大數定理和中心極限定理第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.1

大數定理

學校有10000個學生，平均身高為a；若隨意觀察1個學生的身高X1，則X1與a可能相差較大。若隨意觀察10個學生的身高X1,

X2,…,

X10，則10個數據的均值(X1+X2+…+X10)/10與a較接近；若隨意觀察100個學生的身高X1,

X2,…,

X100，則100個數據的均值(X1+X2+…+X100)/100與a更接近；若隨意觀察n(n＜10000)個學生的身高X1,

X2,…,

Xn，則n個數據的均值(X1+X2+…+Xn)/n，隨著n的增大而與a接近。第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日定義設X1，X2，…

，Xn,…是隨機變量序列，如果存在一個常數序列{an}，對，有則稱隨機變量序列{Xn}服從大數定律。第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日定理1

(辛欽大數定理)

設X1,

X2,…,

Xn…是獨立同分布的隨機變量，記它們的公共均值為a，又設它們的方差存在，并記為2，隨機變量的頻率為，則對任意給定的＞0，有定理1的意義：隨著n的增大，依概率意義越來越接近a；而不接近a的可能性越來越小。

(該定理的證明需要用契比雪夫不等式。）第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.1.1馬爾科夫不等式若X是只取非負值的隨機變量，則對任意常數>0，有證明

第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.1.2契比雪夫不等式若D(X)存在，則對任意常數>0，有證明第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日定理1的證明：第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.1.3伯努利大數定理(頻率收斂于概率)

設pn是n重伯努利試驗中事件A出現的頻率(pn=Xn/n)，在每次試驗中P(A)=p是常數，設Xn~B(n，p)，其中n=1,2,…，(0＜p＜1)則對任意正數＞0，有伯努利大數定理的意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率pn越來越接近概率p，而pn不接近p的可能性越來越小。但不能說：。因為可能有pnp

情形(雖然這些例外情形出現的概率趨于0)。第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日證明：第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.2中心極限定理設X1,

X2,…,

Xn

…是一系列隨機變量，通常把論證和函數X1+X2+…+Xn的分布收斂于正態分布的這類定理叫做“中心極限定理”。定理2(萊維－林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、

(獨立同分布的中心極限定理)

設X1,

X2,…,

Xn…是獨立同分布的隨機變量，它們有相同的均值E(Xi)=a，和相同的方差為D(Xi)=2(0<<+),則對任意實數x，有第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日(證明略)說明：和函數Yn=X1+X2+…+Xn

E(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=naD(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=n2

將Yn“標準化”：“標準化”后的和函數的分布函數Fn(x):第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日

和函數X1+X2+…+Xn在“標準化”后的分布函數Fn(x)，隨著n的增大，Fn(x)逐漸趨向于標準正態分布函數。

值得注意的是，每個Xi的概率分布可以是未知的，不一定是正態分布。定理2的意義：若有無數多種因素X1,

X2,…,

Xn

…對事物產生影響，每個因素的影響都很小，所有這些因素的綜合影響可認為是Y=X1+X2+…+Xn+…,則這些因素綜合影響的結果呈現出正態分布。所以在自然界中很多問題都可用正態分布研究。第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日定理2的等價形式1}{Xn}獨立同分布，2)DXn<∞。則當n較大時，第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日例6-1

某保險公司對一種電視機進行保險，現有3000個用戶，各購得此種電視機一臺，在保險期內，這種電視機的損壞率為0.001，參加保險的客戶每戶交付保險費10元，電視機損壞時可向保險公司領取2000元，求保險公司在投保期內:(１)虧本的概率；(２)獲利不少于10000元的概率。解第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日(１)虧本的概率：第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日(２)獲利不少于10000元的概率：第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日定理3(棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre－Laplace)定理)

設X1,

X2,…,

Xn

…是獨立同分布(0-1分布)的隨機變量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p，(0＜p＜1)，i=1,2,…則對任意實數x，有

證明由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,….代入定理2的公式，a=p,=有定理3是定理2的特例，定理3用正態分布逼近兩項分布。第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日

設Yn是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，在每次試驗中P(A)=p是常數(0＜p＜1),Yn～B(n,p)。設Xi是第i次試驗時A出現的次數，則Xi服從0-1分布，

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,

(0＜p＜1),i=1,2,…Yn=X1+X2+…+Xn,所以定理3的另一種描述方式：定理3的另一說法(棣莫弗-拉普拉斯定理)

設Yn是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，在每次試驗中P(A)=p是常數(0＜p＜1),Yn～B(n,p)，則對任意實數x，有第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日

這說明：若Yn服從二項分布B(n,p)，計算P(t1≤Yn≤t2)可用正態分布近似計算。(即Xn～B(n,p)，則當n較大時，)。若X1,

X2,…,

Xn…是獨立的0-1分布的隨機變量，

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,

(0＜p＜1),i=1,2,…

計算P(t1≤X1+X2+…+Xn≤t2)可用正態分布近似計算。

對此查正態分布表第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日當n較小時，誤差較大，公式可修正為

(對上式查正態分布表)第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日例6-2

設某地區原有一家小電影院，現擬籌建一所較大的電影院。根據分析，該地區每天平均看電影者約有n=1600人，預計新電影院開業后，平均約有3/4的觀眾將去新電影院。現計劃其座位數，要求座位數盡可能多，但“空座達到200或更多”的概率不能超過0.1，問設多少座位為好？解設每天看電影的人編號1,2,3,…,1600,且令

假設各觀眾去不去電影院是獨立選擇的。第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日則X1,

X2,…,

X1600是獨立的0-1分布的隨機變量。設座位數是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號時。第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日解法2設n=1600人中去新影院的人數為X，每個觀眾選擇去新影院的概率為3/4，則X～B(1600,3/4)。設座位數是m，按要求有:P(X≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號時。第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例6-3(合作問題)

設有同類設備200臺，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0.01，并且一臺設備的故障可由一個人來處理，試求由4個人共同負責維修200臺設備時，設備發生故障而不能及時維修的概率。解

設Y為200臺設備中在同一時間內發生故障的臺數，則Y～B(200,0.01)np=2000.01=2,npq=20.99=1.98

設備發生故障而不能及時維修的概率為

第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日直接用兩項分布計算=0.0517可見用泊松分布近似的結果更好一些。但用泊松分布要查多個泊松分布表的數值，而用中心極限定理來近似只需查一個或兩個正態分布表的值。第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日例6-4

已知一大批種子的良種率是1/6，現從中任意選出600粒，求這600粒種子中，良種所占的比例值與1/6之差的絕對值不超過0.02的概率。解從一大批種子中任選600粒，內含良種的粒數為隨機變量X，有X～B(600,1/6)。所求概率可表為

第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日如不用中心極限定理，則應如下求解：第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日書面作業：P103~104

6-16-26-56-76-9第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日作業評講：1.第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日8.第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日10.第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日例題講解一、設隨機變量X和Y獨立，其分布列分別為則下列各式正確的是

。X=Y(2)P(X=Y)=1/2(3)P(X=Y)=0(4)P(X=Y)=1解雖然X和Y是相同的分布，但不寫成X=Y；

P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5選答案(2)第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日二、設X,Y滿足D(X+Y)=D(X-Y),則X,Y必有

。解：因為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)

由于D(X+Y)=D(X-Y)

得2cov(X,Y)=-2cov(X,Y)cov(X,Y)=0∴X,Y不相關。第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日三、設隨機變量X和獨立同分布,且P(X=k)=1/3,k=1,2,3又設X=max(X,),Y=min(X,)。(1)試寫出(X,Y)的聯合分布律；(2)求E(X)。解

(1)由于X=1,2,3,=1,2,3

所以，X=1,2,3；Y=1,2,3當i＞j時，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=P(X=i,=j)+P(X=j,=i)=P(X=i)P(=j)+P(X=j)P(=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9當i=j時，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=P(X=i,=i)=P(X=i)P(=i)=(1/3)(1/3)=1/9當i＜j時，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=0第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日(X,Y)的聯合概率分布律：(2)XY12311/90022/91/9032/92/91/9第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日四、對隨機變量X和Y，已知E(X)=-2,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,X與Y的相關系數r=-0.5由契比雪夫不等式所能確定的最小正數c為何值(其中c滿足不等式P{|X+Y|≥6}≤c)。解E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2r=1+4+2(-0.5)12=3P{|(X+Y)-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/62P{|X+Y|≥6}≤3/62=1/12c=1/12第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日五、設某班車起點站上人數X服從參數為的泊松分布，且中途不再有人上車。而車上每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1)，且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數。試求

(1)(X,Y)的聯合分布律；(2)求Y的分布律解

(1)X～P(),

當X=n時，Y～B(n,p)P(Y=k|X=n)=k=0,1,2,…,n

當n<k時，P(X=n,Y=k)=0

當n≥k時，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n)

第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日(X,Y)的聯合分布律為：X=n=0,1,2,3,…Y=k=0,1,2,3,…(2)第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日六、設Xn～B(n,p).(0<p<1,n=1,2,…)則對任意實數x，有解第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日七、(習題