自動控制理論控制系統的數學模型1第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.引言系統的數學模型：描述系統輸入、輸出變量以及內部其他變量之間關系的數學表達式。控制系統中常見的二種數學模型形式：1、外部描述：把系統的輸出量與輸入量之間的關系用數學方式表達出來，稱之為輸入—輸出描述，或外部描述，例如微分方程、傳遞函數、框圖和差分方程。適用于單輸入、單輸出系統。2第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、內部描述：不僅可以描述系統的輸入、輸出之間的關系，而且還可以描述系統的內部特性，稱之為狀態變量描述，或內部描述，例如狀態變量空間法（矩陣），適用于多輸入、多輸出系統，也適用于時變系統、非線性系統和隨機控制系統。3第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日

對控制系統的研究，一般都是建立在模型基礎上進行的。常見的模型：

數學模型：微分方程、傳遞函數、頻率特性

————研究系統的動態特性

物理模型

：化學中的分子結構模型

物理學中的力—電模型

————研究系統的內部結構

圖模型：方塊圖、信號流程圖、樹圖等

————兩者皆有

4第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日工程上常用的數學模型：微分方程自變量為時間t控制系統在時間域的數學模型傳遞函數自變量為復數s控制系統在復數域的數學模型頻率特性自變量為頻率

w控制系統在頻域的數學模型5第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日“三域”模型及其相互關系6第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日

微分方程、傳遞函數和頻率特性分別是系統在時間域、復數域和頻率域中的數學模型。人們在研究分析一個控制系統的特性時，可以根據對象的特點和工程的需要，人為地建立不同域中的數學模型進行討論。習慣上把用微分方程的求解、分析系統的方法稱為數學分析法，把用傳遞函數、頻率特性求解、分析系統的方法稱為工程分析法。一般來說，工程分析法比數學分析法直觀、方便，這也是我們引入復域、頻域數學模型的主要原因。7第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第一節建立系統微分方程一、建立系統微分方程步驟（四步）1.明確系統的輸入－輸出量；2.列些每個元件的輸入－輸出的微分方程；3.各元件方程疊加，消中間量，求得系統輸出輸入方程；4.與輸出量有關項列左側，與輸入量有關項列右側。8第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、舉例例2-1R-L-C電路(P13)二階微分方程r(t)uc(t)(t)9第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日例2-3阻尼器系統(P15)二階微分方程10第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日本節重點：控制系統微分方程的建立的方法兩種典型控制系統微分方程的建立。11第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日復習：拉普拉斯變換12第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日本節主要內容：傳遞函數的定義傳遞函數的基本性質典型環節函數的數學模型第三次課第二節控制系統的傳遞函數13第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日

傳遞函數是經典控制理論中最重要的數學模型之一。利用傳遞函數，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統在輸入作用下的動態過程。

了解系統參數或結構變化時系統動態過程的影響--分析可以對系統性能的要求轉化為對傳遞函數的要求---綜合傳遞函數的基本概念14第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日一、傳遞函數的基本概念傳遞函數的定義：線性定常系統在零初始條件下系統（或元件）輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設系統輸入r（t），輸出c（t）則系統傳遞函數為15第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例如求RC電路傳遞函數。r(t)——輸入量c(t)——輸出量復域:——————傳遞函數時域：（RC=T）——微分方程16第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當傳遞函數和輸入已知時C(s)=G(s)R(s)。通過反變換可求出時域表達式c(t)。傳遞函數的基本概念稱為環節的傳遞函數式中：r（t）為輸入信號，c（t）為輸出信號為常系數設系統或元件的微分方程為：17第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日[關于傳遞函數的幾點說明]傳遞函數的概念適用于線性定常系統，它與線性常系數微分方程一一對應。且與系統的動態特性一一對應。傳遞函數不能反映系統或元件的物理性質。物理性質截然不同的系統可能具有完全相同的傳遞函數。而研究某傳遞函數所得結論可適用于具有這種傳遞函數的各種系統。傳遞函數僅與系統的結構和參數有關，與系統的輸入無關。只反映了輸入和輸出之間的關系，不反映中間變量的關系。18第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日傳遞函數的概念主要適用于單輸入單輸出系統。若系統有多個輸入信號，在求傳遞函數時，除了一個有關的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數忽略了初始條件的影響。傳遞函數是s的有理分式，對實際系統而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統。19第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日傳遞函數的基本概念例1[例1]求下圖的傳遞函數：20第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日電阻電容電感時域復數域21第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日傳遞函數的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數：22第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、典型環節及其數學模型

1、比例環節（又叫放大環節）特點：輸出量按一定比例復現輸入量，無滯后、失真現象。運動方程:c(t)=Kr(t)K——放大系數，通常都是有量綱的。傳遞函數：頻率特性：

23第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日一些比例環節24第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日實驗中的比例環節：25第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日

例：輸入：n1(t)——轉速Z1——主動輪的齒數

輸出：n2(t)——轉速Z2——從動輪的齒數運動方程：傳遞函數：頻率特性：

26第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、微分環節

特點：動態過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。運動方程：傳遞函數：

頻率特性：

27第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日微分環節舉例

28第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日實驗中的比例微分環節：29第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日例

RC電路

設：輸入——ur(t)

輸出——uc(t)

消去i(t)，得到：運動方程：

傳遞函數：（Tc=RC）當Tc<<1時，又可表示成：頻率特性：G（j）=jTc——此時可近似為純微分環節。30第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

3、積分環節

特點：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運動方程：傳遞函數：頻率特性：

31第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日例1：積分電路輸入為r(t)，輸出為c(t)

運動方程：

傳遞函數： （T=R1C）

頻率特性：

32第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日實驗中的比例積分環節：33第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日其它積分環節舉例34第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日

4、慣性環節(又叫非周期環節)

特點：此環節中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復現，存在時間上的延遲。運動方程：傳遞函數：頻率特性：

35第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例如求RC電路傳遞函數。r(t)——輸入量c(t)——輸出量復域:——————傳遞函數時域：（RC=T）——微分方程36第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日例：直流電機輸入量:ud——電樞電壓輸出量：id——電樞電流動態方程如下：運動方程：傳遞函數:式中Ld——電樞回路電感；

Rd——電樞回路電阻；

τd——電樞繞組的時間常數；37第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日其他一些慣性環節例子

一階水箱，水銀溫度計等38第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日

5、振蕩環節

特點：包含兩個獨立的儲能元件，當輸入量發生變化時，兩個儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振蕩的性質。運動方程：傳遞函數：式中：——阻尼比，T——振蕩環節的時間常數。頻率特性：

39第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日例1：RLC電路解：消去中間變量i(t)得到運動方程：傳遞函數：頻率特性：

40第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3：機械裝置

輸入----------力：f(t)，輸出----------位移：x(t)。微分方程式中：K——彈簧彈性系數；

M——物體的質量，

B——粘性摩擦系數。

傳遞函數：

41第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日

6、一階微分環節

特點：此環節的輸出量不僅與輸入量本身有關，而且與輸入量的變化率有關運動方程：傳遞函數：

G(s)=Ts+1 頻率特性：

G(j)=jT+1

42第四十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日RC電路輸入：u(t)，輸出：i(t)，則

傳遞函數：