應力狀態理論第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四應力的概念是固體力學的最重要的概念之一,應力分量具有張量的性質，符合張量的坐標變換規律。考慮單元體的平衡，得到平衡微分方程，在邊界上得到邊界條件，邊界條件在彈性力學問題的求解中占有重要的地位。2023/4/72第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四2.1張量的概念2.2應力和一點的應力狀態2.3平衡微分方程2.4邊界條件2.5主應力和應力張量不變量2.6轉軸時應力張量的變換2.7圣維南原理2.8例題2023/4/73第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四2.1張量的概念指標符號(1)量與數：任何一個量都是客觀對象的數學表征，通常是由若干個數字給出的，最簡單的量稱為標量，由一個數字確定。矢量有大小、方向，就不能只用一個數值表示，由若干分量組成，引入下標記號法。

第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

可以將坐標x,y,z

軸，記為x1,x2,x3,通常可簡記為xi,各軸的基矢記為e1,e2,e3,可簡記為ei,在此坐標系中的矢量v的分量記為v1,v2,v3,可簡記為vi。矢量的點積:一個矢量和另一個矢量的點積可以決定一個標量，用指標符號可記為:2023/4/75第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

求和所得到的結果，不再含有這一指標，這一指標換為其它的指標也不會影響其結果，這一指標稱為啞標。不求和的指標稱為自由指標。一項中有其它符號的指標，通常有泛指的意義。(2)Einstein求和約定：最后一個等式在符號∑下fisi有兩個同樣的指標i。約定凡在同一項中有一對相同的指標（也就是一個指標出現兩次時），就認為是對這一指標從1到3全程求和，并限定在同一項中不能有同一下標出現3次或3次以上，求和符號略去不寫，記為：2023/4/76第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

記基矢的點積

ei·e

j=δij其中稱為克羅內克爾代爾塔符號(Kroneckerdelta)。該定義表明它有對稱性，與指標排列順序無關，即：δij＝δji2023/4/77第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四記基矢的混合積

(e

i

×e

j）·e

k

=eijk

其中稱為置換符號。利用置換符號，兩個矢量的矢積可記為

a

i

×b

j=eijk

aibjek當i，j，k有兩個或三個相同當i,j,k為偶置換當i,j,k為奇置換2023/4/78第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四將求導符號簡記為：梯度可記為：則散度可記為：2023/4/79第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

標量與坐標軸的選取無關，但矢量分量和應力分量和坐標軸的選取有關，這種與坐標變換有關，滿足規定坐標變換公式的物理量稱為張量。標量稱為零張量，矢量為一階張量，矩陣（方陣）是二階張量。二張量的定義

在力學中常用的物理量（或幾何量）可分為幾類：標量（只有大小沒有方向）；矢量（既有大小又有方向）；張量（具有多重方向性的更為復雜的物理量）2023/4/710第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四應力張量：一點的應力狀態，它具有二重方向性，即應力分量的值既與截面法線的方向有關又與應力分量本身的方向有關，是二階張量，可記為。

=2023/4/711第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四2.2應力和一點的應力狀態

根據物體連續性的假設，可認為物體在微小面上的ΔS力是連續分布的，內力ΔF則是這個分布力的合力，于是分布集度為：即平均力。當ΔS很小時，這個集度的極限就稱為應力，表示為：ΔFΔS2023/4/712第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四在給定的直角坐標系下，應力可沿3個坐標方向分解，分別表示為：,,。則有：這里的，，分別表示坐標單位矢量。應力矢量又可分別沿微分面的法向和切向方向分解，分別表示為正應力和切應力。2023/4/713第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四一點的應力狀態通過物體內一點可以作無數個方位不同的微分面，各微分面上的應力一般各不同，我們把物體內同一點各微分面上的應力情況，稱為一點的應力狀態。在笛卡爾坐標系下，我們分別沿平行于坐標平面的3個微分面方向進行應力分解后，可得到9個應力分量，我們將他們整體稱為應力張量，其中的每一個量稱為應力分量。應力張量表示為：2023/4/714第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四9個應力分量可以完全確定一點的應力狀態。2023/4/715第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

在外力作用下，物體整體平衡的同時，任何一部分也將保持平衡。我們從中取出一個單元體dv=dxdydz加以分析,物體內某點的正應力為σi。

如果僅考慮單元體的平衡，可以不考慮單元體同一方向上相隔一定距離應力的微小變化，前后兩面的應力可認為是大小相等、方向相反。但是，在分析整體的平衡時，應力的這個微小變化，各面的應力差就是造成物體各處應力變化的原因，必須加以考慮。2.3平衡微分方程2023/4/716第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

圖示單元體z軸方向的平衡，在z面的負面z處，正應力記為σz,在x面的負面處，切應力記為τxz；xyzoz正面z+dz處應力為x正面x+dx處切應力為τxz2023/4/717第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四在y面的負面y處，切應力記為τyz,xyzoy正面y+dy處應力為τyz設Fbz

為物體的Z方向的體力分量。總和后整理便得到z方向的靜力平衡方程∑Z=0:2023/4/718第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四同理得到x、y方向的靜力（或運動）平衡微分方程:其中Fbx,Fby,Fbz

為物體的體力分量。利用前后、上下、左右面中心線軸的轉距為0,可以得到：即為剪應力互等定理。根據切應力互等定理，應力分量為對稱張量。從平衡方程中看到只有6個未知數σij。2023/4/719第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四平面狀態的平衡微分方程為：平衡微分方程的張量形式是：2023/4/720第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

平衡微分方程的矩陣形式是：Lσ+F=0其中L是微分算子：2023/4/721第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四按照邊界條件的不同，彈性力學問題可分為位移邊界問題、應力邊界問題和混合邊界問題。位移邊界問題：物體在全部邊界上的位移分量是已知的。應力邊界問題：物體在全部邊界上的應力分量是已知的。混合邊界條件：物體一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分邊界具有已知面力，因而具有應力邊界條件。2.4邊界條件2023/4/722第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四在外力作用下，我們從物體從中取出的單元體位于邊界處，則單元體內部應力形成的內力和邊界上的外力平衡。1)如果邊界面正好和坐標平面平行，則立即可得到應力應滿足的條件。2)如果邊界面和坐標平面斜交，則應根據形成的四面體的平衡條件得到應力應滿足的條件。2023/4/723第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

設邊界上一點處A的外力沿軸向的分量為px,py

（沿正向為正）。

在邊界A這部分可視外力分量為應力分量，直接得到應力邊界條件：σx=pxτyx=py2023/4/724第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

設斜面ACD為邊界面，其外法線n的方向為(l1,l2,l3)，面積為ΔS，邊界外力p分量為(px，py，,pz)，則三角形ABC、ABD

、BCD的面積分別為ΔS在各相應方向上的投影為l1ΔS,l2ΔS,l3ΔS。四面體的體積為dv。nxyzo2023/4/725第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四注意，這里邊界上的外力是坐標軸方向上的分量。由x方向的平衡得到：pxΔS=l1ΔSσx+l2ΔSτyx+l3ΔSτzx即

px=l1σx+l2τyx

+l3τzxxyz02023/4/726第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四由y、z方向的平衡得到:py=l1τxy+l2σy+l3τzy

pz=l1τxz+l2τyz+l3σz其張量形式為Pi

=σijlj2023/4/727第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

如果四面體取自物體內部，則(px，py，,pz)是斜面上的應力σv（P）沿原坐標軸方向上的分量，將其與斜面的方向矢量點積，則得到該面上的法向應力（正應力）2023/4/728第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四切應力可按矢量方法求得：n2023/4/729第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四當坐標轉動時，受力物體內任一確定點的九個應力量將隨著改變。在坐標系不斷轉動過程中，必然能找到一個坐標系，使得該點在該坐標系中只有正應力分量，而剪應力分量為零。把這樣的微分面稱為主微分面，簡稱主平面，其法向方向稱為應力主方向，而其上的應力稱為主應力。主應力和應力不變量2.5主應力和應力不變量2023/4/730第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四前面得到的就是斜面應力公式，它給出了物體內一點的九個應力分量與通過同一點的各微分面上應力之間的關系。這樣要了解各點的應力狀態問題，化為求出各點的九個應力量的問題。由前面的斜面應力公式可知，過任意一點的法向矢量為n的微分斜面上，其斜面應力為：如果法向矢量n為應力主方向，則斜面應力fn應與斜面法向矢量n同向，此時，斜面上只有正應力而無剪應力，于是：可得到主平面上的法向矢量n應滿足的關系式：引入δij進行換標，上式改寫為：2023/4/731第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四上式是ni的線性代數方程組。其非零解存在條件：方程（*）稱為應力狀態的特征方程，它的三個特征根即為主應力。I1、I2、I3分別稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。2023/4/732第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四由于方程（*）的根不變，故方程總的系數一定為不變量。如果坐標軸恰好與三個主方向重合，則應力張量簡化為？主坐標系，主向空間？主應力的幾個重要性質：（1)不變性：從物理意義上講，主應力是物體內部受外部確定因素作用時客觀存在的量。（2）實數性（3）正交性（4）極值性：通過一點的所有微分面上的全應力中，最大和最小的全應力分別是絕對值最大和最小的主應力。2023/4/733第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四彈性理論的適用范圍是由材料的屈服條件來確定的。大量實驗證明，剪應力對材料進入塑性屈服階段起決定性作用，例如第三強度理論，又稱特雷斯加（TrescaH)屈服條件，是以最大剪應力為材料是否進入塑性屈服階段的判據；第四強度理論，又稱米澤斯（VonMisesR)屈服條件，則與八面體剪應力有關。思考題：在點M應力σi已知的主坐標空間中求最大剪應力計算式？2023/4/734第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

2.6轉軸時應力分量的變換

當坐標系改變時，通過一點的各應力分量應如何改變。可以證明，當坐標平移式，應力張量中的各應力分量不會改變，我們只研究當坐標旋轉時，應力張量的變換。設在笛卡爾坐標系oxyz下，某點的9個應力分量為：

2023/4/735第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

現在讓坐標系轉過某一角度，得到新的坐標系設它與老坐標之間的關系為：其中表示3個新坐標軸對于老坐標軸的方向余弦，如果：xyz2023/4/736第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四其中新坐標系下的應力可表示為：2023/4/737第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

其中，過M點并與軸垂直的微分面對老坐標軸是傾斜微分面，它的法線方向即為軸方向，其方向余弦為，固有斜面上的應力可表示為：將此式代入上頁公式整理可得:2023/4/738第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/739第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

應力分量為二階張量，應力分量的坐標變換公式為用指標符號記為2023/4/740第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四

以平面應力狀態為例，設新坐標系由原坐標系逆時針轉動θ而成，新坐標軸的基矢e1'

、e2'

對原基矢e1

、e2

的過渡矩陣為式