第一章解斜三角形

1.1.1正弦定理

（一）教學目標

1.知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方

法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形中的一類簡單問題

2.過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關

系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到?般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用

的實踐操作。

3.情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情

推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間

的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統%

（二）教學重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：正弦定理的推導即理解

（三）學法與教學用具

學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：一J=—接著就一般斜

sinJsinz>sine

三角形進行探索，發現也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，

讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學過程

1［創設情景］

如圖1.1T,固定AABC的邊CB及NB,使邊AC繞著頂點C轉動。/A

思考：NC的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角NC的大小的增大而增大。能否//\

用一個等式把這種關系精確地表示出來？-----------XB

2［探索研究］（圖1.1-1）

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就苜先來探討直角三角形中，角與邊的等

式關系。如圖1.1-2,在RtAABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數

的定義，有色=sin4,—=sin//,又sinC=l=2,

ccc

貝mnij---a---=----b----=----c---=c

sinJsin6sinC

從而在直角三角形ABC中，-4—=-^—=-^-

sin力sinnsine

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況:

如圖1.1-3,當AABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD,根據任意角三角函數的

定義，有CD=asin8=6sin/,貝IJ—^―=—^―

sin/fsin6

同理可得品b

sin6

b

從而

sinJsin5sinC

（圖1.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究

這個問題。

（證法二）：過點A作］，而，

由向量的加法可得AB=AC+CB

則J-AB=J-（AC+CB）

：.J-AB=J-AC+J-CB

|)||AB|cos(90()-A)=0+|)||CB|cos(900-C)

csinA=〃sinC,即

sinAsinC

b

同理，過點C作及，可得

sin5sinC

sinJsinBsinC

類似可推出，當△ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的1E弦的比相等，即

a_b_c

sinJsinBsinC

［理解定理］

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即

存在正數k使a=4sin4,b=ksinB,c=AsinC；

（2）--=上=，等價于=二_=，

sin/lsin5sinCsin力sinBsin。sin8sin4sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其邊可以求其他邊，如&=如黑；

smz?

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如Sid齊

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

3［例題分析］

例1.在A48C中，已知A=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根據三角形內角和定理，

C=180°-(A+8)

=1800-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根據正弦定理，

/,_asin8_42.9sin81.8。

‘-sin4-sin32.0°

根據正弦定理,

asinC42.9sin66.2°、

c=—■—―=-------------—474.lz

smAsin32.0°

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2如圖，在△ABC中，NA的平分線AD與邊BC相交于點D,求證：—

DCAC

(2)已知AABC已知A=45°,B=75°,b=8；求邊a=()

A8B4C473-3D873-8

(3)正弦定理的內容是-------------------------

(4)已知a+b=12B=45°A=60°"貝a=-------------------------,b=-------------------------

(5)已知在AABC中,三內角的正弦比為比5:6,有三角形的周長為7.5,則其三邊長分別為

/八y.WE-OR-a+bsinA+sin8

(6).在△ABC中，利用正弦定理證明----==------------

csinC

六，課堂小結(有學生自一總結)

七板書設計略

五［課堂小結］（由學生歸納總結）

學校：臨清二中學科：數學編寫人：劉會志一審：李其智二審：馬英濟

1.1.1正弦定理學案

【預習達標】

在△ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c,

1.在Rt△ABC中，ZC=90°,csinA=,csinB=,即==。

sinA

2.在銳角AABC中，過C做CD_LAB于D,則ICDI==,即，一=;

sinA

同理得,故有_L=o

sinA

3.在鈍角AABC中，NB為鈍角，過C做CD，AB交AB的延長線D,則ICDI=

=,即———=，故有一——=O

sinAsinA

【典例解析】一新課導入，推導公式

（1）直角三角形中

（2）斜三角形中

正弦定理是

例1.在AABC中，已知4=32.0°,5=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

例2如圖，在AABC中，/A的平分線AD與邊BC相交于點D,求證：殷_=4且

DCAC

A

【達標練習】

1,已知AABC已知A=60°,B=30°,a=3；求邊b=():

A3B2CV3DV2

(2)已知△ABC已知A=45°,B=75°,b=8；求邊a=()

A8B4C4VL3D873-8

-(3)正弦定理的內容是-------------------------

(4)已知a+b=12B=45°A=60°蝌惻

則a=------------------------,b=-------------------------

(5)已知在△ABC中，三內角的正弦比為4:5:6,有三角形的周長為7.5,則其三邊長分

別為------------------

(6).在AABC中，利用正弦定理證明"L==1"**‘inB

csinC

參考答案

【預習達標】

b

1.a,b,------=-------.2.bsinAasinB,-------,-------=-------,-------=-------

sinBsinCsinBsinAsinCsinBsinC

bh_c

3..bsinAasinB,------

sinBsinBsinC

【典例解析】

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等

式關系.如圖1.1-2,在愍AABC中，設比=最黑=反融=c,根據銳角三角函數中正弦函數

的定義，有“b

>sin》，又sinC=l=一,

cC

b

則------=-------=-------=c

sin24sinBsinC

ab

從而在直角三角形ABC中,

sinAsinBsinC

(圖1.1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立?

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當AABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD,根據任意角三角函數的

定義，有CD=asin〃=bsin/,貝=—^―

sinJsin8

同理可得忘b

sin6

sin/sin6sinC

(圖1.1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究

這個問題。

（證法二）：過點A作前，

由向量的加法可得布=尼+歷

則J-AB=J-（AC+CB）

|)||XB|COS(90(,-A)=0+|)||GB|COS(90()-C)

csinA=asinC,即a=

s\nAsine

b二c

同理，過點C作7」而，可得

sin8sinC

ab

從而

sin】sinBsin。

類似可推出，當AABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

ab

sin/sinBsint?

例1解：根據三角形內角和定理,

C=1800—(A+8)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根據正弦定理，

asinB42.9sin81.8°

b=?8().l(c/n)；

sin4-sin32.0°

根據正弦定理，

asinC42.9sin66.2°

'-sinA-sin32.0°=74.l(cvn).

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器o

例2證明：如圖在AABD和ACAD中，由正弦定理,

BDABDCACAC

得

sin0sinasinPsin(180°-a)sina

兩式相除得處AB

DC

【雙基達標】

b

1.(1)C(2)D(3)—.(4)36-12痛

sinAsinBsinC

12痛-24(5)2,2.5,3

2.證明：設,b

=k,貝ij。=ksinA、b=ksinB.c=ksinC

sinAsinBsinC

a+bA：sinA4-sinBsinA+sin8

ksinCsinC

學校：臨清二中學科：數學編寫人：劉會志一審：李其智二審：馬英濟

§1.1.2正弦定理

【三維目標】：

一、知識與技能

1會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題

2通過三角函數、正弦定理、等多處知識間聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一.

3.在問題解決中，培養學生的自主學習和自主探索能力.

二、過程與方法

讓學生從已有的兒何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學

生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

三、情感、態度與價值觀

1.培養學生處理解三角形問題的運算能力；

【教學重點與難點】：

重點：正弦定理的探索及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一?邊的對角解三角形時判斷解的個數。

【授課類型】：新授課

四教學過程

一、知識回顧1正弦定理的內容是什么？

二、例題講解

ab

例1試推導在三角形中2R其中R是外接

sinAsinBsinC

圓半徑

證明如圖所示，ZA=ZD

h

—=CD=2R同理2R,裊=2R

sinAsinDsinB

ab2R

sinAsinBsinC

例2在AABC中,b=43,B=60°,c=l,求a和A,C

..bc.八csinB1xsin60°1

.------=-------,sinC=---------=------產——=-■：b>c,B=60°,:.C<B,C

sinBsinChJj2

為銳角,

.?.C=30°,B=90°：.a=^b2+c2=2

例3A48C中，c=后,A=45°,4=2,求人和民C

ac.一csinA遙xsin450V3

解———=-sinC=-----=-----------=——

sinAsinCa22

csmA<a<c,:.C=60°或120°

.,.當C=60°時，5=75。/=出”.二癡sin7『）=/+],

sinCsin600

.?.當C=120°時，5=15o===

sinCsin60°

.?，=g+l,B=75°,C=60°或〃=6—1,8=15°,。=120°

五、鞏固深化，反饋矯正

1試判斷下列三角形解的情況：

已知b=ll,c=12,8=60°則三角形ABC有()解

A—B兩C無解

2已知a=7,Z?=3,A=110°則三角形ABC有()解

A—B兩C無解

3.在A48C中，三個內角之比4:8:。=1:2:3,那么a:b:c等于

4.在A48C中，，B=135°C=15°a=5則此三角形的最大邊長為.

5在AA6C中，已知a=xcm,/?=2c，%8=45°,如果利用正弦定理解三角形有兩解，則x

的取值范圍是_____

6.在A46C中，已知A=2csin6,求NC的度數

六、小結

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數,

即存在正數k使a=ksinA,b=Asin8,c=AsinC；

“、、abc....,.abbcac

(2)----=-----=-----等價于-----=-----,-----=-----,-----=-----,即an

sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC

可得正弦定理的變形形式：

1)a=2/?sinA,b=27?sinB,c=27?sinC；

c、?，a.「b.「c

2）sinA——,sinB——,sinC——；

2R2R2R

3）利用正弦定理和三角形內角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題:

/?win/A

1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如。==——；

sin8

2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.如sinA=@sin6。

b

外接圓法）如圖所示，ZA=ZD

a=bsinA有一解a>bsinA有兩解a>b有一解a>b有--解

七板書設計略

L1.2正弦定理學案

-預習達標

1正弦定理的內容是-------------------------------------

2在三角形ABC中已知c=10A=45°C=30°,則邊---------邊b=----,角B=

3在三角形ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,則角B=--------（可借助計算器）

二典例解析

q=上=，一=2R其中R是外接圓半

例1試推導在三角形中

sinAsinBsinC

徑

例2在AABC中，b=6=60°,c=1,求a和A,C

例3AA6C中，,=痛,4=45°,“=2,求6和8,。

三達標練習

1試判斷下列三角形解的情況：

已知b=11,c=12,6=60°則三角形ABC有（）解

A—B兩C無解

2已知a=7力=3,4=110°則三角形ABC有（）解

A—B兩C無解

3.在A4BC中，三個內角之比A:B:C=1:2:3,那么等于

4.在AABC中，B=135°C=15°a=5，則此三角形的最大邊長為

5.在A48C中，已知a=xcm,匕=2cm,8=45°,如果利用正弦定理解三角形有兩解，則

x的取值范圍是_____

6.在A4BC中，已知匕=2csinB,求NC的度數

學案答案

一預習達標1——=’_=—2IOA/2,576+572364°或

sinAsinBsinC

116°

二典例解析

例1證明如圖所示，ZA=ZD

ab

sinAsinDsinBsinC

二2R

sinAsinBsinC

例2在AABC中，力=Ji,3=60°,c=1,求a和A,C

csinB1xsin60

sinC=

sinBsinC

為銳角，

/.C-30°,B-90°a=yjb2+c2=2

例3A48C中，0=后,4=45°,。=2,求6和8,。

csin上_巫xsin45°

,?sinC=

sinAsinC

u

：csinA<a<cr:.C=60°或120°

當C=6。。時，8=75。近士=4^=的+1,

當C=120°時，3=15°,3=絲吧=亞竺三=/一1

2=75+1,§=75°,。=60°或5=75-1乃=15°,0=120。

三達標練習

1:B25A31:73：2457252<X<2血630°或150°

學校：臨清二中學科：數學編寫人：史繼忠一審：李其智二審：馬英濟

課題：1.1.2余弦定理

授課類型：新授課

【教學目標】

1.知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題，

3.情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、

余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。

【教學重、難點】

重點：余弦定理的發現利證明過程及其基本應用；

難點：勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用O

【教學過程】

［創設情景］

如圖1.1-4,在AABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求邊c

(圖1.1-4)

［探索研究］

聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發現因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

如圖1.1-5,設獷=a,CA=b,AB=c,那么c=a-5,則

|c|=c.c=(a-Z)(a-Z)

=a-a+b-b-2a-bCaB

=|a|2+p|2-2a-6

從而c2=a2+b2-2a6cosc(圖1.1-5)

同理可證a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何?邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

的余弦的積的兩倍。即a2=b1+C1-2bccosA

b，—cT+c~-2accosB

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由

三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

bj?-+c2--a-2

cosA=

2bc

/+。2一/

cosB=

2ac

b2+a2-c2

cosC=

-2ba

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若AABC中，C=90°,則cosC=0,這時＜?=/+/

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

【典例分析】

例1.在△ABC中,已知〃=20，c=V6+V2,8=60°,求b及A

⑴解：:/?2=Q2+c2-2accos5

=(2V3)2+(V6+V2)2-2-2V3-(76+72)cos45"

=12+（遙+啦）2-4向百+i）

=8

:.b=25

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

b2+c2-a2_(2V2)2+(V6+V2y-(2何_1

⑵解法一：".'cosA=

2bc2x2&x(#+偽~r

：.A=60°.

解法二：：sinA=；sin8=2^.sin45°,

b2V2

XV76+V2>2.4+14=3.8,

26<2xl.8=3.6,

：.a<c,即0°V4V90°,

A=60°.

評述：解法二應注意確定A的取值范圍。

【變式訓練1】

.在△ABC中，若(a+c)(a-c)=6(0+c),則NA=

解：a2-c2=b2+bc,b2+c2-a2=-be,cosA=A=120°

例2.在AABC中，已知a=134&〃？，b=87.8。*,c=\6\.lcm,解三角形

(見課本第8頁例4,可由學生通過閱讀進行理解)

例3.例2.在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程x?-2j5x+2=0的兩根，

2cos(A+8)=1。

(1)求角C的度數；

(2)求AB的長；

(3)求4ABC的面積。

解：⑴cosC=cos[^r-(?l+B)]=—cos(A+B)=一gnC=i20°

(2)因為a,b是方程X?-20+2=0的兩根，所以|"+"=26

ab=2

AB2=b2+a2-2ahcosl20°=(a+Z?)~-ab=10=AB=y[\0

1V3

(3)5?--absinC--——

MBC22

評析：在余弦定理的應用中，注意與一元二次方程中韋達定理的應用。方程的根往往不必

直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點。

【變式訓練2】

在△ABC中，A=120°,c>b,a=y/21,SABC=V3>求。,c。

解：=gbesinA=百，8c=4,

a2-b'+c2-2hccosA,b+c-5,而c>b

所以b=l,c=4

【課堂演練】

1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()

A.90°B.120°C.135°D.150°

C21o2__1

解：設中間角為6,貝Ijcos6=^—-_二=2,6=60°,180°-60°=120°為所求

2x5x82

答案：B

2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形

解：長為6的邊所對角最大，設它為a,則cosaJ6+25-36」＞0

2x4x58

0。＜a＜90°

答案：A

3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）

537

A.—B.-走D.

184c28

解：設頂角為C,因為/=5c,，a=6=2c,

,.e.rtn/ac『+/-C?4c?+4f2-C27

由余弦定理得：COSC=----------=------------

2ab2x2cx2c8

答案：D

4.在A48c中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若（/+c?-r）tan8=J5ac,則

角B的值為（）

717r2zr

A.—D.一或——

633

,2272、n后Z(?2+C2-b2)V3COSBnV3cosfi

解：由(c/+c2-/r)tan8H=J3ac得^-----------=-n-n-------BPcosB=--------

2ac2sinB2sinB

.?.sinB=史，又B為AABC的內角，所以B為生或也

233

答案：D

13

5.在aABC中，若a=7力=8,cosC=—，則最大角的余弦是（）

14

解：c2=a2+b~-2abcosC=9,c=3,B為最大角,cosB--y

答案：C

6.在AABC中，bcosA=acosB,則三角形為（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解：由余弦定理可將原等式化為

b2+c2-a2a2+c2-b2

bu-----------=a-----------

2be2ac

即2b=2a2,a=b

答案：C

［課堂小結］

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

作業：第11頁［習題1.1］A組第3(1),4(1)題。

學校：臨清二中學科：數學編寫人：史繼忠一審：李其智二審：馬英濟

§1.1.2余弦定理

【課前學案】

【預習達標】

在△ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c,

1.在△ABC中過A做AD垂直BC于D,則AD=b,DC=b,BD=a.由勾股定理

得5===:同理得

a2=；b2=o

2.cosA=；cosB;；cosC二。

【典例解析】

例1在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=M,求此三角形的其他邊、角的大小及其面積(精

確到0.1)

例2三角形ABC的頂點為A(6,5),B(-2,8)和C(4,1),求NA(精確到0.1)

例3已知XABC的周長為0+1,且sinA+sin8=J^sinC.

(I)求邊45的長；

(II)若△ABC的面積為'sinC,求角C的度數.

6

【雙基達標】

1.已知a,b,c是A46C三邊之長，若滿足等式(a+b—c)(a+b+c)=ab,則角C大小為()

A.60°B.90°C.120°D.150°

2.己知A48C的三邊分別為2,3,4,則此三角形是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.已知A48C,求證：

(1)如果/+/=。2,則NC為直角；

(2)如果/+/乂2,則NC為銳角；

(3)如果/+。2＜。2,則NC為鈍角.

4.已知a:b:c=3:4:5,試判斷三角形的形狀。

5.在aABC中，已知tan6=g,cosC=LAC=3j^,求△ABC的面積.

3

尺

6.在AABC中，N8=45°,4C=W,cosC=2-^?，求

(1)BC=?

(2)若點。是醐中點,求中線CD的長度。

【典例解析】

例1（見教材）

例2（見教材）

例3解(I)由題意及正弦定理，得A8+8C+AC=0+1,

BC+AC=6AB,

兩式相減，得43=1.

(II)由△A8C的面積ACsinC='sinC,WBCAC=-

百小在』m組「AC2+BC2-AB2

由余弦定理，得cosC=---------------

2ACBC

(AC+BC)2-2ACBC-AB2

所以c=6(r.

2ACBC2

【課堂演練】

1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形

3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）

4.在AA6C中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若（一+c?-＞）tan8=V5ac,則

角B的值為（）

7171715萬7Cu，2%

A.—B.—C.一或一D.一或——

636633

13

5.在aABC中，若a=7,b=8,cosC=—,則最大角的余弦是（）

--C.

56

6.在AABC中,bcosA=acosB,則三角形為（

A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

學校：臨清二中學科：數學編寫人：史繼忠一審：李其智二審：馬英濟

【課后訓練題】

1.在aABC中，若°=7/=3,c=8,則其面積等于（）

21_

A.12B.一C.28D.6至）

2

2.已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、X,則x的取值范圍是.

3.在△ABC中，若（a+c、）（a-c）=b（b+c）,貝UNA=

4.若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段能組成（）三角形。

A.銳角B.鈍角C直角D.等腰

5AABC中，若a,+b4+c4=2（a2+b2）c2則/C的度數（）

A、60°B、45°或135°C、120°D、30°

6.設a,a+La+2是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是（）

A.0<<7<3B.1<?<3C.3<a<4D.4<a<6

（I-+〃2_L

7.4ABC中，a,b,c分別是NA、NB、NC的對邊，若@~~乙甘一<0,則AABC

2ab

（）

8.在4ABC中，a=l,B=45°,S?BC=2,則4ABC的外接圓的直徑是.

9.在△ABC中,sin2A-sin2B+sinBsinC+,則角A=.

三.解答題

10.在四邊形ABCD中，BC=a,DC=2a,四個角A、B、C、D的度數的比為3:7:4:10,

求AB的長。

11.在△ABC中，bcosA=acosB,試判斷三角形的形狀.

A2J5—-——

12.在A48c中，角4,8,C所對的邊分別為a/,c,且滿足cos—=二絲，ABAC=3.

25

（I）求A46c的面積:(II)若Z?+c=6,求a的值.

學校：臨清二中學科：數學編寫人：史繼忠一審：李其智二審：馬英濟

課題：§1.1.2余弦定理應用

授課類型：習題課

【教學目標】

1.掌握余弦定理的推導過程，熟悉余弦定理的變形用法。

2.較熟練應用余弦定理及其變式，會解三角形，判斷三角形的形狀。

【教學重、難點】

重點：熟練應用余弦定理。

難點：解三角形，判斷三角形的形狀。

【教學過程】

【知識梳理】

1.余弦定理：

⑴形式一：a2=b2+c2-2bc-cosA,b2=a2+c2-2ac-cosB,c2=a2+b2-2abcosC

形式二：COSAJ+c-a,cpsB=a+c-b,CQsC=a+b-c；（角到邊的轉換）

2be2ac2ab

2.解決以下兩類問題：

1）、己知三邊，求三個角；（唯一解）

2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）

a?=〃+/Qi是直角融混直角三角形

3.三角形ABC中a2>b2+c2=4是鈍角椒混鈍角三角形

222

a<b+c^1是銳角，AABC是銳角三角形

4.解決以下兩類問題：

1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）

2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）

【典例應用】

題型一根據三角形的三邊關系求角

例1.已知△ABC中，siM:sin5:sinC="5+1）：（/一1）：回，求最大

角.

-sinAsinBsinC

sinA:sin5:sinC=a：b:c=（，5+1）:電-1）：y[\0

設“=(布+l)k,b=(yl3—l)k,c=Vwk(k>0)

〃2+/72—《2

則最大角為CcosC=———

2ab

(市+1尸+(/一])2一標2_」

2X(73+1)(73-1)一

，C=120°.

評析：在將已知條件中角的關系轉化為邊的關系時，運用了正弦定理的變形式：“=2RsiM,

b=2RsinB,c=2RsinC,這一轉化技巧，應熟練掌握.在三角形中，大邊對大角，所以角C

最大。

[變式訓練1]

在△ABC中，若(a+力+c)S+c—〃)=30c,貝ijA=()

A.90°B.600C.135°D.150°

解：(a+0+c)(6+c-a)=36,0?4-c)2-a2=3b,c

,222i

b2+c2-a2=3bc,cosA=———---=—,A=600

Ibc2

答案：B

題型二：題型二已知三角形的兩邊