20231數學本試卷共6頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的市（縣、區、學校、姓名、班級、座位號和準考證號填寫在答題卡上，并填涂10位準考證號（考號．22B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．8540符合題目要求的．1．已知集合A{x1x4},B{x0x3}，則A B（A．{x1x4} B．{x0x3} C．{x1x3}復數z滿足z(1)2i（i為虛數單位，則復數z（ ）A．1i B．1i C．1i D．1i

）D．{x0x4}221分鐘內的跳繩個數如下（單位：個）：69 77 92 98 99 100 102 103 115 116 116122 123 124 127 128 129 134 140 142 143 159估計該校學生在1分鐘內跳繩個數的第65百分位數為（ ）A．124 B．125.5 C．127 D．127.5圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）PMhPNl2A處的水平面．已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯2326）在某地利用一表高為2dm的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為2.98dm，則該地的緯度約為北緯（參考數據：tan340.67,tan561.49）（ ）x21x2A．2326 B．3234 C．34 D．5．函數ysinx21x2B． C． D．x24y25已知F為雙曲線： 1的左焦點，P為其右支上一點，點6)，則x24y25（ ）2A．462

B．46

2C．662

D．665656條棱都相切的球稱為正三棱錐的棱切球．若正三棱錐的底面邊長為2565

，側棱長為3，則此正三棱錐的棱切球半徑為（ ）66 A． 2 B． 66

C．6 4

D．6 43232設數列3232

nSan n

1，且2Sn

an1

1nN n，都有abab

ab

a

3nn1成立，則滿足等式b

b

an為1n 2

n1

3n2 n1

1 2 3 n n（ ）3

B．2或3 C．1或4 D．2或44520520分．9．已知圓Cx

(y2)2

25，直線l:(2m1)x(m1)y7m40，則（ ）l過定點(3,1)lC可能相離6Cy軸截得的弦長為46Cllx2y5010．函數f(x)AcosxA0,0,

2212f 12

0,f

2，則下列選項中正確的有（ ）2 12 32 23f(x23

x

12是奇函數f(x的單調遞增區間為12

,2k2k3

(kZ)2k2k3f

xf

x01212 1212 隨著春節的臨近，小王和小張等4收齊后讓每人從中隨機抽取一張作為收到的新春祝福，則16131358已知正數a，b滿足等式a2b2(2lnblna)，則下列不等式中可能成立的有（ ）1 1ab2

a

C．ab1 D．ba12 2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13fx)x2x,ax2x,

x0為奇函數，則a ．x0(xy)(xy)6的展開式中x3y4的系數為 （用數字作答．若

1，則cosxsin2sin2x 3cos2xsinx 3cosx

．33

A，By軸對稱的兩點，且|OA2．若存在mnR，使得mABOA與

nABOB垂直，且|(mAB(nABOB)2，則|AB|的最小值為 ．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17（10分）己知等差數列a的各項均為正數．若分別從下表的第一、二、三列中各取一個數，依次作為na,a,a1 2

，且aaa1 2

，中任何兩個數都不在同一行．第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876求數列的通項公式；n設bnn

n1

，數列b16165

的前n項和為Tn

．求證：T ．343418（12分）如圖，在△C中，角，，C的對邊分別為a，，．已知(bc)cosAacosBacosC0．A；DBC延長線上一點，且CAD

4,BD3CD，求tanACB419（12分）如圖，三棱柱CAB

ACC

為矩形，ABAC且ABAC2，D為BC

BC2

1 1 1 112．21 1 1 1AC∥ABD；1 1ABCAAD所成的夾角的余弦值．1 120（12分）在數字通信中，信號是由數字“0”和“”組成的序列．現連續發射信號n“0”和“11X．（1）當n6PX2)；（2）已知切比雪夫不等式：對于任一隨機變量y，若其數學期望E(Y)和方差D(Y)均存布，則對任意正實D(Y)a2aP(|YE(Ya)D(Y)a2

|YE(Ya”的概率作出下限估計．為了至少有98%的把握使發射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計信號發射次數n的最小值．21（12分）設拋物線y22x，過點P的直線B分別與拋物線相切于，B兩點，且點A在x軸下方，點B在x軸上方．P的坐標為(1,2)時，求|AB|；CxBCxNABxM，且S4|AM3|BM|，若△ABCxS△ABC的最大值．S△BMNex1x22（12分）已知函數f(x)ex1xf(x的單調性；a，b是兩個不相等的正數，且alnbblnaablnab2．數學參考答案題號1答案B2 3 4 5 6 7 8D C B A B C A8題號1答案B2 3 4 5 6 7 8D C B A B C A題號9 10 11 12答案AC AD BC AC455題號9 10 11 12答案AC AD BC AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．313．1 14．5 15．1 16．232四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．解答：（1）由題可得a1

3,a2

7,a3

11故a34(n1)4nNn16165nn

n1

且a 4n1，n164n(4n4164n(4n415)1n(n2)n1n1n211n1n22 ．2 1n11n11n2∴T1111111 1n11n11n22n 3 2 4 3 5 n 21n11n24 24 31n11n24 24 解：（1）由條件及正弦定理可得(sinBsinC)cosAsinAcosBsinAcosC0即sinBcosAcosBsinAsinCcosAcosCsinA0故sin(BA)sin(CA)0則有sin(BA)sin(AC)BA(,),CA(,)BAAC，或(B)(AC)（舍去，或(B)(AC)（舍去．BC2AABC3所以A 3（2）設ACB，在和△ACD中，由正弦定理可得BDsinBDsin3 4ADsin3CDsin4ADsin()CDCD)sin4BDsin3sin3 4sin(sin()sin33sinsin43 4333312sin23cos1sin23∴tan963解：（1）ABABO，連接OD1 1∵ABCAB

為三棱柱1 1 1∴ABBA11

OAB1

的中點又∵DB

的中點1 1∴AC∥OD1ODABDACABD1 1 1∴AC∥平面ABD．1 1（2）解法1：∵CAAB CAAA1

AB AAA1CAABBA11∵AB1

面ABBA11∴CAAB1CB2AC21(2 2)22CB2AC21(2 2)2221∵AB2,AB1

2,BB2212∴AB2AB2BB2,即ABAB1 1 1以A為坐標原點，AB,AB,AC分別為x，y，z建立空間直角坐標系，1A(0,0,0),A(2,2,0),B(2,0,0),B(0,2,0),C(2,2,2),D(1,2,1)1 1 1 ∴AA1

(2,2,0),AD(1,0,1)1∵ABAB1

,ABAC,AB1

ACAABABCABC的一個法向量為

(1,0,0)1

2x2y0設平面AAD的法向量為n

(x,y,z)，則 1 2 即1 2 AD

0 xz0x1,y1,z1n2

1 2(1,1,1)ABCAAD所成夾角為，|1101|11010(1)|1 11(1)21333n∴sn1

n n233∴平面ABC與平面AAD331 1解法2：設點E為BC的中點，點F為AC的中點，連接DE交BC于點Q，連接AE,AQ,EF，1設點P為AQ的中點，連接EP,FP．EBCDB

的中點∴1

EQ

12BB121

1 12，點Q為BC的中點21∵ACCA11

為矩形，∴ACAA1ACABAB1

A，∴AC平面ABBA11∴ACAB1∴在△ACB1

中，ACAB1

,AC2,BC2212

AB21∴△ABCAC

2,BC221 1 122而點Q為BC的中點，∴AQBC且AQ21 1∵點P為AQ的中點，點F為AC的中點CFP1∴FPAQ

CQ BC1214121422Rt△ABCABAC2EBC的中點2∴AE22∴在AEEQAQ262∴EPAQ且EP62

，且點P為AQ的中點ABCAAD所成的夾角1 1126222∴在中，EF AB1,FP ,126222EP2FP2EF2EP2FP2EF22EPFP3320．解：（1）XB6,1，2 2 PX2)PX0)PX1)PX2)12 12

115

12 4C0

C2

；6

622

62 1216466415641132（2）XB1216466415641132

，所以E(X)0.5n,D(X)0.25n，1212Xn若0.4Xn

0.6，則0.4nX0.6n，即0.1nX0.5n0.1n，即|X0.5n|0.1n．0.25n(0.1n)2由切比雪夫不等式P(|X0.1n)0.25n(0.1n)20.25n(0.1n)2要使得至少有98%的把握使發射信號“10.40.25n(0.1n)2解得n1250，所以估計信號發射次數n的最小值為1250．

0.98，21．解：（1）Ax,y2x2x

,Bx,y，2 2∵y2

2x，∴y

，∴y

，∴k 1y11y1y1∴l :yyPA 1

xx1y1y1又∵P(1,2)1y∴l :2y1y

1xy11xPA 11y1 1xy1

1 1 2 1∴1 2

1

2 y21

2x6166同理可得y 2 ．62∴yy1

2 6,xx1 2

2y1

y4 ，6302630xxx2yy21 2 1 2（2）令Cx,y3 3

(4 6)2(2 6)2(4 6)2(2 6)21 2

0．

2 ．S△ABCS1ABBCsinS△ABCS1ABBCsinABC1BMBNsinABC22ABBMBCBN

1 AMBMCNBN AMBMCNBN△BMNy1y1y1y

1

yy1yyy1y3y11

y3y222 y3y222 yy

y

y

y2yy2

1 32 1 1y2 y22 2

2 2

1 1 2y22y1yy1y1294y1y 2 y1yy1y1294y1y

222 222|AM||BM|34y1y∵4|AM3|AM||BM|34y1y234y1y∴ 34y1y9494y1y12S△ABCS∴當 y1y12S△ABCS2

取得最大值．ex1x22．解：（1）證明：（1）f(x) 的定義域為(,0)ex1x(x1)ex1x2fx) f(x(x1)ex1x2當x變化時f(x),f(x)的關系如下表：xxfxfx,0-0\0,1-10+f(x在(,0),(0,1)上單調遞減；在上單調遞增．（2）證明：要證ablnab2(alnbblna2根據alnbbln