專題二:圓錐曲線焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)△知識專題【焦半徑橢取弦與焦點(diǎn)軸的銳角為0【焦半徑橢取弦與焦點(diǎn)軸的銳角為0結(jié)論:長半焦:p1=1-eepos0;短半焦p2=1+epos0'焦點(diǎn)弦:iabi=」*20左焦半徑:？=a+ex;右焦半徑？=a一ex;左焦弦:IABI=2a+e(x+x);右焦^IABI=2a-e(x+x)【焦半徑雙曲線】取弦與焦點(diǎn)軸的銳角為0單支焦點(diǎn)半徑結(jié)論:長半焦;P1=[一二0;短半焦P2=]+二0'焦點(diǎn)弦IABI=[一二財0左焦半徑:p1=-(a+ex);左焦弦:IABI=-2a-e(X1+x2);右焦半徑:p1=ex-a;右焦弦:IABI=e(x+x2)-2a;雙支焦點(diǎn)半徑結(jié)論:長半焦:p廣e/一];短半焦P2=“：%+];焦點(diǎn)弦：Iabi=e2瞻0一]異支左焦半徑"=a+ex;異支左焦弦:IABI=2a+e(七+x2);異支右焦半徑P1=a-ex;異支右焦弦:IABI=2a-e(x^+x);【焦半徑物線】取弦與焦點(diǎn)軸的銳角為0結(jié)論:長半?yún)s廣山,?短半焦頊房0'?焦點(diǎn)弦:IABI=矗焦點(diǎn)在:軸上：IABI=x+x+p;焦點(diǎn)在y軸上：IABI=y+y+pTOC\o"1-5"\h\z1212【焦點(diǎn)弦有關(guān)推橢圓】取弦與焦點(diǎn)軸的銳角為01、過橢圓、雙曲線的一焦點(diǎn)F交橢圓或雙曲線(單支)于A,B兩點(diǎn)，則112a2I——1——IAFIIBFIb2ep

2、過雙曲線的焦點(diǎn)F的直線分別與兩支交于A,B與焦點(diǎn)軸夾角為0(v§112cos02a?cos0TOC\o"1-5"\h\z+==\AF\\BF\pb23、過拋物線的焦點(diǎn)F直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，與焦點(diǎn)軸夾角為0(v；)112+=\AF\\BF\p4、已知點(diǎn)F是離心率為展勺橢圓或雙曲線。的焦點(diǎn)，過點(diǎn)『的弦眼與C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為0，且朋=九理(孔＞1)。月_已T(1)當(dāng)焦點(diǎn)『內(nèi)分弦庭時，有狠而(2)當(dāng)焦點(diǎn)『外分弦庭時(此時曲線為雙曲線)，有*T【橢圓焦三角形面積】q為動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,,m,n為弦長,a為弦夾角［橢圓】(1)S=(a2-c2)tan竺=b2tan竺22(2)S=b(mn-b2(3)S=^(a+c)(a-c)(a+q)(a-q)【雙曲線焦△面積】q為動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,,m,n為弦長,a為弦夾角b2(1)S=上a

tan_2(2)S=b(mn-b2(3)S=<(a+c)(a-c)(a+q)(a-q)【拋物線焦點(diǎn)弦與原點(diǎn)△面積】取弦與焦點(diǎn)軸的銳角為0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"焦點(diǎn)在x軸上:S二七;S=心十業(yè)sin02sin04焦點(diǎn)在x軸上:S=」烏;S=*七+p)sin02sin04b2(1)S=上a

tan_2(2)S=b(mn-b2【焦點(diǎn)△頂角】橢圓.當(dāng)c>b時,-—\c2-b2<x<—\c2-b2時頂角為鈍角cc雙曲線.當(dāng)-—睫2+b2<x<-—或a<x—xc2+b2時頂角為鈍角cc一、焦半徑瞞點(diǎn)弦取弦與焦點(diǎn)軸小于2的夾角9x+圣=1焦點(diǎn)弦，準(zhǔn)線圖【焦半徑橢圓】【焦半徑橢圓】分析：如上左圖,根據(jù)橢圓第二定義:成#I=e；=e;準(zhǔn)線與對應(yīng)焦點(diǎn)距離p=—-c=—IAMIIBNIcc設(shè)焦點(diǎn)弦與x軸成9角；^^lA^=e^IFAI=elAMI=e(p+IFAIcos9)^IFAI=一^^-―IAMIiii1-ecos9IFBI——1IBNI=enIFIFBI——1IBNI=enIFBI=eIBNI=e(p-IFBIcos9)nIFBI=eP11+ecos9小結(jié)：長半焦:p=1_■ep9;短半焦p=1eP9；焦點(diǎn)弦:iabI=1一迎~9分析：如上右圖，根據(jù)橢圓第二定義:IFAI——1IAMIa2b2=e;準(zhǔn)線與對應(yīng)焦點(diǎn)距離p=-c=-cc設(shè)焦點(diǎn)弦與x軸成9角；IF1^=enIFAI=elAMl=e(p-IFAIcos9)nIFAI=一堊一IAMI1111+ecos根據(jù)橢圓第二定義:IFAI——1IAMIeP

1—ecos9+=enIFBI=eIBNI=e(p+IFBIcos9)nIFBI=IBNI111焦點(diǎn)在x軸上結(jié)論:長半焦:p1=]二。;短半焦p2=1+^9;焦點(diǎn)弦:IABI=][二9y2x2、—+——=1y2x2—+——=1分析：如上左圖,根據(jù)橢圓第二定義:舞\=e;準(zhǔn)線與對應(yīng)焦點(diǎn)距離p=、y2x2、—+——=1y2x2—+——=1設(shè)焦點(diǎn)弦與x軸成6角;\F1A\=e^\FA\=e\AM\=e(p-\FA\cos6)^\FA\=一^^―\AM\1111+ecos6\FB\八ep+=e^\FB\=e\BN\=e(p+\FB\cos6)^\FB\=—e^—\BN\1111-ecos6分析：如上右圖,根據(jù)橢圓第二定義:！：1￡!=e;準(zhǔn)線與對應(yīng)焦點(diǎn)距離p=^-c=里\AM\cc\FA\ep+=e^\FA\=e\AM\=e(p+\FA\cos6)^\FA\=—^^―\AM\1111-ecos6\FB\ep+=e^\FB\=e\BN\=e(p-\FB\sin6)^\FB\=—^^―\BN\1111+esin6結(jié)論:長半焦:P1=卜二涵；短半焦％=]*二涵，?焦點(diǎn)弦:\AB\=卜芝屈26IFA\—eIAM1=e(+x)=a+ex|F2A|=e|A^|=e^(~-xa)=a-exaacaa1F1B|-eIBNI-e(~c+xb)-a+exbIFBI-eIBNI-e(a--x「-a-ex^左焦半徑P]=a+ex;右焦半律2=a-ex;左焦弦IABI=2a+e(x1+x);右焦弦1ABI=2a-e(x1+x2)【焦半徑——雙曲線】內(nèi)部焦點(diǎn)半徑取弦與x（羚軸）小于:的夾角9結(jié)論:長半焦:P1—1_二9；短半焦P2=1+二s9；焦點(diǎn)弦IABI［；二29外部焦點(diǎn)半徑取弦與焦點(diǎn)軸小于|的夾角9分析：如上左圖，根據(jù)第二定義:堂=e；準(zhǔn)線與對應(yīng)焦點(diǎn)距離p=c-竺上\AM\cc設(shè)焦點(diǎn)弦與x軸成9角;^^A=e^\FA\=e\AM\=e(\AM1\-p)\AM\1=e(\FA\cos9-p)^\FA\=—ep—iiecos9-1\FB\八eni=e^\FB\=e\BN\=e(p-\FB\cos9)^\FB\=—哭—\BN\111ecos9+1^\AB\=\AF\^\AB\=\AF\-\BF\==ecos9-1ecos9+1e2cos29-1ep

ecos9一1分析：如上右圖，^^^AL=e^\FA\=e\AM\=e(\AM'\-p)=e(\FA\cos9-p)n\FA\=\AM\222\FB=e^\FB\=e\BN\=e(p-\FB\cos9)^\FB\=一ep-—\BN\2221+ecos9^\AB\=\AF\-\BF\=哭-_竺=2ep11ecos9-1ecos9+1e2cos29-1焦點(diǎn)在x軸上結(jié)論:長半焦:p1=“囂1；短半焦P2=忐方；焦點(diǎn)弦\AB\=e21同理可以推出：（也可從旋轉(zhuǎn)的角度得出以下結(jié)論）焦點(diǎn)在j軸上結(jié)論:長半焦:p1=“：：9-1；短半焦P2=“囂+1，?焦點(diǎn)弦:\AB\=e一］

\FA\=eIAM1=e(x+)=a+exIFA\=eIAMI=e(-x+實)=a-ex2a異左焦半徑:p=a+ex;異右焦半徑p=a—ex異左IABI=aep

ecos9一1焦點(diǎn)在j軸上結(jié)論:長半焦:p1=“：：9-1；短半焦P2=“囂+1，?焦點(diǎn)弦:\AB\=e一］\FA\=eIAM1=e(x+)=a+exIFA\=eIAMI=e(-x+實)=a-ex2a從上圖容易得出以下結(jié)論結(jié)論:長半焦:pi=二,?短半焦p2=修9,?焦點(diǎn)弦:IABI=舄從上圖分析焦點(diǎn)在!：軸上IABI定^>=IAMI+IBNI=(IAM'I+IM'MI)+(IBN'I+IN'NI)^IABI=x+x+p焦點(diǎn)、在y軸上IABI—定^>=IAMI+IBNI=(IAM'I+IM'MI)+(IBN'I+IN'NI)^IABI=y+y+p【焦半徑與焦點(diǎn)弦有關(guān)推論】【推論1】一一常用來求定值過橢圓、雙曲線的一焦點(diǎn)F交橢圓或雙曲線（單支）于A,B兩點(diǎn)，則112a2+=一=一IAFIIBFIb2ep

過雙曲線的一焦點(diǎn)F的直線分別與兩支交于A,B與焦點(diǎn)軸夾角為°（＜§112cos°2a?cos°TOC\o"1-5"\h\z+==\AF\\BF\pb2過拋物線的一焦點(diǎn)F直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，與焦點(diǎn)軸夾角為°（＜；）112+=\AF\\BF\p【推論2】取弦與焦點(diǎn)軸小于％夾角°常用來求定角或斜率2已知點(diǎn)F是離心率為?的橢圓或雙曲線C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的弦眼與?的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為°，且朋=佃（兌＞1）。月—刀T（3）當(dāng)焦點(diǎn)『內(nèi)分弦"時，有二用人+1（4）當(dāng)焦點(diǎn)『外分虹時（此時曲線為雙曲線），有T【（1）分析證明AFBF八AM-NBAM-NBee(X-1)BF八(X-1)cos0===__-=necos0=ABAF+BF(1+X)BFe(1+X)BF(1+X)【（2）分析證明［焦半徑與焦點(diǎn)弦有關(guān)例題】例1（2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線/葺弘3＞的焦點(diǎn)F作傾斜角為時的直線，交拋物線于"兩點(diǎn)，若線段展的長為8，則■【解】由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式為國牛翌得，，解得P=2。-尸_例2（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓了*必7SS。）的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過F且傾斜角為村的直線E與橢圓相交于不同兩點(diǎn)孔n已知橋二誦。m_15（1）求橢圓的離心率；（2）若I展=3，求橢圓方程。【解】（1）這里ES=2，由定理1的公式得5急，解215代入焦點(diǎn)弦的弦長公式得,21515代入焦點(diǎn)弦的弦長公式得,215(2)將咋杖*'服—_C_2」苣一3/設(shè)G=2*^=3*，代入①得擊二1,所以C=2,a=3,所以注”-『二5，故所求橢圓方程為石M。例3（2007年重慶卷第16題）過雙曲線亍-=4的右焦點(diǎn)，作傾斜角為防的直線，交雙曲線于3兩點(diǎn)，則冏I磴的值為【解】易知花均在右支上，因為度"。〃扼，離心慕*，點(diǎn)準(zhǔn)距p二；7氣因傾斜角為國，所以E75。。由焦半徑公式得，朋榷|二日f4481^3l-<sc-?s&1+egs。1一￡*8『日1-2cqs275d1一（1+匚皿15。°）3。例4（由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線J-尸=4的右焦點(diǎn)『作傾斜角為反的直線，交雙曲線于花兩點(diǎn)，則朋I實|的值為_護(hù)_矽【解】因為，離心率臼=羅，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為1如。，所以$=項。。。注意到產(chǎn)點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得朋-四二二廣；購8工5寸，ecosc^-1scosc^+l您cos&-l2cosJU-1例5（2010年高考全國卷I理科第16題）已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，召是短軸的一個端點(diǎn)，線段甄的延長線交C于點(diǎn)D，且RF=2FD，則U的離心率為【解】設(shè)直線時與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為日，則8點(diǎn)切=丁"又2_1「名膈2，代入公式得臼二，所以八項。捉_1廣n,A*例6（自編題）已知雙曲線、33=g"＞，的離心率為了，過左焦點(diǎn)？且斜率為必0的直線交泌勺兩支于"兩點(diǎn)。若㈣二蹌L貝虹_忐【解】這里，兄藥，因直線』月與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公a工+15.3+1曰由式卯抑二R，代入公式得亍8衣=燈，所以*日=項所以mw，xy例（2009年高考全國卷□理科題已知雙曲線”成一譏TS媽＞。）的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為占的直線交C于43兩點(diǎn)。若而二4應(yīng)，則C的離心率為（）A-B-C-D55554—1【解】這里『血E方，所以8=2,又膈4，代入公式得成二而,所以」呂，故選但例8（2007年高考全國卷I）如圖6,已知橢圓T"T=1的左、右焦點(diǎn)分別為晃房，過花的直線交橢圓于月刀兩點(diǎn)，過旦的直線交橢圓于MC兩點(diǎn)，且日日。求四邊形面積的最小值。

【解】由方程可知，卜，則'=*=審P===2。設(shè)直線如與捎由的夾角為3，因為，所以直線必與捎由的夾角為河-騫代入弦長公式得，96所以四邊形面積的最小值為方。二、圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形面積【橢圓焦三角形】【分析】Mc1,c、S=2(m+n+2c)?rmeIn=2a1>S=2(2i+2c)?r=(a+c)rra=tan;ME2MF+MF=2a;/.ME+EF+MF+FF=2aEF=FP;FF2=FP;FP+FP=2c;ME122a-2c

—2—2=q2=q2【雙曲線焦點(diǎn)三角形】(1)S=(a+c)ME?tanME=ae_>S=(a2-c2)tan竺=b2tana222設(shè)△毗&的半周氏為宙海倫公式得s二異（p-理Xp-"Kp-小①e川二蠢.p=a+cn又有I-hM"代如①式易得S-十tr）S—己（p—p一江）=扇甘一p（tn十n）十jnn-（d4-c）Za+mu-hJ響(2)S=b<mn-b2設(shè)|OM|=q(3)S=(0釘7(0”7(0+^7(0^7自己證明提示:S=2cly1=c\y\;x2+y2mmm

m2+n2-4c2(m-n)2-4c2-2mn4a2-4c2+2mn.2b2TOC\o"1-5"\h\zCOSa====1—2mn2mn2mnmn2b21.b2sinab2nmn=n(1)S=—mn?sina==1-cosa21-cosatan-2S*mn-b2(同橢圓證明)【拋物線原焦弦三角形】OF=p；IAB1=2P;2sin29S=yi(a+b)(a-b)(a+q)(a-q)(同橢圓證明)S=1OF【拋物線原焦弦三角形】OF=p；IAB1=2P;2sin291?，IAB1=x+x+p;「.S=^IOFI?IABIsin9S=P(X1+X2+P)sin94同樣焦點(diǎn)在y軸上時S=二;S=p(，12+P)sin92sin9"4I例N(為05年全國高考雄第E卷第9跑的推廣)P是雙曲線I：的一品E.F扯左右照點(diǎn)n若/F,PF=(i(r.求點(diǎn)P到k軸的鮑陶

例3（2005年北京海淀區(qū)高考模M題）P是雙1111畿子一東=I上一點(diǎn)占F/兩個住點(diǎn)，昔|PE[PF|=32,求zTPF的大小一山性晰:例3（2005年北京