本文格式為Word版，下載可任意編輯——不動點定理及其應用不動點定理及其應用

摘要不動點定理是研究方程解的存在性與唯一性理論的重要工具之一.本文給

出了線性泛函分析中不動點定理的幾個應用,并通過實例進行了說明.同時,介紹了非線性泛函分析中的不動點定理——Brouwer不動點定理和Leray-Schauder不動點定理.

關鍵詞不動點;不動點定理;Banach空間

FixedPointTheoremsandItsApplications

AbstractThefixedpointtheoremisoneofimportanttoolsin

studyingtheexistenceanduniquenessofsolutiontofunctionalequation.Inthispaper,thefixedtheoreminlinearfunctionalanalysisanditsapplicationsareintroducedandthecorrespondingexamplesaregiven.Meanwhile,theBrouwerandLeray-Schauderfixedpointtheoremsarealsoinvolved.

KeyWordsFixedpoint,Fixedpointtheorem,BanachSpace

不動點定理及其應用

0引言

在線性泛函中,不動點定理是研究方程解的存在性與解的唯一性理論

[1-3]

.而在非線性泛函中是

研究方程解的存在性與解的個數問題[4],它是大量存在唯一性定理（例如微分方程,積分方程,代數方程等）的證明中的一個有力工具.下面給出不動點的定義.

定義0.1設映射T:X?X,若x?X滿足Tx?x,則稱x是T的不動點.即在函數取值的過程中,有一點x?X使得Tx?x.

對此定義,有以下理解.

1）代數意義：若方程Tx?x有實數根x0,則Tx?x有不動點x0.

2）幾何意義：若函數y?f?x?與y?x有交點?x0,y0?則x0就是y?f?x?的不動點.

在微分方程、積分方程、代數方程等各類方程中,探討解的存在性,唯一性以及近似解的收斂性始終是一個極其重要的內容.對于大量方程的求解問題，往往轉化為求映射的不動點問題,同時簡化了運算.

本文將對不動點定理及其變換形式在線性分析和非線性分析中的應用加以摸索歸納.

1Banach不動點定理及其應用1.1相關概念

首先介紹本文用的一些概念.

定義1.1.1設X為距離空間,?xn?是X中的點列,若對任給的??0,存在

[3]

N?0,使得當m,n?N時,??xm,xn???.則稱點列?xn?為基本點列或Cauchy點列.

1

假使X中的任一基本點列均收斂于X中的某一點,則稱X為完備的距離空間.

定義1.1.2定義在線性空間上的映射統稱為算子.

[3]

定義1.1.3給定距離空間?X,??及映射T:X?X,若x?X滿足Tx?x，則

[3]

稱x是T的不動點.

1.2Banach不動點定理

定理1.2.1設X是完備的距離空間，距離為?.T是由X到其自身的映

[3]

射，且對任意的x,y?X,不等式??Tx,Ty?????x,y?成立,其中?是滿足不等式

0???1的常數.那么T在X中存在唯一的不動點.即存在唯一的x?X,使得Tx?x.

證明在X中任意取定一點x0,令

x1?Tx0，x2?Tx1，?，xn?1?Txn，?首先證明?xn?是X中的一個基本點列.由于

??x1,x2????Tx0,Tx1?????x0,x1?????x0,Tx0?；??x2,x3????Tx1,Tx2?????x1,x2???2??x0,Tx0?；?????????于是

??xn,xn?1???n??x0,Tx0?，n?1,2,3,?

??xn,xn?p????xn,xn?1????xn?1,xn?2??????xn?p?1,xn?p?

???n??n?1????n?p?1???x0,Tx0?

?n?1??p??n??x0,Tx0????x0,Tx0?.?1??1??又0???1,故?n?0?n???,即?xn?是基本點列.由于X完備,所以由定義1.1.1

2

知?xn?收斂于X中某一點x.另外,由??Tx,Ty?????x,y?知,T是連續映射.在

xn?1?Txn中,令n??,得Tx?x,因此x是T的一個不動點.

下面證明唯一性.設另有y使y?Ty,則

??x,y????Tx,Ty?????x,y?,

考慮到0???1,則有??x,y??0,即x?y.

定理1.2.2設T是由完備距離空間X到其自身的映射,假使存在常數

[3]

?:o???1以及自然數n0使得

00?(Tnx,Tny)???(x,y)(x,y?X)?1?

那么T在X中存在唯一的不動點.

證明由不等式?1?,Tn滿足定理1.2.1的條件,故Tn存在唯一的不動點x0.

00現在證明x0也是映射T唯一的不動點.事實上

Tn(Tx0)?Tn?1(x0)?T(Tnx0)?Tx0

000可知,Tx0是映射Tn的不動點.由Tn不動點的唯一性,可得Tx0?x0,故x0是映射

00T的不動點.若T另有不動點x1,則由

Tnx1?Tn?1Tx1?Tn?1x1???Tx1?x1

000知x1也是Tn的不動點.仍由唯一性,可得x1?x0.

01.3Banach不動點定理的應用

1.3.1在探討積分方程解的存在性與唯一性中的應用

例給定積分方程

x?t??f?t????K?t,s?x?s?ds?2?

ab其中f?t?是?a,b?上的已知連續函數,K?t,s?是定義在矩形區域a?t?b,a?s?b上的已知連續函數,證明當?足夠小時（?是常數）,?2?式在?a,b?上存在唯一連

3

續解.

證明在C?a,b?內規定距離

??y1,y2??maxy1?x??y2?x?

a?t?b令?Tx??t??f?t????K?t,s?x?s?ds

ab則當?充分小時,T是C?a,b??C?a,b?的壓縮映射.因

??Tx1,Tx2??max?Tx1??t???Tx2??t?

a?t?b??max?K?t,s??x1?s??x2?s??dsa?t?bab??max?K?t,s?x1?s??x2?s?ds

a?t?bab??M??x1,x2?,其中M?max?K?t,s?ds,從而當?M?1時,T是壓縮映射,則由定理1.2.1知方

a?t?bab程對于任一f?t??C?a,b?解存在并且唯一.

例考慮微分方程初值問題

?dy?dx?f?x,y?,??3??yx?x?y0,0?其中f?C?R2?,且f?x,y?關于y滿足Lipschitz條件,即存在L?0使

f?x,y??f?x,y'??Ly?y'，x,y,y'?R?4?

則初值問題?3?在R上存在唯一解.

證明微分方程(3)等價于積分方程y?x??y0??f?t,y?t??dt，

x0x4

取??0,使L??1.在C?x0,x0???上定義映射

?T???x??y0??f?t,y?t??dt,

x0x則由(4)式得

T??T?=maxx0?x?x0??x0???f?t,??t???f?t,??t????dt

xx?maxx0?x?x0??x0?L??t????t?dt

?L????,?,??C?x0,x0???，

已知L??1,故由定理1.2.1知存在唯一的連續函數?0?C?x0,x0???,使?0?T?0,即

?0?x??y0??f?t,?0?t??dt，

x0x且?0?x?在?x0,x0???上連續可微，且y??0?x?就是微分方程?2?在?x0,x0???上的唯一解.

1.3.2在數列求極限中的應用

由定理1.2.1的證明可知,若f是?a,b?上的壓縮映射,則對?x1??a,b?,由遞

xn為f的唯一不動點.推公式xn?1?f?xn?確定的數列?xn?收斂,且x0?limn??例證明：若f?x?在區間I??a?r,a?r?上可微,f??x??a?1且

[5]

f?a??a??1?a?r，任取x0?I.令x1?f?x0?,x2?f?x1?,??,xn?1?f?xn?,則

limxn?x*,x*為方程x?f?x?的根（即x*為f?x?的不動點）.

n??證明已知x0?I,設xn?I則

xn?1?a?f?xn??f?a??f?a??a?f'???xn?a?f?a??a（??(xn,a)）

5

由已知得xn?1?a?ar??1?a?r?r

即xn?1?I,從而得知,一切xn?I.由微分中值定理,存在?在xn與xn?1之間,即

??I使得

xn?1?xn?f?xn??f?xn?1??f'???xn?xn?1?axn?xn?1,?0?a?1?.

這說明xn?1?f?xn?是壓縮映射,所以?xn?收斂.又因f?x?連續.在xn?1?f?xn?里取極限知?xn?的極限為x?f?x?的根.

aax2n?1,n?2,3??;求證數列?xn?收斂例設x1?,a??0,1?,xn??222[9]

并求其極限.

ax2a?a?證明易知0?xn?.則我們在區間?0,?上考慮函數f?x???,對

222?2?x21x221a?a???x1?x2x1?x2?x1?x2?x1,x2??0,?有f?x1??f?x2??2222?2?a??a??0,1??.即f?x?是?0,??上的壓縮映射.從而?xn?收斂于方程的解.設

?2?ax20x0??得x0?1?a?1.

221.3.3在數學建模中的應用

不動點定理也是連續函數的一個重要性質,在數學分析中我們就知道這樣一個結論“閉區間上的連續函數必然存在不動點〞.在一些數學建模題目的解答上應用不動點定搭理使得求解更簡單,下面就介紹幾個不動點定理在數學分析中的形式及其在解決數學建模問題中的應用,進而深化對不動點定理的認識以及說明此定理應用的廣泛性.

引理設f?x?在?a,b?上連續，且f?a?,f?b?異號,則f?x?在?a,b?內

[6-7]

至少存在一點c使得f?c??0.

6

定理設f?x?是定義在?a,b?上的連續函數,其滿足a?f?x??b，

[6-7]

則在?a,b?上至少存在一個不動點x0,即f?x0??x0.

例日常生活中常有這樣一個經驗：把椅子往不平的地面上放,尋常只有三個腳著地,放不穩,然而只需稍挪動幾次,就可以是四只腳同時著地,放穩了.我們將這個問題轉化為純數學問題.現在應用不動點定理對其進行解釋說明.

模型假設：對椅子和地面做一些假設：

1）椅子四條腿一樣長,倚腳與地面可視為一點,四腳的連線呈正方形.2）地面高度是連續變化的,沿任何地方都不會出現休止點（沒有像臺階那樣的狀況）.即地面可視為數學上的連續曲面.

3）對于椅腳的間距和倚腿的長度而言,地面是相對平坦的,使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地.

4）椅子轉動時中心不動.

模型分析：在圖1中椅腳連線為正方形ABCD,對角線AC與x軸重合,椅子繞中心點O旋轉角度?后,正方形ABCDB'B轉至

A?B?C?D?的位置,所以對角線AC與x軸A'C夾角?表示了椅子的位置.

其次要把椅腳著地用數學符號表來.假使用某個變量表示椅腳與地面的

?OAx示出豎直

C'DD'距離，那么當這個距離為零時就是椅腳著地了，椅子在不同位置是椅腳與地面的距離不同，所以這個距離是椅子位置變量?的函數.

設f???為A,C兩腳與地面距離之和，g???為B,D兩腳與地面距離之和.由假

7

設2）知,f???和g???都是連續的函數.由假設3）,椅子在任何位置至少有三只腳同時著地，所以對于任意的?，f???和g???中至少有一個為零.即f???g???=0，當??0時不妨設g????0,f????0.從而數學問題就轉化為求證存在?0,使

???f??0??g??0??0,?0????.

2??模型求解：令h????f????g???.因

????????h?0??f?0??g?0??0,h????f???g???0.

?2??2??2???則由定理知,必存在?0???0,?,使h??0??0,即f??0??g??0??0.

?2?1.3.4在解線性方程組中的應用

例設有線性方程組x?Cx?b其中C??cij?是n?n方陣，

[1]

b??b1,b2,?,bn?是未知向量,證明：若矩陣C滿足sup?cij?1,i?1,2,?,n，則

Tij?1n方程x?Cx?b有唯一解.

xi?yi,則X是完備的度量證明設X是Rn（或Cn）,定義度量??x,y??max1?i?n空間.

作映射T:X?X,Tx?Cx?b,x?X.若

x??x1,x2,?,xn??X,y??y1,y2,?,yn??X,

TT??n?????cx?b?cy?b則??Tx,Ty??max???ijji?ijji???1?i?n?j?1???

n?max?cijxj?yj?max?cij??x,y??a??x,y?

1?i?nj?11?i?nj?1nn而a?max?cij?1,所以T是X上的壓縮映射,定理1.2.1知,存在唯一的x*?Rn,

1?i?nj?1使得x*?Cx*?b.

8

2Leray—Schauder不動點定理2.1相關概念

定義2.1.1稱映射f:U?Y在x0?U處連續,是指對任給??0,存在??0,

[3]

當x?U且x?x0??時,恒有f(x)?f(x0)??.若f在U內每一點連續,則稱f在

U上連續.

定義2.1.2設X,Y為線性賦范空間,D?X,稱映射F:D?Y為緊映射,

[4]

假使F將D中的任何有界集S映成Y中的相對緊集F(S),即F(S)是Y的緊集.假使映射F是連續的,則稱F為緊連續映射,或全連續映射.

定義2.1.3設M是U的一個子集,假使對任意的y1,y2?M以及滿足

[3]

0???1的任意實數?,元素?y1?(1??)y2仍屬于M,則稱M是U的凸集.假使M既是閉集且凸集,則稱M是U中的閉凸集.

2.2Leray—Schauder不動點定理及應用

定理2.2.1（Brouwer不動點定理）設?是Rn中的有界閉凸子集，??表示?的相對邊界；設f?C(?,Rn)并且滿足f(??)??.則在?上必有不動點.

例2.2.1設B是實l2空間的閉單位球,令f:B?B為

?f?x????1?x,?1,?2,??,x???k??B.

2??則f在B上連續,但f在B上卻沒有不動點（否則，存在x?B，使f?x??x.由此推得?1?1?x,?2??1,?,再由x?l2得x?0,這又導致f?x???1,0,0,???x，得到矛

2盾）.

在應用中,往往涉及到無窮維空間（如C?a,b?,L2?a,b?）上的算子,由上例可知，Brouwer不動點定理對無窮維空間不再成立,盡管如此,我們注意到有線維

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空間的有界閉集即緊集,若將Brouwer不動點定理中的“有界閉凸集〞改為“緊凸集〞，則可利用Leray—Schauder度理論,就可以說明下