本文格式為Word版，下載可任意編輯——定積分及不定積分第三章定積分及其應用

§3-1定積分的概念

一、變速直線運動的路程

例1設某物體作變速直線運動，其速度v?v(t)是時間段[a,b]上的連續函數，求物體在該時間段內所經過的路程S.

解由于物體的運動速度不是常量，故不能直接按勻速直線運動的路公式s?vt來計算路程。但我們可以先設法求出路程的近似值，再通過極限迫近確切值。

我們先將時間[a,b]等分為n小段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3],?,

[tn?1,tn],其中t0?a,tn?b，每個小時間段的跨度?t?b?a，我們n在時間段的左端點t0,t1,t2,?,tn?1讀取速度v,由于分段較密，可以認為每個時間段內速度近似不變，這樣第i段內的路程可以近似表示為

?Si?v(ti?1)??t（i?1,2,?,n)。圖3-1（需修改）

將n個小段時間上的路程相加，就得總路程S的近似值，即S???S??v(tii?1i?1nni?1)??t

當n??時，上述路程迫近物體運動總路程S的確切值，即S?limn?0?v(ti?1ni?1)??t

注1由于速度函數v?v(t)是連續的，可以證明，當我們將時間段任意分割成若干小段且在每一小時間段內任選一個時間節點來讀取速度，上述和式的極限是相等的。

注2上述變速直線運動路程計算也可理解為由曲線v?v(t)?0,v?0,t?a,t?b所圍成曲邊梯形的面積。

二、定積分的概念

定義1設f(x)?0是定義在區間[a,b]上的有界函數，將區間[a,b]任意分割成n個小區間

[x0,x1],[x1,x2][x2,x3],?,[xn?1,xn],其中x0?a,xn?b。記?xi?xi?xi?1，在小區間[xi?1,xi]上任取一點?i(i?1,2,?,n)，令??max??xi?，假使lim??0?f(?)?x存在，則稱其極限值為f(x)ii?1n52

從a到b的定積分，記作

?f(?)?x?f(x)dx?lim?a?0ii?1bn其中“

?〞稱為積分符號，a稱為積分下限，b稱為積分上限，[a,b]稱為積分區間，f(x)稱

為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，dx稱為積分微元。

根據定積分的定義，例1變速直線運動的路程S可表示為

S??v(t)dt?lim?v(?i)?t，

an??i?1bn關于定積分的定義，需說明以下幾點：

（1）定積分與被積函數f(x)及積分區間[a,b]有關，而與積分變量的記號無關，即

?（2）規定

baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du

aabb?aaf(x)dx?0，

?abf(x)dx???f(x)dx

ab（3）若f(x)在[a,b]上連續或只有有限個第一類休止點，則f(x)在[a,b]上可積.三、定積分的幾何意義

從前面的探討中已經知道，若在[a,b]上f(x)?0，則定積分

?baf(x)dx表示由曲線y?f(x)、

直線x?a、x?b以及x軸所圍成的圖形的面積（圖3-1a）.若在[a,b]上f(x)?0，由定積分

b的定義，有

?f(x)dx??A

a（a）

圖3-1

（b）

若在[a,b]上，f(x)有正有負，則由曲線

y?f(x)、直線x?a、x?b以及x軸所圍成的平面

圖形，既有在x軸上方，又有在x軸下方，這時，定積分

?baf(x)dx表示[a,b]上各個曲邊梯形面積的代數和.

（圖3-2）。

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?baf(x)dx?A1?A2?A3圖3-2

例2試用定積分表示由直線y?x?1，x?0，x?3以及x軸所圍成的平面圖形的面積A.

解由圖3-3可知

A???(x?1)dx??(x?1)dx

0113圖3-3四、定積分的性質

設函數f(x)、g(x)在[a,b]上可積，則有以下性質.

bb性質1

?abkf(x)dx?k?fx(dx)（k為常數）

a性質2

?a[f(x)?g(x)]d?x?baf(x)?d?xbag(x)dx此性質可推廣到有限多個函數代數和的情形性質3對任意三個實數a,b,c，總有

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

當點c位于區間[a,b]之外時，可以證明此性質依舊成立.圖3-4

性質4假使在[a,b]上f(x)?1，則

?1dx?b?a

ab性質5假使在區間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則

ee2?baf(x)dx??g(x)dx

ab例3比較lnxdx與lnxdx

11??9e29e2解由于在區間[1,e]上，0?lnx?1，lnx?lnx，所以lnxdx?ln9xdx

?1?1性質6（估值定理）設M與m分別是函數f(x)在[a,b]上的最大值與最小值，則

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m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

a2b例4估計定積分edx值的所在范圍.

12?x解由于在區間[1,2]上，e?e?e，所以e?x2x2edx?e?1性質7（積分中值定理）假使函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在[a,b]上至少存在一點?，使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

積分中值定理的幾何解釋是：設f(x)?0，則在區間[a,b]上至少存在一點?，使得以[a,b]為底，f(?)為高的矩形面積正好等于區間[a,b]上以f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積（圖3-5）.

f(?)?b1f(x)dx稱為f(x)在區間[a,b]上的平均值.?ab?a圖3-5（需修改）

習題3-1

1．用定積分表示由曲線y?x,y?0,x?2所圍成的平面圖形的面積A.2．利用定積分的幾何意義說明以下等式成立

42（1）xdx?8（2）

0??101?x2dx??4

3．利用定積分的性質比較以下各組定積分值的大小

（1）

?10xdx與?x2dx（2）?lnxdx與?ln3xdx

0331664．估計以下定積分的值

（1）

?120(1?x)dx（2）?1?x4dx

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§3-2不定積分

一、不定積分的概念

例1曲線上任意一點處的切線斜率為k?2x，且經過點P(1,3)，求此曲線方程。解設所求曲線方程為y?F(x)，由題意知k?F'(x)?2x由于(x2?C)'?2x(C為任意常數)，故可得曲線方程為y?x2?c將條件P(1,3)代入，得y?x?2

定義1設函數f(x)是已知函數，假使存在函數F(x)，滿足F?(x)?f(x)，則稱函數F(x)是函數f(x)的一個原函數，稱F(x)?C為f(x)的不定積分，記作

2?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

其中，“

?〞稱為積分符號，f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，C

稱為積分常數。

求函數f(x)的一個原函數，就是對求導作一個逆運算，求函數f(x)的不定積分，就是求函數

f(x)的全體原函數。

定理1若函數f(x)有二個原函數F(x)、G(x)，則

F(x)?G(x)?C

例2求以下函數的不定積分

2（1）f(x)?cosx；（2）f(x)?3x

解（1）由于(sinx)??cosx，s