數學（第2冊）三角計算及其應用第五

章兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第一節二倍角的正弦、余弦和正切公式第二節三角函數的積化和差和差化積第三節正弦型曲線第四節目錄CONTENTS解斜三角形第五節三角計算應用舉例第六節第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的余弦公式一、由此可知，一般情況下，對于任意兩個角α，β，cos(α+β)≠cosα+cosβ.那么，cos(α+β)與α,β的三角函數值到底有什么關系呢？如何計算cos(α+β)的值呢？下面我們來討論這個問題.第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學習提示第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如圖5-1所示，設

∠BOA,∠COA的大小分別為α,β.為簡單起見，我們先假定α,β均為銳角.以OA為始邊，記∠BOA,∠COA的終邊分別與單位圓的交點為B,C.點B的坐標為(cosα,sinα)，點C的坐標為(cosβ,－sinβ)，因此向量OB=(cosα,sinα)，向量OC=(cosβ,－sinβ),且OB=1,OC=1，于是

OB·OC=OB·OC·cos(α+β)=cos(α+β)，圖5-1第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式又由于

OB·OC=（cosα，sinα）·（cosβ,-sinβ）=cosαcosβ－sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.由此，我們得到了兩角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.（5-1）式（5-1）反映了α+β的余弦函數值與α,β的三角函數值之間的關系.第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式將式（5-1）中的β換成－β，則有cos(α－β)=cos［α+(－β)］=cosαcos(－β)－sinαsin(－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

由此，我們得到了兩角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.（5-2）式（5-2）反映了α－β的余弦函數值與α,β的三角函數值之間的關系.第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學習提示第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例1】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例2】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例3】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例4】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學習提示課堂練習不用計算器，求下列各式的值：（1）cos105°；（2）cos225°.第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦公式二、我們已經學習了兩角和與差的余弦公式，那么，兩角和與差的正弦公式是怎么樣的呢？根據兩角和的余弦公式式（5-1）我們可以計算出cosα+=－sinα，因此有sinα=－cosα+

這一等式.這說明余弦函數與正弦函數之間是可以互相轉化的，也為我們推導兩角和的正弦公式提供了有力的幫助.第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學習提示第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式將式（5-3）中的β換成－β，則有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.

由此，我們得到了兩角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.（5-4）式（5-4）反映了α－β的正弦函數值與α,β的三角函數值之間的關系.第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例6】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例7】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式例7是否還有別的解法？想一想第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學習提示第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課堂練習1.求下列各式的值：（1）sin105°；（2）sin165°；（3）sin225°.2.化簡下列各式，并求值：（1）sin26°cos19°+cos26°sin19°；（2）sin80°cos35°－cos80°sin35°.第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正切公式三、根據兩角和與差的正弦公式、余弦公式可知第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例10】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式例10求tan285°的值還有其他算法嗎？想一想第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例11】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【例12】第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課堂練習第二節二倍角的正弦、余弦和正切公式在式（5-1）中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式：cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos2α－sin2α,

即cos2α=cos2α－sin2α.（5-7）同理，在式（5-3）中，令α=β，就可以得到二倍角的正弦公式:sin2α=2sinαcosα.（5-8）因為sin2α+cos2α=1，所以式（5-7）又可以寫為cos2α=2cos2α－1，

（5-9）cos2α=1－2sin2α，

（5-10）第二節二倍角的正弦、余弦和正切公式第二節二倍角的正弦、余弦和正切公式【例1】第二節二倍角的正弦、余弦和正切公式【例2】第二節二倍角的正弦、余弦和正切公式學習提示第二節二倍角的正弦、余弦和正切公式【例3】第二節二倍角的正弦、余弦和正切公式課堂練習第三節三角函數的積化和差和差化積觀察兩角和與差的正弦公式：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ兩式相加得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，即

sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］.第三節三角函數的積化和差和差化積通過公式（5-14），三角函數由積的形式轉化成了和或差的形式，因此，我們稱其為積化和差公式.第三節三角函數的積化和差和差化積你能發現哪里運用了換元的思想嗎？試著說一說換元的好處？想一想第三節三角函數的積化和差和差化積第三節三角函數的積化和差和差化積通過公式（5-15），三角函數由和或差的形式轉化成了積的形式，因此，我們稱其為和差化積公式.第三節三角函數的積化和差和差化積公式（5-14）和公式（5-15）的發現，實現了三角函數積的形式與和或差的形式的相互轉化，為我們以后的計算和研究提供了方便.第三節三角函數的積化和差和差化積【例1】第三節三角函數的積化和差和差化積【例2】第三節三角函數的積化和差和差化積第三節三角函數的積化和差和差化積第三節三角函數的積化和差和差化積課堂練習1.把下列各式化成和或差的形式：（1）2sin64°cos10°;(2)2sin84°cos132°.2.把下列各式化成積的形式：（1）sin54°+sin22°;(2)sin5α-sin3α.第四節正弦型曲線生活中有哪些函數屬于正弦型曲線？試舉例說明.思考與討論第四節正弦型曲線正弦型函數的概念和性質一、我們已經學習了正弦函數y=sinx和余弦函數y=cosx.在物理學和電學中，我們經常會遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數，這類函數稱為

正弦型函數.它與正弦函數y=sinx有著密切的關系.在正弦型函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，則

y=Asin(ωx+φ)=Asinz.第四節正弦型曲線第四節正弦型曲線第四節正弦型曲線【例1】第四節正弦型曲線【例2】第四節正弦型曲線第四節正弦型曲線圖5-2第四節正弦型曲線第四節正弦型曲線【例3】第四節正弦型曲線學習提示第四節正弦型曲線課堂練習第四節正弦型曲線正弦型函數的圖像二、在研究正弦函數y=sinx的圖像時，我們介紹過“五點法”作圖，即選取(0,0),,1，(π,0),,－1,(2π,0)作為五個特殊點來作圖.正弦型函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像與正弦函數的圖像類似，我們一般也采用“五點法”來作正弦型函數的圖像.正弦型函數的圖像稱為

正弦型曲線.第四節正弦型曲線在y=Asin(ωx+φ)中，令z=ωx+φ，我們分別取z=0,,π,,2π，求出對應的x的值和函數值y，構成五組(x,y).分別以每組的(x,y)為坐標描點，描出對應的五個關鍵點，然后用光滑的曲線連結各點，即可以得到正弦型函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一個周期內的圖像.第四節正弦型曲線下面我們以具體的例題為例，作正弦型函數在一個周期內的簡圖.第四節正弦型曲線【例4】第四節正弦型曲線第四節正弦型曲線圖5-3第四節正弦型曲線圖5-4第四節正弦型曲線課堂練習第四節正弦型曲線正弦型函數的應用三、在電學中，電流強度的大小和方向都隨時間變化的電流稱為

交變電流

，簡稱

交流電.最簡單的是簡諧交流電，其電流強度的大小和方向隨時間而變化，可以用如下函數來表示：

I=Imsin(ωt+φ0)(Im>0,ω>0,－π≤φ0≤π)，其中Im是電流強度的最大值，稱為簡諧交流電的峰值；ω稱為

角頻率

，單位為rad/s；ωt+φ0稱為

相位

，φ0稱為初相位，簡稱初相；稱為簡諧交流電的變化周期，表示交流電完成一次周期性變化所需要的時間，單位為s；單位時間內，交流電完成周期性變化的次數稱為

頻率

，用f表示，單位為Hz（赫茲）.第四節正弦型曲線第四節正弦型曲線想一想如果把函數改為I=13sin（50πt+

）會使其峰值、周期、初相位和頻率發生怎樣的變化？第四節正弦型曲線【例6】第四節正弦型曲線【例7】已知簡諧交流電的電流強度I（單位：A）隨時間t（單位：s）變化的部分曲線如圖5-6所示，試寫出I與t的函數關系.解

電流強度I隨時間t的變化滿足正弦型函數關系，故設所求的函數關系式為

I=Imsin(ωt+φ0).圖5-6第四節正弦型曲線第四節正弦型曲線課堂練習第五節解斜三角形正弦定理一、在直角三角形中，利用三角形內角和定理、勾股定理以及銳角的三角函數就可以由已知的邊和角求出未知的邊和角.但是，對于一般的三角形，我們該怎樣求呢？第五節解斜三角形第五節解斜三角形圖5-8第五節解斜三角形學習提示第五節解斜三角形圖5-9第五節解斜三角形第五節解斜三角形圖5-10第五節解斜三角形第五節解斜三角形【例1】第五節解斜三角形【例2】第五節解斜三角形

你能否根據上面三個例題的解答，歸納總結出利用正弦定理求解這三角形的兩種情況.想一想第五節解斜三角形學習提示第五節解斜三角形課堂練習1.已知在△ABC中，∠A=45°,∠B=30°,b=3，求∠C的度數和a的值.2.已知在△ABC中，b=22,c=4,∠B=30°，求∠C的度數.第五節解斜三角形余弦定理二、正弦定理揭示了任意三角形中邊與角的一種數量關系，而揭示任意三角形中邊與角的數量關系的另一個重要結論是余弦定理.如圖5-11所示，建立平面直角坐標系，設△ABC是任意三角形，點A與原點重合，且AB=c,AC=b,BC=a，則點B的坐標為(ccosA,csinA)，點C的坐標為(b,0).根據兩點間的距離公式得第五節解斜三角形圖5-11第五節解斜三角形a=BC=(b－ccosA)2+(0－csinA)2,

兩邊平方得a2=(b－ccosA)2+(0－csinA)2=b2－2bccosA+c2cos2A+c2sin2A=b2－2bccosA+c2(cos2A+sin2A)=b2+c2－2bccosA,即得a2=b2+c2－2bccosA.試用同樣的方法證明其他兩式.思考與討論第五節解斜三角形同理可得b2=a2+c2－2accosB，c2=a2+b2－2abcosC.可以證明，上述結論對任意三角形都成立，于是得到下面的余弦定理.余弦定理

：三角形中任意一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦乘積的2倍，即a2=b2+c2－2bccosA,b2=a2+c2－2accosB,c2=a2+b2－2abcosC.

（5-18）顯然，當C=90°時，有c2=a2+b2，這就是說勾股定理是余弦定理的特例.第五節解斜三角形第五節解斜三角形學習提示第五節解斜三角形【例4】第五節解斜三角形【例5】第五節解斜三角形【例6】第五節解斜三角形課堂練習1.在△ABC中，已知a=3,b=2,∠C=150°，求c的值.2.在△ABC中，已知a=20,b=29,c=21，求∠B的度數.第五節解斜三角形【例7】圖5-12正弦定理與余弦定理的應用三、第五節解斜三角形第五節解斜三角形【例8】圖5-13第五節解斜三角形第五節解斜三角形課堂練習山頂上有一座塔，塔高為50m，從山下地面的某一點測得塔頂仰角為75°，塔底仰角為60°，求山的高度.第六節三角計算應用舉例【例1】第六節三角計算應用舉例圖5-17第六節三角計算應用舉例解

根據圖像，很容易知道A,ω和b的值，再根據圖像經過的點，利用待定系數法可以求出φ的值.（1）由圖像可知，這段時間的最大溫差為20℃.（2）根據圖像可知，7—15時的圖像是函數y=Asin(ωt+φ)+b的半個周期，所以第六節三角計算應用舉例由（1）知，這段時間的最大溫差為20℃，所以A=10，進而求得b=20.將t=7,y=10代入函數表達式y=Asin(ωt+φ)+b中，得第六節三角計算應用舉例現有寬分別為a,b的兩塊木板，如圖5-18所示，要對接成θ的角，該怎樣制作？過點A作∠CBD兩邊的垂線AC,AD，垂足分別為C,D.設∠ABD=x，則制作的關鍵是計算出x.只要計算出x，則∠ABC=θ－x.按照這兩個角度，沿AB對接即可接成圖中所示的θ角.現在我們討論計算角x的方法.圖5-18第六節三角計算應用舉例第六節三角計算應用舉例【例2】如圖5-19所示，現有寬分別為20cm和40cm的兩塊木板，要對接成60°的角.應該怎樣制作？圖5-19第六節三角計算應用舉例第六節三角計算應用舉例在一個圓中作一條弦，由弦及其所對的弧組成的圖形稱為

弓形.這段弧稱為弓形的

弧.垂直于弦的直徑被弦分為兩部分，分別為這兩個弓形的高.如圖5-20所示，上部為一個弓形，d表示弓形所在的圓的直徑，L表示弓形的弦長，h表示弓形的高.圖5-20第六節三角計算應用舉例第六節三角計算應用舉例【例3】圖5-21第六節三角計算應用舉例閱讀材料

三角函數簡史之角與弦

角的概念會產生歧義，因為它既描述了兩條相交直線之間“分離”這個定性的概念，也描述了這種分離程度的數值（角的度量）.而在兩個點之間的“分離”上卻沒有這種歧義，因為線段和長度這兩個概念能分得很清楚.好在我們不需要擔心這種混淆，因為在三角學中，我們只關注線段與角的性質當中可以量化的部分.閱讀材料三角學算是最古老的學科了，真要說起來，它的歷史比平面幾何還早，當然如果把早期的三角學計算也算作平面幾何的一部分的話那就另當別論了.如今中學生接觸的三角學，是以直角三角形為基準的各邊之比的定義得來的；然后到了高中就將三角函數定義放到圓和坐標系里，這一點倒是符合三角學的歷史發展的.數學史上第一份三角學資料，也是拿來解直角三角形的.閱讀材料一、角度平面上的運動只有兩種——平移和旋轉.平移的程度由距離和面積來度量，而旋轉的程度則由角度來度量，對長度的定義一直以來都沒什么難度，確定一個單位長度標準就行了.對角度的定義卻沒那么簡單——角度描述兩條相交直線之間的相離程度，到底多大程度才能定為一個標準？相對于距離來說，角度的大小更充滿“定性”的味道.好在巴比倫人利用了圓這一個標準——他們將圓從圓心分成了360份，要衡量一個角度大小，只需要將角度的頂點與圓心重合，算出對應的弧長占圓周長的百分數，就能夠衡量這個角的大小了.閱讀材料其中有一個解釋是，因為巴比倫人使用的是六十進制，所以實際上它們是將一個圓分成了六個進制.這樣的一個好處就是分出來的每一份中對應的弦長與半徑相等.另一個解釋就是360份恰與一年的天數很接近.當然從未有任何證據說明這一點，一切都只是猜測，所以對于360°的規定的具體原因已經不知.但這利用圓來衡量角度的方法一直很有效，流傳至今.不久之后，希臘人采用了這一套系統，如托勒密在他的《至大論》中就使用了這一系統.閱讀材料一直以來，六十進制作為一種計數法，早已被十進制淘汰，但作為角度和時間的度量卻一直流傳了下來.這種制度是如此受歡迎，即使是在“公制化的創始地”法國也無法被替代.這倒是很有趣的現象.到了近代，出現了另一種度量制度——弧度制，1弧度就是圓上的弧長等于半徑時所對的圓心角.我們經常聽說采用弧度制的原因是能夠用較小的數字表示角.實際上并非如此，采用弧度制的