1第四章級數2§4.1復數項級數和序列的基本性質3復數序列

定義4.1

設{an}(n=1,2,...)為一復數列,

an=an+ibn,

又設a=a+ib為一確定的復數.

如任給定e>0,能找到正數N(e),

使n>N時|an-a|<e成立,則稱

a為{an}當n時的極限,記作也稱復數列{an}收斂于a.4定理4.1復數列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]如果,則對于任意給定的e>0,就能找到一個正數N,當n>N時,5反之,如果62.復數項級數

無窮級數:部分和:

sn=a1+a2+...+an

7定理4.2級數收斂的充要條件是級數

和都收斂

8

[證]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分別為

和的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級數和都收斂.9收斂的必要條件:1011定理4.3

絕對收斂的充要條件是和絕對收斂12定理4.4(絕對收斂必收斂)[證]13143.冪級數的性質15i).冪級數的概念復變函數項級數:

部分和:sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)16復變函數項級數在z0收斂:和:s(z0).在D內處處收斂,則有和函數s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...17冪級數:18ii)定理4.5(阿貝爾Abel定理)z0xyO19[證]202122收斂圓和收斂半徑:

利用阿貝爾定理,可以定出冪級數的收斂范圍,對一個冪級數來說,它的收斂情況不外乎三種:

i)對所有的正實數都是收斂的.這時,根據阿貝爾定理可知級數在復平面內處處絕對收斂.

ii)對所有的正實數除z=0外都是發散的.這時,級數在復平面內除原點外處處發散.

iii)既存在使級數收斂的正實數,也存在使級數發散的正實數.設z=a(正實數)時,級數收斂,z=b(正實數)時,級數發散.23顯然a<b,將收斂域染成紅色,發散域為藍色.RCROabCaCbxy24當a由小逐漸變大時,Ca必定逐漸接近一個以原點為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內部都是紅色,外部都是藍色.這個紅藍兩色的分界圓周CR稱為冪級數的收斂圓.在收斂圓的外部,級數發散.收斂圓的內部,級數絕對收斂.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.所以冪級數(4.3)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.對冪級數

來說,收斂范圍是以z=a為中心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.25例1求冪級數的收斂范圍與和函數.[解]級數實際上是等比級數,部分和為262728iii)收斂半徑的求法29iv)冪級數的運算和性質:

象實變冪級數一樣,復變冪級數也能進行有理運算.設

在以原點為中心,r1,r2中較小的一個為半徑的圓內,這兩個冪級數可以象多項式那樣進行相加,相減,相乘,所得到的冪級數的和函數分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.3031更為重要的是代換(復合)運算這個代換運算,在把函數展開成冪級數時,有著廣泛的應用.3233Oxyab當|z-a|<|