數(shù)學模型概述第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

現(xiàn)實世界的數(shù)學模型常見的模型第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五1.2

數(shù)學建模的重要意義電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數(shù)學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五1.3

數(shù)學建模的例子第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五1.3.1

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點

~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.2如何預報人口的增長第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五指數(shù)增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預測不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學建模的方法和步驟第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具數(shù)學建模的一般步驟第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數(shù)學建模的一般步驟第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五1.5

數(shù)學模型的分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學模型的特點第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學模型的分類應用領域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)……數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計