(一種新科學，厚達1280頁，縮寫為NKS)名為Wolfram|Alpha的新

的計算型知識(搜索)引擎(Computationalknowledgeengine)以及它將對科學

研究和教育產生的影響.

WolframiAlpha的作者StephenWolfram(1959,8,29-,1979年在加

州理工學院(CIT)獲理論物理學博士學位，1988年他推出了強大的計算機軟件

Mathematica),他最近撰文表示：“(Wolfram|Alpha的)用戶所要做的就是用自

然的語言問問題，而搜索引擎則能準確進行回答.我很高興地宣布，通過綜合使

用多種啟發性的算法(algorithmsandheuristics)和語法發現(linguistic

discovery),我們很可能取得了一些重要的理論突破，并能實際上使其運轉.我

們將最終形成一個網站：通過這個網站，只票簡單輸入

問題，我們就可以接入到一個巨大的系統，這個系統是擁有極其龐大信息量的

數據庫.”

關于它將對數學教育產生的影響，例如，可以看，由JeffreyR.Young寫的發

表在2009年6月12日ChronicleofHigherEducation(高等教育記事)上的文

章"ACalculatingWebSiteCouldIgniteaNewCampus'MathWar*(計

算搜索網站可能會點燃新一輪的‘數學戰爭‘)”.

用Mathematica數學軟件的輸入和輸出

輸入：

Clear[r,n,N,x\

x[rnA)」=

(1+r)n-1

4=200000;n=N=240;r=0.005325;

x[r,N,4]

榆出：1478.22

更多的應用可參考[1]:《大學生數學建模競賽輔導教材(五)》第3章，葉其孝

主編，湖南教育出版社，2008.

模型的變形：口]p.33,(3.1-4)(3.1-9),

4個變量中知道任何3個就可以求出另一個.

Y

(3.1-4)

A/(l+r)"

(l+r)H-l(3.1-6)

ln[

x-Aor

n二

ln(l+r)(3.1-7)

或

log[^―]

x-Ar

n(]=--------------

log(l+r)(3.1-

7)*

x[(l+r)〃-1]

r(l+r)H(3.1-8)

為求A〃二°的廠，需要求解下面的代數方程式

4(1+r)向一(4+x)(l+/)〃+x=0

例2.根據報道，喬先生向銀行貸了22萬元，貸款期限是2003年9月-2013

年9月共120期，采用等額本息還款法，月供2338元.目前，已還16期，還

剩104期，貸款余額為198155元，

喬先生手頭正好有5萬元可用，因此提出申請提前還款5萬元.如果提前

還款5萬元.得到批準，喬先生又想保持貸款期限不變，即再繼續105期，那

么按照新的利率6.12%他的月還款是多少？

解：該報道中沒有說月利率r為多少，因此我們首先要求工

因為4=220000,〃=120,X=2338.解方程(3.1-9),即解

220000(1+r)120+1-(220000+2338)(1+r)120+2338=0

我們可以利用Mathematica數學軟件來求解.首先定義(3.1-9)右端的函數

如下

Clear[aO,f,n,r,x]

f[aO_,n_,x_,r-]:=aO(1+r)A(n+l)-(aO+x)(l+r)An+x

也可以單擊“File”菜單，把光標移到“Palettes”選項，在彈出的子菜單中

再單擊“BasicCalculation”項，按屏幕上出現的基本命令選擇窗口，可以直

接輸入以下數學公式的形式

￡aO,n,*,r:aO1rp1aOx1rnx

f[aO,n,x,r]

4(l+r)〃+i—(Qo+x)(l+r)"+x

然后給已知的aO,n,x賦值，并畫圖.根據我們對利息的了解，r的變化范圍

為一定大于0,小于0.2.

a0=220000;n=120;x=2338;

Plot[f[aO,n,x,r],{r,0,0.02},AxesLabel{r,f}]

可見，的零點大約在0.005附近。我們可以再精細一點畫圖看得更清楚一點，r

的變化范圍為{0.004,0.005},畫圖如下

Plot[f[aO,n,x,r],{r,0.004,0.005},AxesLabel->{r,f)]

因此，我們可以用0.0042作為初值，求f的零點

FindRoot[f[aO,n,x,r]=0,{r,0.0042}]

{r->0.00420197）

注意，利用FindRoot語句，初值確定的好壞是很重要的，所以上述做法的步驟

是彳艮有效的.

思考題：能否用Solve[f[a0,n,r,x]=0,r]或NSolve[f[aO,n,r,x]

==0,r]來求r.進行比較，哪個更好些，或者說它們各自的優點是什么？

r?0.00420197,或者r?0.004202,年利率為0.050424.再由（3.1-4）,

分別令&=16和k=15計算之，分別計算

16233816

A16=220000(1.004202)[(1.004202)-1]

0.004202

和

2338

46=220000(1.004202)15[(1.004202)15-1]

0.004202

得到的結果分別為：196656和198161.如果報道中的198155沒有錯誤，那么

198161非常接近198155.這就說明報道有誤.實際上，喬先生只還了15期，

還有105期要還.

現在的40=148,155,H=105,利用（3.1-6）按照新的月利率r=

0.0051計算，他的月還款是1825.86.如果他不還5萬元，繼續還105期的話，

他的月還款是2442.06.

對Mathematica有興趣的讀者可以做下面的思考題。

綜上所述，如果我們能應用模型⑶1-3）到（3.1-9）的話，我們可以解決

許多相關的問題.

習題

A）

1.如果不是等額還款，例如，每月先還利息再加還N等分的本金N，

數學模型將會怎樣？

2.你當前的信用卡欠款余額為12,000美元，而當前的利率為19.9%/年.利息

是按月計算的.確定什么樣的月還款p美元才能在

a.2年，假定不會有新的信用卡支付.

b.4年，假定不會有新的信用卡支付.

還清欠款.

現在假定你每月用信用卡支付105美元.

確定什么樣的月還款P美元才能在

a.2年

b.4年

還清欠款.

考試題

某人想貸款買房，他在10年里變月的還款能力x=3000沒有問題，已知

貸款年利率r=5%,貸款年數%=10―15年.請通過數學建模的方法回答：如

果N=10,請你估算一下他應該借（貸款）多少？（提示：