湖南工業大學課程設計資料袋 理 學院（系、部） 學年第2學期課程名稱 指導教師 職稱副教授學牛姓名 袁慧珍胡順鄧鴻徽專業班級信息與計算科學082班學號2127304題目 利用Gauss-Laguerre公式求積分 成績 起止日期2011年_匸月日?2011年_6月_2乙日目錄清單序號材料名稱資料數量備注1課程設計任務書2課程設計說明書3課程設計圖紙張456湖南工業大學課程設計任務書2010—2011學年第2學期 學院（系、部） 專業082班級課程名稱： 數值計算 設計題目： 利用Gauss-Laguerre公式求積分 完成期限：自2011 年—「月20日至2011年_月27日共丄周內容及任務一、 問題分析及建立求解方案階段：杳找及理解相關原理。二、 Matlab編程求解問題。三、 根據指導老師意見做最后修改，進行驗收并撰寫課程設計論文進度安排起止日期工作內容2011-6-20——2011-6-23問題分析及建立方案階段2011-6-23——2011-6-25問題求解階段，用計算機編程求解2011-6-25——2011-6-27根據指導老師意見做最后修改，進行驗收并撰寫課程設計論文主要參考資料黃云清等，《數值計算方法》，北京：科學出版社，2009鄭阿奇等，《MATLAB實用教程》，北京：電子工業出版社，2004指導教師（簽字）： 年月日系（教研室）主任（簽字）： 年月日事LOGY（數學模型）設計說明書題目利用Gauss-Laguerre公式求積分起止日2011年_6_月20_日至2011年6月27日袁慧珍胡順鄧鴻徽08221 27 304TOC\o"1-5"\h\z學生姓名班 級袁慧珍胡順鄧鴻徽08221 27 304學 號成 績指導教師（簽字）理學院題目：就n=4,6和8個節點，用Gauss-Laguerre求積公式計算下列積分:(1)Jse-x2dx=0、江T分析：1.主要使用到原理：(1)Jse-x2dx=0、江T分析：1.主要使用到原理：Gauss-Laguerre求積公式是Gauss求積公式的一種建立在無窮區間上的特殊求積公式。它利用了Laguerre多項式：在[0,-s)關于權函數為P(x)=e-x的正交多項式dn(Xne-x)L(x)=ex-n dxn(1)。故在求積分時，我們主要使用的求積公式為:e-xf(x)dx?0工Af(x)(2)其中，xkk kk=1(k=1,...,n)是L(x)的n個零點，求積系數n(n!)2[L(x)]2x

nk k(3)k=1,2,...,n2.實際求解：由題可知f(x)=e-x2+x(4)。首先考慮Laguerre多項式的n個零點，由于不好使用函數公式(1)直接求出，所以利用圖像，找出的n個近似點，并利用其作為初值帶入方程(1),分別求得其根精確解，再帶入公式(3)(4)分別求出每個分點的A系k數值與f(叮函數值，并將其相乘得到n個數。最后，將這n個數相加，就可得出e-xf(x)dx的近似值。0程序求解：% 計算得出各階數的Laguerre多項式的公式symsx%設未知變量n=[2,4,6,8];%n為多項式階數fori=1:length(n)L(i,1)=exp(x)*diff(xA(n(i))*exp(-x),n(i));%計算得出各階數的Laguerre多項式的公式endL;%各階數的Laguerre多項式的公式表達式L=simple(L)%公式化簡% 計算得出各階數的A(x)f(x)多項式的公式forj=1:length(n)s(j)=1;fori=1:n(j)s(j)=s(j)*i；end;endforj=1:length(n)q(j)=diff(L(j),1);%Laguerre多項式求一階倒A(j,l)=s(j)人2/(q(j)人2*x);%求得系數函數endA=simple(A)%系數函數表達式f=exp(-xA2+x);%f(x)函數表達式d=simple(A*f)%系數函數與f(x)函數乘積的表達式% 利用圖像，找出的n個近似點x=-1:0.1:5;l=2-4*x+x.A2;%2個節點x=-4:0.1:10;1=24-96*x+72*x.a2-16*x.a3+x.a4;%4個節點x=-4:0.1:20;1=720-4320*x+5400*x.a2-2400*x.a3+450*x.a4-36*x.a5+x.a6;%6個節點x=-1:0.1:23;18=40320-322560*x+564480*x.a2-376320*x.a3+117600*x.a4-18816*x.a5+1568*x.a6-64*x.a7+x.A8;%8個節點% 利用函數fzero()函數為零是的算出各個根的精確解x2=[0.63.4];fori=1:2x2(i)=fzero('2-4*x+xA2',x2(i));endx4=[0.31.74.59.4];fori=1:4x4(i)=fzero('24-96*x+72*xA2-16*xA3+xA4',x4(i));endx6=[0.21.235.89.816];fori=1:6x6(i)=fzero('720-4320*x+5400*xA2-2400*xA3+450*xA4-36*xA5+xA6',x6(i));endx8=[0.10.92.34.3710.815.722.9];fori=1:8x8(i)=fzero('40320-322560*x+564480*xA2-376320*xA3+117600*xA4-18816*xA5+1568*xA6-64*xA7+xA8',x8(i));endx8=x8';% 計算A(x)f(x)在各階各節點的值fori=1:2y2(i)=exp(-x2(i)A2+x2(i))/(-2+x2(i))A2/x2(i);endf2=sum(y2)%2個節點fori=1:4

y4(i)=36*exp(-x4(i)人2+x4(i))/(-24+36*x4(i)-12*x4(i)人2+x4(i)人3)人2/x4(i);endf4=sum(y4)%4個節點fori=1:6y6(i)=14400*exp(-x6(i)A2+x6(i))/(-720+1800*x6(i)-1200*x6(i)A2+300*x6(i)A3-30*x6(i)A4+x6(i)A5)A2/x6(i);endf6=sum(y6)%6個節點fori=1:8y8(i)=25401600*exp(-x8(i)A2+x8(i))/(-40320+141120*x8(i)-141120*x8(i)A2+58800*x8(i)A3-11760*x8(i)A4+1176*x8(i)A5-56*x8(i)A6+x8(i)A