7-4脈沖傳遞函數一、脈沖傳遞函數的定義脈沖傳遞函數：零初始條件下，線性定常離散系統輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比(Z傳遞函數)。虛擬采樣開關3/23/20231自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前1頁，總共49頁。2．單個環節脈沖傳遞函數的推導當輸入信號為如下的脈沖序列時根據疊加原理，輸出信號為一系列脈沖響應之和，即在t=kT時刻，輸出的脈沖值為根據卷積定理，可得上式的z變換3/23/20232自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前2頁，總共49頁。注意：經虛設采樣開關得到的脈沖序列反映的是連續輸出在采樣時刻的瞬時值。脈沖傳函給出了兩個離散信號之間的傳遞關系。可見：(1)脈沖傳遞函數是系統單位脈沖響應g(t)經采樣后離散信號g*(t)的z變換。（連續系統）(2)系統響應速度越快，g(t)衰減越快，G(z)展開式中包含項越少。(3)如果已知R(z)和G(z)，則在零初始條件下，線性定常離散系統的輸出采樣信號為：3/23/20233自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前3頁，總共49頁。脈沖傳遞函數定義為輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比（因此也稱Z傳遞函數）系統輸出的采樣信號為3/23/20234自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前4頁，總共49頁。例7-10：系統結構如圖所示，其中連續部分的傳遞函數為求該開環系統的脈沖傳遞函數G(z)。解：連續部分的脈沖響應函數為

3/23/20235自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前5頁，總共49頁。或由

查表得脈沖傳遞函數為3/23/20236自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前6頁，總共49頁。3.串聯環節的脈沖傳遞函數（1）串聯環節間無采樣開關時的脈沖傳遞函數3/23/20237自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前7頁，總共49頁。例7-11：系統結構如上圖所示，求開環脈沖傳遞函數，其中解：3/23/20238自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前8頁，總共49頁。(2)串聯環節間有采樣開關且同步時的脈沖傳遞函數此時，脈沖傳遞函數為各個連續環節z變換的乘積。取z變換3/23/20239自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前9頁，總共49頁。例7-12：系統結構如圖7-12(b)所示，求開環脈沖傳遞函數，其中解：所以由于3/23/202310自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前10頁，總共49頁。（3）有零階保持器時的脈沖傳遞函數（中間無采樣開關）開環脈沖傳遞函數為

圖7-13帶零階保持器的開環采樣系統3/23/202311自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前11頁，總共49頁。例7-13：系統結構如圖7-13所示，其中采樣周期T=1秒，求其開環脈沖傳遞函數。解：3/23/202312自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前12頁，總共49頁。4.閉環脈沖傳遞函數3/23/202313自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前13頁，總共49頁。于是閉環系統的脈沖傳遞函數和誤差脈沖傳遞函數為取z變換3/23/202314自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前14頁，總共49頁。例7-14：閉環采樣系統的結構如圖7-14所示，采樣周期T=1秒，求閉環脈沖傳遞函數。其中若r(t)=1(t)，求c*(t)。解：3/23/202315自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前15頁，總共49頁。則輸出信號的z變換為對于階躍輸入函數有3/23/202316自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前16頁，總共49頁。幾點說明：不是所有的閉環系統都能寫出閉環脈沖傳遞函數。由于系統中采樣開關數目和位置的不同，有的系統只能給出輸出的z變換。如果在E(s)處存在采樣開關，一般可以寫出閉環脈沖傳遞函數。對于一個等式中含有的離散信號取z變換時，可以單獨取。3/23/202317自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前17頁，總共49頁。(2)數字控制系統圖7-15數字控制系統采樣開關的輸入和系統的輸出分別為3/23/202318自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前18頁，總共49頁。可得于是閉環系統的傳遞函數為整理得

3/23/202319自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前19頁，總共49頁。

7.5離散系統的穩定性和穩態誤差7.5.1穩定性1.從s平面到z平面的映射關系由Z變換的定義若令則有3/23/202320自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前20頁，總共49頁。虛軸映射為單位圓(σ=0時，|z|=1)左半平面映射為單位圓內(σ<0時，|z|<1)；右半平面映射為單位圓外(σ>0時，|z|>1)3/23/202321自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前21頁，總共49頁。系統的特征根為即為閉環傳遞函數極點2.Z域的穩定條件和穩定性判據對于下圖所示的采樣控制系統，其特征方程式為結論：閉環采樣系統穩定的充分必要條件是，系統特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內，或者所有根的模均小于1，即3/23/202322自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前22頁，總共49頁。在分析連續系統時，曾經應用Routh穩定判據判斷系統的特征根位于s右半平面的個數，并依此來判斷系統的穩定性。對于采樣系統，也可用Routh判據分析其穩定性，但由于在z域中穩定區域是單位圓內，而不是左半平面，因此不能直接應用Routh判據。必須采用一種變換方法，使z平面上的單位圓映射為新坐標系的虛軸。雙線性變換可建立z平面單位圓與變換后坐標系虛軸之間的對應關系。3/23/202323自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前23頁，總共49頁。則令復變量z=x+jy,w=u+jv

代入右上式得對于w平面上的虛軸，實部u=0，即x2+y2＝1這就是z平面上以坐標原點為圓心的單位圓的方程。單位圓內x2+y2＜1，對應于w平面上u為負數的虛軸左半部；單位圓外x2+y2＞1，對應于w平面上u為正數的虛軸右半部。引入雙線性變換3/23/202324自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前24頁，總共49頁。例7-15設采樣系統如圖7-18所示，采樣周期T=0.25s，求能使系統穩定的K值范圍。3/23/202325自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前25頁，總共49頁。解開環脈沖傳遞函數為

閉環傳遞函數為閉環系統的特征方程為1+G(z)=0令，T=0.25s代入上式得3/23/202326自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前26頁，總共49頁。整理后可得列勞斯表為w20.158K 2.736－0.158Kw11.264w02.736－0.158K要使系統穩定，必須使勞斯表中第一列各項大于零，即0.158K＞0 和2.736－0.158K＞0所以使系統穩定的K值范圍是0＜K＜17.3。3/23/202327自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前27頁，總共49頁。由特征方程T=0.25s代入上式得由特征根公式令|z1,2|<1，可得使系統穩定的K值范圍是0＜K＜17.3。除了應用勞斯方法，還有沒有其他方法？|z|<13/23/202328自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前28頁，總共49頁。說明：對于本例的二階系統，如果沒有采樣作用，則不論K取何值，系統都是穩定的；但引入采樣以后，系統可能不穩定。采樣周期越長，系統穩定性越差(因為采樣→丟失了部分信息→穩定性變差)。3/23/202329自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前29頁，總共49頁。7.5.2數字控制系統穩態誤差設單位反饋采樣控制系統如圖7-19所示

與連續系統類似，系統的誤差3/23/202330自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前30頁，總共49頁。設閉環系統穩定，根據終值定理可以求出在輸入信號作用下采樣系統的穩態誤差終值在連續系統中，如果開環傳遞函數G(s)具有ν個s=0的極點，則由z=eTs可知相應G(z)必有ν個z=1的極點。同樣，在離散系統中，也可把開環傳遞函數G(z)具有z=1的極點數，作為劃分系統型別的標準。把G(z)中ν=0，1，2…的系統稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型（離散）系統等。3/23/202331自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前31頁，總共49頁。當輸入為單位階躍信號1(t)時，代入esr的表達式得當輸入為單位斜坡信號t時，3/23/202332自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前32頁，總共49頁。穩態位置誤差系數

穩態速度誤差系數

穩態加速度誤差系數

3/23/202333自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前33頁，總共49頁。例7-15：已知系統的結構如圖所示，其中采樣周期T=0.2s，

求在輸入信號r(t)=1+t+0.5t2(t>0)的作用下，系統的穩態誤差。3/23/202334自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前34頁，總共49頁。解：采樣系統的閉環特征方程為采樣系統的開環脈沖傳遞函數為雙線性變換：系統穩定。3/23/202335自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前35頁，總共49頁。II型系統，在階躍和斜坡函數作用下的穩態誤差為零，靜態加速度誤差系數為因此，在輸入r(t)=1+t+0.5t2作用下的穩態誤差為3/23/202336自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前36頁，總共49頁。7.6離散系統的動態性能分析若可以求出離散系統的閉環傳遞函數G(z)=C(z)/R(z)，其中輸入R(z)通常為單位階躍函數，即R(z)=z/(z-1)，則系統輸出量的z變換函數將上式展成冪級數，通過z反變換，可以求出輸出信號的脈沖序列c(k)或c*(t)。由于離散系統的時域指標與連續系統相同，故根據單位階躍響應曲線c(k)可以方便地分析離散系統的動態性能。3/23/202337自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前37頁，總共49頁。例7-16設采樣系統如圖7-19所示，采樣周期T=0.1s，求系統指標和的近似值，其中

解：閉環脈沖傳遞函數為

3/23/202338自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前38頁，總共49頁。系統的階躍響應為用長除法得

輸出信號的脈沖序列將c*(t)在各采樣時刻的值用“*”標于圖7-20中，光滑地連接圖中各點，便得到了系統輸出相應曲線c(t)的大致波形。3/23/202339自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前39頁，總共49頁。由該波形曲線可得，3/23/202340自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前40頁，總共49頁。Z平面ImRe01閉環實極點分布與相應的動態響應形式3/23/202341自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前41頁，總共49頁。ImRe1–1閉環復極點分布與相應的動態響應形式3/23/202342自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前42頁，總共49頁。7.7采樣系統的數字校正如圖所示的閉環采樣系統閉環脈沖傳遞函數為圖7-21含數字校正裝置的采樣系統3/23/202343自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前43頁，總共49頁。最少拍系統：在典型輸入作用下，能以有限拍結束響應過程，并且采樣點上沒有穩態誤差。設計原則：由最少拍系統設計原則，應有e

(∞)=03/23/202344自動控制原理》第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統第七章離散系統當前44頁，總共49頁。系統的誤差為其中A(z)為z