一、圖形的1、借助于“邊、角”計(jì)算的分例 （1）已知ABC中，A90,B67.5，請(qǐng)畫(huà)一條直線(xiàn)，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形（2）已知ABCCB的一條直線(xiàn)把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角驛BC與C之間的關(guān)系。C①B①B（2）設(shè)

y，

xBAC于DDBCC①若C是頂角，如圖③，則ADB90CBDCDB1(180x)901 AA180xy 1 此時(shí)只能有AABD，即180xyy(90 x) 23x4y540，即ABC與CDB3DB3ABC135 4②若C是底角，則有兩種情況 第一種情況：如圖④，當(dāng)DBDC時(shí)，則DBCx ABD中ADB2xABDyxABAD，得2xyxy3x，即有關(guān)系

3C ABBD，得180xy2x

3xy180CBC即ABC1803CⅢ、由ADBD，得180xyyx，此時(shí)y90 即

90，C為小于45°的任意銳角 BDBCBDCxADB180x90此時(shí)只能有ADBD 從而AABD1CC，這與題設(shè)C是最小 2當(dāng)CBDBC【說(shuō)明】本題是通過(guò)特定的分割推導(dǎo)角之間的特殊關(guān)系例 如圖（1），在A(yíng)BC和DEF中，AD90，ABDE3,AC2DF4AD在這兩個(gè)三角形中各作一條輔助線(xiàn)，使ABC分割成的兩個(gè)三角形與AD 【觀(guān)察與思考】對(duì)于（1），只需算

解：（1）不相似。RtBAC中A90,AB3,AC4；RtEDF中D90DE3DF2AB1,AC

2。AB

AC，RtBACRtEDF具體操作：作BAMEBCM；作NDEBEFN由作法和已知條件可知

DENA

BFNDENDE

FND

90NDEC90B,FDNC

AMCFNDFEF【說(shuō)明】本題是從構(gòu)造等角出發(fā)構(gòu)造相似三角形，這一方法被普遍采用 32：1的長(zhǎng)方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可打開(kāi)鋪平再折第二次），使得

（甲

（乙 【說(shuō)明】由本題的解法可以看出：要得到面積相等的圖形，一可以構(gòu)造“全等圖形”，二可以由面積出發(fā)例4 4

2222【說(shuō)明】在本題，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了基本圖形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)例 作OE//AC，交CDEAE即為一條“好線(xiàn)”。（如圖AEAFEAMAFEAME BCB 【觀(guān)察與思考】對(duì)于（1），只需證明對(duì)于（2）AE解：（1）證明：OBD

SEAC即可，而這由OE//

SABOSAODSCOBSCOD AHFNES四邊形ABCO2S四邊ABCD AHFNEOE//AC

SEAC1S四邊形1

S四邊形ABCO2S四邊形ABCD,AE（2）AFEH//AFABH。如圖（2`），F(xiàn)HEH//AF,

SFHE1

S四邊形

2S四邊形ABCD【說(shuō)明】在本題，主要借助了“等底等高的三角形面積相等”，這是對(duì)圖形進(jìn)行“等面積變形”的重要而常用。二、將原圖形剪拼成新例1 （中點(diǎn) （中點(diǎn) 【觀(guān)察與思考】圖B中的兩部分可拼成IIII平行四邊I【說(shuō)明】思可借助圖形的“平移”、“旋轉(zhuǎn)”，以及它們的結(jié)合例 且點(diǎn)C與

【觀(guān)察與思考】已知的兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)之比為1：2，不妨設(shè)它們的邊長(zhǎng)a和2aa2和4a2 比為1：3，則它們的面積比就是1：9，即分別為1a2和9a2 角形的面積都為1a2，這樣就有以下的解2ADMBDM將原圖裁割，并將ADMM180°至DEM，則得到等EADBCMADBCADBCMADBC【說(shuō)明】因?yàn)榧羝辞昂蟊３置娣e不變，所以許多剪拼問(wèn)題的思考解決都可如本題以面積作為過(guò)渡的橋梁例 割線(xiàn)并在正方形網(wǎng)格圖（1）中用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出拼接成的新正方形。 5同學(xué)的做法是設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為x(x0)依題意割補(bǔ)前后圖形的面積相等有x25解得x 5請(qǐng)你參考同學(xué)的做法，解決如下問(wèn)題畫(huà)出分割線(xiàn)，并在圖（5）的正方形網(wǎng)格圖（1）中用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出拼接成的新正方形。9292

【說(shuō)明】本題進(jìn)一步說(shuō)明，剪拼型的圖形操作問(wèn)題，常以面積做為解法思考的依據(jù)例 AE

2bAD操作示當(dāng)2ba時(shí)，如圖（1）BAGBGbFG和CG，裁掉FAG和CGB并分別拼接到FEH和CHDFGCH。E思考E在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將FAG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋 90°到FEHEHADCH，由DHBG，故CHDCGB，從而又可將CGBC90°到CHD邊形FGCH（如圖（1），過(guò)點(diǎn)F作FMAE于點(diǎn)M（圖略），利 SAS公理可判斷

CHD

HCGCFG

(2b

FHC90DFGCH是正方形 DFD B(2b

C

(a2b

C

(ba)實(shí)踐探正方形FGCH的面積 ；（用含a,b的式子表示 通過(guò)探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)ba時(shí)，此類(lèi)圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著b的增大而不斷上移。當(dāng)ba時(shí)，如圖（5）的圖形能否剪能一個(gè)正方形？若能，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出剪拼的示意圖；若不能，簡(jiǎn)要說(shuō)明理【觀(guān)察與思考】在所給的圖形中（1），（2），（3），（4），（5），均有正方ABCDa，等腰直角FAE的斜邊邊區(qū)長(zhǎng)為2bA面積分別是a2和b2。由它們剪拼成的新正方形的面積應(yīng)為a2b2aa2

，以此特征去設(shè)計(jì)剪拼即可。（ba 解：實(shí)踐探究（1）a2b2（2）剪拼方法如圖（2`）~圖（4`）圖（2`）~圖（3`）BG就有CG2CB2BG2a2b2

b聯(lián)想拓展 能：剪拼方法如圖（5`）（圖中BGDHb）DD GG

DDAD DHDHG C 都是面積為b2的等腰直角三角形和面積為a2的正方形剪拼成一個(gè)大正方形，大正方形邊長(zhǎng)例5 藍(lán)天希望學(xué)校正準(zhǔn)備建一個(gè)多教室，計(jì)劃做長(zhǎng)120cm，寬30cm的長(zhǎng)條形桌面，現(xiàn)只有長(zhǎng)80cm，寬45cm的木板，請(qǐng)你為該校設(shè)計(jì)不同的拼接方案，使拼起來(lái)的桌面符合要求。（只要求畫(huà)出裁剪，拼接圖形，【觀(guān)察與思桌面面積為120303600cm280453600cm2考慮截下兩塊1540 練習(xí)1、（1）已知：如圖（1），在A(yíng)BCABACA36BD平分ABCAC于點(diǎn)D。ABD與DBC都是等腰三角形。A DCB在證明了該命題后，發(fā)現(xiàn)：下列兩個(gè)等腰三角形如圖（2）、（3）也具有這種特性。請(qǐng)你在圖（2），接著又發(fā)現(xiàn)：直角三角形和一些非等腰三角形也具有這樣的特性，如：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)可把， mnnm 34A 4ABCD 5、如圖446、在A(yíng)BCEF一刀剪切后，用得到的AEFEBCFEBCP，剪（1）在A(yíng)BC（2）在A(yíng)BC（3）在A(yíng)BC在A(yíng)BCABAC中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要確定剪切線(xiàn)，其操作過(guò)程（EFP（法）是 EFP（ 明△CBE等腰三角形；再將圖①中