本文格式為Word版，下載可任意編輯——第十二章微分方程第十二章微分方程

11.1微分方程的基本概念11.2可分開變量的微分方程

一、指出以下方程中哪些是微分方程：

1.y???3y??2y?x（是微分方程）

2y?3y?2?x（不是微分方程）2.

3.y??x?y?ycosx（是微分方程）4.y?1?3x?2xy?sinx（不是微分方程）

二、指出以下微分方程的階，同時指出它是線性的，還是非線性的：

2?x(y)?2yy??x?1（一階非線性微分方程）1.

222.xy???xy??y?lnx（二階線性微分方程）

21?y2dy??1?x2（一階非線性微分方程）3.dx4.(7x?3y)dx?(x?y)dy?0（一階非線性微分方程）

三、指出以下各題中的函數是否為所給微分方程的解，假使是解，是通解，還是特

解？

2?xy?2y,y?5x1.（D）

A.是解B.不是解C.是通解D.是特解2.y????y?0,y?3sin?x?4cos?x（B）

A.是解B.不是解C.是通解D.是特解3.y???2y??y?0,y?xe（B）

A.是解B.不是解C.是通解D.是特解4.y??3xy,y?Ce32x22x（C）

A.是解B.不是解C.是通解D.是特解

四、求以下可分開變量的微分方程解：

1.(xy?x)dx?(y?xy)dy?0（y?1?C(x?1)）

22222.y??e5x?2y,y(0)?0（5e2y?2e5x?3）

x(1?y2)y??y(1?x2)（1?y2?C(1?x2)）3.

1?y2y??221?x2（y?y?1?C(x?x?1)）4.

5.(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0（(ex?1)(ey?1)?C）

dy?x2?033dx（x?(y?1)?C）

Ctanx26.

(y?1)27.y?sinx?ylny（y?e）

五、小船從河邊點O處出發駛向對岸（兩岸為平行直線）。設船速為a，船行方向

始終與河岸垂直，又設河寬為h，河中任一點處的水流速度與該點到兩點到兩岸距離的乘積成正比（比例系數為k）。求小船的航行路線。（答案見教材）

11.3齊次微分方程

一、求以下齊次微分方程的解：

22222?xy?y?y?x?0y?y?x?Cx1.（）

2.xy??x?xy?y（y?xtan(lnx?C)）

2223.

(xy??y)cos2yxyy12y?x?0?sin?C?lnx2xx（x2）

4.

y??e?y,y(1)?0x（y??xln(1?lnx)）

y2?2xy?x2y??2,y(1)?1222y?2xy?x5.（x?y?x?y）xx(1?2e)dx?2e(1?)dy?0yy6.（x?2ye?C）

二、設有連接點O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲線弧OA，對于OA上任

2?一點P(x,y)，曲線弧OP與直線段OP所圍圖形的面積為x，求曲

xyxy???線弧OA的方程。（y?x(1?4lnx)）

11.4一階線性微分方程

一、求以下一階線性微分方程的解：

exy?x?xy?y?e,y(1)?ex）1.（

2.y??ycosx?e2?sinx（y?e2?sinx(x?C)）

3.(x?1)y??2xy?4x（

y?143(x?C)x2?13）

4.

y??ysinx????cosx?,y(?)?1y?xxx（）

d???5??4???Ce?5??5.d?（）

?12?3x2x3x2y??y?1,y(1)?0y?(1?e)3x25.（）

1二、設有一質量為m的質點作直線運動。從速度等于零的時刻起，有一個與

運動方向一致、大小與時間成正比（比例系數為k1）的力作用于它，此外還受一與速度成正比（比例系數為k2）的阻力作用。求質點運動的速

?2tk1k1mv?t?2(1?em)k2k2度與時間的函數關系。（）

k

11.5全微分方程

一、求以下全微分方程的通解：

423222(5x?3xy?y)dx?(3xy?3xy?y)dy?0。1.

（

x5?3221xy?xy3?y3?C23）

dyx?y212142??x?xy?y?C3dx2xy?2y222.（）

3.edx?(xe?2y)dy?0（xe?y?C）

yyy2x?y?lnx?y?C）4.(x?y)(dx?dy)?dx?dy（

11.6可降階的高階微分方程

一、求以下高階微分方程的解：

1.y(4)x4y?xe?4e??C1x3?C2x2?C3x?C4x?xe?2。（12）

xx2.y???y??x。（

y?C1ex?12x?x?C22）

23.y???1?(y?)。（y??lncos(x?C1)?C2）32y?(C1x?1)2?C223C14.2xy?y???(y?)?1。（）

5.y???(y?)?1,y(0)?y?(0)?0。（y?lnchx）

214y?(x?1)26.y???3y,y(0)?1,y?(0)?2。（）

22二、設有一質量為m的物體，在空間中由靜止開始下落，假使空氣阻力為R?cv

（其中c為常數，v為物體的運動速度），試求物體下落的距離s與時間t的關系。

（

s?mglnch(ct)c2m）

11.7二階常系數齊次線性微分方程

一、求以下常系數齊次微分方程的解：

x2xy?Ce?Ce???y?3y?2y?0121.。（）

22.y???ay?0。（y?C1cosax?C2sinax）

2x?2x(4)y?Ce?Ce?C3cos2x?C4sin2x）y?16y?0123.。（

4.4y???4y??y?0,y(0)?2,y?(0)?0。（y?(2?x)e?x2）

?2x5.y???4y??29y?0,y(0)?0,y?(0)?15。（y?3esin5x）

二、設圓柱形浮筒的直徑為0.5m，鉛直放在水中，當稍向下壓后突然放開，浮

筒在水中上下振動的周期為2s，求浮筒的質量。（M?195kg）

11.8二階常系數非齊次線性微分方程

一、求以下常系數非齊次微分方程的解：

1.y???3y??2y?(x?1)e。

22x171092xy?C1e?x?C2e?2x?(x2?x?)e1272864（）

2.y???3y??2y?(x?3)e3.

x5?2x1y?C1e?x?C2e?2x?x(x?4)e?2x2。（）

2x525y???10y??y?(3x?x)e。

x13y?(C1?C2x)e?x(2?3x)e5300（）

2x???y?2y?5y?3xe(cos2x?sin2x)。4.

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)（

133333?ex[(x3?x2?x?)cos2x?x(x2?x?)sin2x]4481648）

5.y???4y?3sin3x?0,y(?)?y?(?)?1。

（

y?73sin2x?cos2x?sin3x55）

6.y???6y??5y?4x?1,y(0)?y?(0)?1。

195x429y??ex?e?x?4100525）（

3x7.y???6y??9y?(2x?1)e,y(0)?y?(0)?1。

（

y