2022-2023學年廣東省梅州市豐順縣三友聯合中學九年級（下）開學數學試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．擲一枚質地均勻的硬幣10次，下列說法正確的是（）A．每2次必有一次正面朝上 B．必有5次正面朝上 C．可能有7次正面朝上 D．不可能有10次正面朝上2．關于x的一元二次方程ax2+2x﹣3＝0的一根為x＝1，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．下列事件中，不可能事件是（）A．任意選擇某個電視頻道，正在播放動畫片 B．明天會下雨 C．三角形內角和是180° D．實數的絕對值小于04．若兩圓的半徑分別為2cm和6cm，圓心距為4cm，則這兩圓的位置關系是（）A．內含 B．內切 C．外切 D．外離5．已知扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，則弧長為（）A．cm B．2πcm C．4cm D．cm6．下列方程中，關于x的一元二次方程是（）A．﹣2＝0 B．（x﹣1）2+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣17．二次函數y＝2x2﹣4x+c的最小值是0，那么c的值等于（）A．4 B．2 C．﹣4 D．88．如圖，已知BD是⊙O的直徑，BD⊥AC于點E，∠AOC＝100°，則∠OCD的度數是（）A．20° B．25° C．30° D．40°9．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為6，M是弦AB上的一動點，則線段的OM的長的取值范圍是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜510．如圖所示，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA＝OC．對稱軸為直線x＝1，則下列結論：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④2+c是關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．若（x﹣1）2＝4，則x＝．12．若拋物線y＝ax2+bx+c的開口向下，則a的值可能是．（寫一個即可）13．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，則∠AOD＝度．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B′C'，其中點B的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為．15．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正確結論的有．16．已知Rt△ABC的兩直邊分別是6和8，則其內切圓半徑為．17．如圖，正方形ABCD的邊長為2a，E為BC邊的中點，、的圓心分別在邊AB、CD上，這兩段圓弧在正方形內交于點F，則E、F間的距離為．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．已知⊙O的半徑長為50cm，弦AB長50cm．求：點O到AB的距離．19．已知二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象過點A（0，1）和點B（﹣1，2），求這個二次函數的解析式．20．不透明的口袋里裝有2個紅球和2個黃球（除顏色不同外，其它都相同）．現進行兩次摸球活動，第一次隨機摸出一個小球后不放回，第二次再隨機摸出一個小球，請用樹狀圖或列表法，求兩次摸出的都是紅球的概率．21．已知一拋物線經過點A（﹣1，0），B（0，﹣5），且拋物線對稱軸為直線x＝2，求該拋物線的解析式．22．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線交⊙O于點D．若AB＝10，AC＝6，求BC、BD的長．23．圖1是某學校存放學生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是車棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂的帆布的面積．（不考慮接縫等因素，計算結果保留π）24．如圖，直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線在第二象限內一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，與直線AB交于點C，過點P作x軸的平行線交拋物線于點Q，過點Q作x軸的垂線，垂足為點N，若點P在點Q左邊，設點P的橫坐標為m．①當矩形PQNM的周長最大時，求△ACM的面積；②在①的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，過直線AC上一點G作y軸的平行線交拋物線一點F，是否存在點F，使得以點P、C、G、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．25．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過原點O、點A（2，﹣4）、點B（3，﹣3），與x軸交于點C，直線AB交x軸于點D，交y軸于點E．（1）求拋物線的函數表達式和頂點坐標；（2）直線AF⊥x軸，垂足為點F，AF上取一點G，使△GBA∽△AOD，求此時點G的坐標；（3）過直線AF左側的拋物線上點M作直線AB的垂線，垂足為點N，若∠BMN＝∠OAF，求直線BM的函數表達式．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．擲一枚質地均勻的硬幣10次，下列說法正確的是（）A．每2次必有一次正面朝上 B．必有5次正面朝上 C．可能有7次正面朝上 D．不可能有10次正面朝上【分析】根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．解：A、每2次不一定有一次正面朝上，故A不符合題意；B、不一定有5次正面朝上，故B不符合題意；C、可能有7次正面朝上，故C符合題意；D、可能有10次正面朝上，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．2．關于x的一元二次方程ax2+2x﹣3＝0的一根為x＝1，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x＝1代入一元二次方程可得到關于a的方程，直接求得a的值即可．解：∵關于x的一元二次方程ax2+2x﹣3＝0的一根為x＝1，∴a+2﹣3＝0，∴a＝1，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．3．下列事件中，不可能事件是（）A．任意選擇某個電視頻道，正在播放動畫片 B．明天會下雨 C．三角形內角和是180° D．實數的絕對值小于0【分析】根據不可能事件的定義逐一判斷即可．解：A．任意選擇某個電視頻道，正在播放動畫片是隨機事件，不符合題意；B．明天會下雨是隨機事件，不符合題意；C．三角形內角和是180°是必然事件，不符合題意；D．實數的絕對值小于0是不可能事件，符合題意．故選：D．【點評】本題考查了不可能事件，牢記不可能事件是不可能發生的是解題關鍵．4．若兩圓的半徑分別為2cm和6cm，圓心距為4cm，則這兩圓的位置關系是（）A．內含 B．內切 C．外切 D．外離【分析】兩圓的位置關系有5種：①外離；②外切；③相交；④內切；⑤內含．若d＞R+r則兩圓相離，若d＝R+r則兩圓外切，若d＝R﹣r則兩圓內切，若R﹣r＜d＜R+r則兩圓相交．本題可把半徑的值代入，看符合哪一種情況．解：∵兩圓的半徑分別為2cm和6cm，圓心距為4cm．則d＝6﹣2＝4，∴兩圓內切．故選：B．【點評】本題主要考查兩圓的位置關系．兩圓的位置關系有：外離（d＞R+r）、內含（d＜R﹣r）、相切（外切：d＝R+r或內切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．5．已知扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，則弧長為（）A．cm B．2πcm C．4cm D．cm【分析】直接根據扇形的弧長計算公式L＝代入求出即可．解：∵扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，∴扇形的弧長計算公式L＝＝＝2πcm，故選：B．【點評】此題主要考查了扇形的弧長計算公式，正確的代入數據并進行正確的計算是解答本題的關鍵．6．下列方程中，關于x的一元二次方程是（）A．﹣2＝0 B．（x﹣1）2+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可．解：A．是分式方程，故本選項不符合題意；B．是一元二次方程，故本選項符合題意；C．當a＝0時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D．原方程整理可得2x＝﹣1，是一元一次方程，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數，并且所含未知數的項的最高次數是2的整式方程，叫一元二次方程．7．二次函數y＝2x2﹣4x+c的最小值是0，那么c的值等于（）A．4 B．2 C．﹣4 D．8【分析】將二次函數解析式整理成頂點式形式，然后根據最小值列方程求解即可．解：y＝2x2﹣4x+c，＝2（x2﹣2x+1）﹣2+c，＝2（x﹣1）2﹣2+c，∵二次函數y＝2x2﹣4x+c的最小值是0，∴﹣2+c＝0，解得c＝2．故選：B．【點評】本題考查了二次函數的最值問題，將函數解析式整理成頂點式形式求解更容易理解．8．如圖，已知BD是⊙O的直徑，BD⊥AC于點E，∠AOC＝100°，則∠OCD的度數是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】由垂徑定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根據圓周角定理可得答案．解：∵BD是⊙O的直徑，BD⊥AC，∠AOC＝100°，∴∠BOC＝∠AOC＝50°，則∠BDC＝∠BOC＝25°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠BDC＝25°．故選：B．【點評】本題主要考查圓周角定理，解題的關鍵是掌握垂徑定理及圓周角定理等知識點．9．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為6，M是弦AB上的一動點，則線段的OM的長的取值范圍是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5【分析】由垂線段最短可知當OM⊥AB時最短，當OM是半徑時最長．根據垂徑定理求最短長度．解：如圖，連接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直徑為10，∴半徑為5，∴OM的最大值為5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此時OM最短，所以OM長的取值范圍是4≤OM≤5．故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解決本題的關鍵是確定OM的最小值，所以求OM的范圍問題又被轉化為求弦的弦心距問題，而解決與弦有關的問題時，往往需構造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．10．如圖所示，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA＝OC．對稱軸為直線x＝1，則下列結論：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④2+c是關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】利用拋物線開口方向得到a＜0，利用對稱軸方程得到b＝﹣2a＞0，利用拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，則可對①進行判斷；利用對稱性可判斷點B在（2，0）的右側，則當x＝2時，4a+2b+c＞0，則可對②進行判斷；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入拋物線解析式可對③進行判斷；利用拋物線的對稱性得到B（2+c，0），則根據拋物線與x軸的交點問題可對④進行判斷．解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確；∵點A到直線x＝1的距離大于1，∴點B到直線x＝1的距離大于1，即點B在（2，0）的右側，∴當x＝2時，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴a+b+c＞0，所以②正確；∵C（0，c），OA＝OC，∴A（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③正確；∵點A與點B關于直線x＝1對稱，∴B（2+c，0），∴2+c是關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，所以④正確．故選：A．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數由判別式確定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．若（x﹣1）2＝4，則x＝3或﹣1．【分析】把x﹣1看作整體直接開方后再計算即可求解．解：x﹣1＝±2x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2x＝3或x＝﹣1．【點評】主要考查直接開平方法解方程．要注意整體思想的運用．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）運用整體思想，會把被開方數看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．12．若拋物線y＝ax2+bx+c的開口向下，則a的值可能是﹣1．（寫一個即可）【分析】根據二次項系數小于0，二次函數圖象開口向下解答．解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的開口向下，∴a＜0，∴a的值可能是﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查了二次函數的性質，是基礎題，需熟記．13．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，則∠AOD＝30度．【分析】根據旋轉的性質可得∠BOD，再根據∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB計算即可得解．解：∵△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△COD，∴∠BOD＝45°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝45°﹣15°＝30°．故答案為：30．【點評】本題考查了旋轉的性質，主要利用了旋轉角的概念，需熟記．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B′C'，其中點B的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為π﹣．【分析】先利用勾股定理求出DB′＝＝，再根據S陰＝S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，計算即可．解：連接DB′，BD．∵△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B′C'，此時點A′在斜邊AB上，CA′⊥AB，DB′＝＝＝，∴S陰＝﹣×1×1﹣×1×2＝π﹣．故答案為π﹣．【點評】本題考查旋轉變換、弧長公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．15．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正確結論的有①②③④．【分析】①由圖象與x軸的交點可以判斷；②根據開口方向可以判斷a的正負，根據頂點坐標所在的位置可以判斷b的正負，根據與y軸的交點可以判斷c的正負，從而可以解答本題；③根據對稱軸可以確定a、b的關系，由x＝﹣2對應的函數圖象，可以判斷該結論是否正確；④根據對稱軸和二次函數具有對稱性可以判斷該結論是否正確．解：由二次函數的圖象與x軸兩個交點可知，b2﹣4ac＞0，故①正確；由二次函數的圖象可知，開口向上，則a＞0，頂點在y軸右側，則b＜0（左同右異），圖象與y軸交于負半軸，則c＜0，故abc＞0，故②正確；由圖象可知：，則b＝﹣2a，當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＞0，則y＝4a﹣2×（﹣2a）+c＞0，即8a+c＞0，故③正確；由圖象可知：此函數的對稱軸為x＝1，當x＝﹣1時和x＝3時的函數相等并且都小于0，故x＝3時，y＝9a+3b+c＜0，故④正確；故答案為：①②③④．【點評】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是明確二次函數的性質，利用數形結合的思想將圖象與所求的結論結合在一起，由圖象可以判斷題目中的結論是否正確．16．已知Rt△ABC的兩直邊分別是6和8，則其內切圓半徑為2．【分析】連接OE、OQ，根據圓O是三角形ABC的內切圓，得到AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝90°，OE＝OQ，推出正方形OECQ，設OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，得到方程6﹣r+8﹣r＝10，求出方程的解即可．解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴∠C＝90°，連接OE、OQ，設圓O是三角形ABC的內切圓，∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，∴四邊形OECQ是正方形，∴設OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，∵AF+BF＝10，∴6﹣r+8﹣r＝10，∴r＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了三角形內切圓與內心，切線的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握內切圓與內心的性質．17．如圖，正方形ABCD的邊長為2a，E為BC邊的中點，、的圓心分別在邊AB、CD上，這兩段圓弧在正方形內交于點F，則E、F間的距離為．【分析】作EF的中垂線交CD于G，則G為的圓心，H為的圓心，連接EF，GH，交于點O，連接GF，FH，HE，EG，依據勾股定理可得GE＝FG＝，根據四邊形EGFH是菱形，四邊形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE＝a，即可得到EF＝a．解：如圖，作EF的中垂線交CD于G，則G為的圓心，同理可得，H為的圓心，連接EF，GH，交于點O，連接GF，FH，HE，EG，設GE＝GD＝x，則CG＝2a﹣x，CE＝a，Rt△CEG中，（2a﹣x）2+a2＝x2，解得x＝，∴GE＝FG＝，同理可得，EH＝FH＝，∴四邊形EGFH是菱形，四邊形BCGH是矩形，∴GO＝BC＝a，∴Rt△OEG中，OE＝＝a，∴EF＝a，故答案為：a．【點評】本題主要考查了正方形的性質以及相交兩圓的性質，相交兩圓的連心線（經過兩個圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．注意：在習題中常常通過公共弦在兩圓之間建立聯系．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．已知⊙O的半徑長為50cm，弦AB長50cm．求：點O到AB的距離．【分析】過O作OH⊥AB于H，連接OA，根據垂徑定理求出AH，再根據勾股定理計算即可．解：如圖，過O作OH⊥AB于H，連接OA，則AH＝AB＝25cm，由勾股定理得：OH＝＝＝25（cm），答：點O到AB的距離為25cm．【點評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應用，根據垂徑定理求出AH是解題的關鍵．19．已知二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象過點A（0，1）和點B（﹣1，2），求這個二次函數的解析式．【分析】根據點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．解：∵二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象過點A（0，1）和點B（﹣1，2），∴，解得：，∴二次函數的解析式為y＝﹣x2﹣2x+1．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數的解析式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．20．不透明的口袋里裝有2個紅球和2個黃球（除顏色不同外，其它都相同）．現進行兩次摸球活動，第一次隨機摸出一個小球后不放回，第二次再隨機摸出一個小球，請用樹狀圖或列表法，求兩次摸出的都是紅球的概率．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的都是紅球的結果有2種，再由概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的都是紅球的結果有2種，∴P（兩次摸出的都是紅球）＝．【點評】此題考查了樹狀圖法，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．21．已知一拋物線經過點A（﹣1，0），B（0，﹣5），且拋物線對稱軸為直線x＝2，求該拋物線的解析式．【分析】因為對稱軸是直線x＝2，所以得到點（﹣1，0）的對稱點是（5，0），因此利用交點式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式．解：∵拋物線對稱軸是直線x＝2且經過點（﹣1，0），由拋物線的對稱性可知：拋物線還經過點（5，0），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即：y＝a（x+1）（x﹣5），把B（0，﹣5）代入得：﹣5＝﹣5a，∴a＝1．∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x﹣5．【點評】本題考查了用待定系數法求函數解析式的方法，注意選擇若知道與x軸的交點坐標，采用交點式比較簡單．22．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線交⊙O于點D．若AB＝10，AC＝6，求BC、BD的長．【分析】根據直徑得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根據勾股定理求出BC的長度．根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝∠ADB＝90°，再根據角平分線的定義可得∠DAC＝∠BCD，然后求出AD＝BD，再根據等腰直角三角形的性質其解即可．解：（1）∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°（直徑所對的圓周角是直角），在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，即BC＝8；∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠DCA＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝×10＝5，即BD＝5．【點評】本題考查了勾股定理，圓周角定理，解題的關鍵是求出∠ACB＝∠ADB＝90°．23．圖1是某學校存放學生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是車棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂的帆布的面積．（不考慮接縫等因素，計算結果保留π）【分析】根據題意，由圓的基本性質，可通過作輔助線建立模形，利用垂徑定理解答，也可用相交弦定理來解．解：連接OB，過點O作OE⊥AB，垂足為E，交于F，如圖，由垂徑定理，可知：E是AB中點，F是中點，∴EF是弓形高，∴AE＝AB＝2，EF＝2，設半徑為R米，則OE＝（R﹣2）米，在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2）2，解得R＝4，∵sin∠AOE＝，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120度．∴的長為＝π（m），∴帆布的面積為π×60＝160π（平方米）．【點評】本題考查用方程解幾何問題，方程是解決幾何有關計算問題的有效的方法和工具，通常結合勾股定理的形式出現．部分學生遇此問題，不能將實際問題抽象為數學問題．突破方法：聯系實際，將車棚頂部展開得長方形，其長為車棚長，寬為弧AB長．解題關鍵：在利用數學知識解決實際問題時，要善于把實際問題與數學中的理論知識聯系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題．24．如圖，直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線在第二象限內一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，與直線AB交于點C，過點P作x軸的平行線交拋物線于點Q，過點Q作x軸的垂線，垂足為點N，若點P在點Q左邊，設點P的橫坐標為m．①當矩形PQNM的周長最大時，求△ACM的面積；②在①的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，過直線AC上一點G作y軸的平行線交拋物線一點F，是否存在點F，使得以點P、C、G、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先求出A、B兩點的坐標，再代入拋物線y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可；（2）①先用m表示出PM的長，再求出拋物線的對稱軸及PQ的長，利用矩形的面積公式可得出其周長的解析式，進而可得出矩形面積的最大值，求出C點坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；②根據C點坐標得出P點坐標，故可得出PC的長，再分點F在點G的上方與點F在點G的下方兩種情況進行討論即可．解：（1）∵直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴A（﹣3，0），B（0，3）．∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵點P的橫坐標為m，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM＝﹣m2﹣2m+3．∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x＝﹣＝﹣＝﹣1，∴PQ＝2（﹣1﹣m）＝﹣2m﹣2．∴矩形PQMN的周長＝2（PM+PQ）＝2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）＝﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，當m＝﹣2時，矩形PQMN的周長最大，此時點C的坐標為（﹣2，1），CM＝AM＝1，∴S△ACM＝×1×1＝；②∵C（﹣2，1），∴P（﹣2，3），∴PC＝3﹣1＝2．∵點P、C、G、F為頂點的四邊形是平行四邊形，GF∥y軸，∴GF∥PC，且GF＝PC．設G（x，x+3），則F（x，﹣x2﹣2x+3），當點F在點G的上方時，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝2，解得x＝﹣1或x＝﹣2（舍去），當x＝﹣1時，﹣x2﹣2x+3＝4，即F1（﹣1，4）；當點F在點G的下方時，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）＝2，解得x＝或x＝，當x＝時，﹣x2﹣2x+3＝；當x＝時，﹣x2﹣2x+3＝，故F2（，），F3（，）．綜上所示，點F的坐標為F1（﹣1，4），F2（，），F3（，）．【點評】本題考查的是二次函數綜合題，涉及到平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質及二次函數圖象上點的坐標特點等知識，在解答（3）時要先判斷出平行四邊形的邊，再由平行四邊形的性質求解．25．