高中同步測試卷(五)單元檢測導數的四則運算法例及簡單復合函數的求導法例(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的)1．設y＝－2exsinx，則y′等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)x2的導數是()2．函數y＝x＋3x2＋6xx2＋6xA.（x＋3）2B．x＋3－2x3x2＋6xC.（x＋3）2D．（x＋3）23．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于()A．4B．－4C．5D．－54．函數y＝(2x＋1)3在x＝0處的切線的斜率是()A．0B．1C．3D．65．已知函數f(x)＝x3＋ax2，以曲線y＝f(x)上一點P(－1，b)為切點且平行于直線3x＋y＝0的切線方程為()A．3x＋y－1＝0B．3x＋y＋1＝0C．3x－y＋1＝0D．3x＋y－2＝06．設函數f(x)＝(1－2x3)10，則f′(1)＝()A．0B．－1C．－60D．602π1處的切線的斜率是()7．函數y＝sinx的圖像在點A6，43A.3B．313C.2D．21x－x)的導數是()8．函數z＝(e＋e21x－xB．1x－xA.(e－e)2(e＋e)2C．ex－e－xD．ex＋e－x9．若y＝f(x)＝ln14＝()cos，則f′xππ2πA.16B．16π2πC．－16D．－1610．點P是曲線y＝－x2上隨意一點，則點P到直線y＝x＋2的最小距離為()72A．1B．852C.8D．37＋bi11．若復數3＋4i(b∈R)的實部與虛部互為相反數，則b＝()A．－7B．－1C．1D．712．若曲線y＝1x3＋ax2＋x存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍為()3A.－∞，－1∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D．－1，＋∞2題號123456789101112答案二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．過原點作曲線y＝ex的切線，則切點的坐標為________．14．已知y＝sinx，x∈(－π，π)，當y′＝2時，x＝________．1＋cosx15．設f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋n)，則f′(0)＝________．16．設函數f(x)＝cos(3x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數，則φ＝________．三、解答題

(本大題共

6小題，共

70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

)17．(本小題滿分

12分)已知拋物線

y＝ax

2＋bx＋c

過點(1，1)，且在點

(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求

a、b、c的值．k218．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ln(1＋x)－x＋2x(k≥0)．當k＝2時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．19.(本小題滿分12分)已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且直線l與曲線C相切于點P(x0，y0)(x0≠0)，求直線l的方程和切點P的坐標．20．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數f(x)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率是－3，求a，b的值；(2)若函數的導函數f′(x)在區間(－1，1)內有零點，務實數a的取值范圍．21.(本小題滿分12分)求以下函數的導數：x5＋x＋sinx；(1)y＝2x1＋x1－x(2)y＝1－x＋1＋x；lnx＋2x(3)y＝x2.a22．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝x(a>0)，設F(x)＝f(x)＋g(x)的導數為F′(x)．(1)解不等式F′(x)<0；(2)若函數y＝F(x)(x∈(0，3])在隨意一點P(x0，y0)處切線的斜率1恒建立，務實數ak≤2的最小值．參照答案與分析1．分析：選D.y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．x22x（x＋3）－x2x2＋6x2．[導學號68070030]分析：選A.y′＝x＋3′＝（x＋3）2＝（x＋3）2.應選A.3．分析：選A.由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa－1，因此f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，因此a＝4.4．分析：選D.因為y＝(2x＋1)3，因此y′＝3(2x＋1)2·(2x＋1)′＝6(2x＋1)2.因此y′|＝＝6.x05．分析：選B.y′＝f′(x)＝3x2＋2ax，因此y′|＝－＝3－2a＝－3.x1因此a＝3，則b＝(－1)3＋3×(－1)2＝2.因此切線方程為y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.6．[導學號68070031]分析：選D.因為f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝′10(1－2x3)9·(－2239′(1)＝60.6x)＝－60x(1－2x).因此f7．分析：選D.y＝sin2x＝1－cos2x＝1－1cos2x，222因此y′＝－1×2×(－sin2x)＝sin2x.2π3因此所求的切線的斜率是sin3＝2.8．分析：選u，u＝－x，則y′＝y′·u′，因此(e－xu－x×(－A.令y＝exux)＝′(e)′·(－x)＝′e1)＝－e.因此z＝1(ex＋e)的導數為1(ex－e)．－x－x－x2219．[導學號68070032]分析：選A.令y＝lnu，u＝cosv，v＝x，因為y′＝1，u′＝－sinv，v′＝－12uuvxx，因此y′＝xy′·u1－1u′v·v′x＝u·(－sinv)·x2sin1x111＝·22tanx.1x＝xcosx因此f′4＝1·tan1π2＝π42416.ππ10．分析：選B.依題意知，當曲線y＝－x2在P點處的切線與直線y＝x＋2平行時，點P到直線y＝x＋2的距離最小，設此時P點的坐標為(x0，y0)．依據導數的運算法例能夠求得y′＝－2x，因此曲線在P點處的切線的斜率k＝－2x0，因為該切線與直線y＝x＋2平行，因此有－2x0＝1，得x0＝－1.21111－2＋4＋272故P點的坐標為－2，－4，這時點P到直線y＝x＋2的距離d＝2＝8.7＋bi1111．[導學號68070033]分析：選C.3＋4i＝25(7＋bi)(3－4i)＝25[21＋4b＋(3b－28)i]．因為復數7＋bi的實部與虛部互為相反數，因此21＋4b＋(3b－28)＝0.因此b＝1，應選C.3＋4i12．分析：選B.令y＝1x3＋ax2＋x＝f(x)，因此f′(x)＝x2＋2ax＋1，因為f(x)存在垂直于3y軸的切線，因此f′(x)＝0有解，即x2＋2ax＋1＝0有解，因此＝(2a)2－4≥0，因此a≥1或a≤－1，即實數a的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，＋∞)，應選B.13．分析：y′＝ex，設切點為(x0，ex0)，則切線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，因為原點在切線上，則－ex0＝ex0(－x0)?x0＝1，y0＝ex0＝e，即切點為(1，e)．答案：(1，e)14．[導學號68070034]分析：sinx）′（1＋cosx）－sinx（1＋cosx）′y′＝（1＋cosx）2＝cosx（1＋cosx）－sinx（－sinx）（1＋cosx）2＝cosx＋cos2x＋sin2x＝cosx＋1（1＋cosx）2（1＋cosx）2＝1.1＋cosx令111＋cosx＝2，則cosx＝－.22π又x∈(－π，π)，故x＝±3.2π答案：±315．分析：令h(x)＝x，g(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋n)，則f(x)＝h(x)·g(x)，因此f′(x)＝h′(x)g(x)＋h(x)g′(x)f′(0)＝(0＋1)·(0＋2)·(0＋3)(0＋n)＋01×2×3××n.答案：1×2×3×n16．[導學號68070035]分析：f′(x)＝－sin(3x＋φ)(3x＋φ)′－＝3sin(3x＋φ)，因此f(x)＋f′(x)cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)．因為y＝f(x)＋f′(x)的定義域為R且為奇函數，因此f(0)＋f′(0)＝0，即cosφ－3sinφ＝0，3因此tanφ＝3.π因為0<φ<π，因此φ＝6.π答案：617．解：因為拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(1，1)，因此a＋b＋c＝1.因為y′＝2ax＋b，因此曲線在點(2，－1)處的切線的斜率為4a＋b＝1.又曲線過點

(2，－1)，因此

4a＋2b＋c＝－1.a＋b＋c＝1，由4a＋b＝1，

解得

a＝3，b＝－11，4a＋2b＋c＝－1，

c＝9.因此

a、b、c的值分別為

3、－11、9.18．解：當

k＝2時，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝

11＋x－1＋2x.因為

f(1)＝ln2，f′(1)＝3，因此曲線2

y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為

3y－ln2＝2(x－1)，即

3x－2y＋2ln2－3＝0.19．[導學號

68070036]

解：直線

l過原點，則

y0k＝x0

(x0≠0)，①由點(x0，y0)在曲線C上，得y0＝x30－3x20＋2x0，②因為y′＝3x2－6x＋2，因此k＝3x02－6x0＋2③由①②③知2x02－3x0＝0，又因為x0≠0，因此x0＝3，此時y0＝－3，k＝－1.28413，－3.因此直線l的方程為y＝－x，切點坐標為28420．解：(1)因為f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)·x＋b，因此f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，又函數f(x)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率是－3，f（0）＝b＝0，因此得f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，解得b＝0，a＝1或b＝0，a＝－3.(2)函數的導函數f′(x)在區間(－1，1)內有零點，依據零點存在定理，可得不等式：f′(－1)f′(1)<0，即[3－2(1－a)－a(a＋2)][3＋2(1－a)－a(a＋2)]<0，2整理，得(a＋5)(a＋1)(a－1)<0，a＝1時上式不建立．a≠12時(a－1)>0，因此不等式可轉變為(a＋5)(a＋1)<0，解得－5<a<－1.因此實數a的取值范圍是(－5，－1)．21．[導學號68070037]33sinx解：(1)因為y＝x＋x－＋x22＝x3＋x－32＋sinx·x－2，33－2因此y′＝(x＋x－＋sinx·x)′＝3x235－2＋(－2x－3－x－＋cosx·x)·sinx22＝3x235＋cosx2sinx－2x2－x3.xy′＝2cosx32sinx.3x＋x2－2x2x－x3(2)因為y＝（1＋x）2（1－x）2＋1－x1－x2（1＋x）＝4－2，1－x1－x因此y′＝4－2′1－x＝4′（1－x）－4（1－x）′（1－x）2＝4（1－x）2.(3)y＝′lnx2xlnx′＋2x′x2＋2′＝x2x2x1·x2－lnx·2xx2x·2x＝x42·ln2·x－2x＋x41－2lnx）x＋（ln2·x2－2x）·2x＝