(數學)2017年全國高中數學聯賽江蘇復賽試題+Word版含答案LtDPAGEPAGE42017年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽一、填空題（每題8分，滿分64分，將答案填在答題紙上）1.若數列滿足，則的值為．2.若函數對于任意都滿足，則的最小值是．3.在正三棱柱中，分別是側棱上的點，，則截面與底面所成的二面角的大小是．4.若，則．5.設是實數，則的最大值是．6.設,則中能被整除但不能被整除的數的個數是．7.在直角平面坐標系中，分別是雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切元素.試卷答案1.2.3.4.5.6.2527.8.3432二、解答題9.解：因為，所以，所以當時，所以的最小值為10.解：（1）因為，所以直線與軸平行時，或與重合，不合題意.設，則將代入，得所以同理所以，直線,即，化簡得直線縱截距是常數，故直線過定點（2）由（1），，同理，所以不妨設，令，則，可化得，即設，則切點弦的方程是，又在上，所以，從而所以到的距離因此的面積令，則，化得當時，遞增，所以，即，當且僅當，即時，等號成立，故的面積的取值范圍是11.解：（1）用數學歸納法證明如下：（ⅰ）當時，令，則恒成立，所以在區間為增函數，又因為，所以，即（ⅱ）假設時，命題成立，即當時，，則時，令，則，所以在區間為增函數，又因為，所以恒成立，即，所以時，命題成立.由（ⅰ）（ⅱ）及歸納假設可知，，當時，（2）由（1）可知，即，所以，即，下證：下面先用數學歸納法證明：當（ⅰ）當時，令，則，所以在區間單調增，又，故，即（ⅱ）假設時，命題成立，即當時，則當時，令，，所以在區間上為增函數，又，故，即.由（ⅰ）（ⅱ）及歸納假設，可知當時，對成立，所以，從而即，證畢.復賽加試答案1.證明：連接因為五邊形內接于圓，所以,所以,所以①同理，,②③由①②③得因為,所以所以，即點是弧的中點， 所以2.解：因為是不相鄰的整數，所以由于是整數，所以設，即，則，則，于是，從而，故又因為①令，得，代入①得，于是，，因此，，并且，即，解之得，從而，且，故所以3.證明：首先證明一定存在紅色三角形（三邊均為紅色的三角形為紅色三角形，下同）.設從頂點出發的紅色線段最多，由引出的紅色線段為，則若中存在兩點，不妨設為使線段為紅色線段，則為紅色三角形，若相互之間沒有紅色線段相連，則從出發的紅色線段最多有條，所以這個點紅色線段最多有與題設矛盾，所以存在以為頂點的紅色三角形，下面用數學歸納法證明，（1）當時，平面上有四個點中兩兩連線共有條，其中有條為紅色，只有一條非紅色，設為則與均為紅色三角形，命題成立，（2）假設時，命題成立，即至少存在個紅色三角形，當時，有個點，且有條紅色線段，一定存在一個紅色三角形，設為考察從引出的紅色線段分別記為條，不妨設若，則除去點余下的個點之間至少有,由歸納假設可知存在至少個紅色三角形，再加上至少有個紅色三角形，若，則,故從出發向其它個點引出紅色線段至少有條，因為這線段至少有對線段有公共點（不包括）故至少存在個紅色三角形，再加上，則至少有個紅色三角形，所以時命題也成立，由（1）（2）可知，當時，點之間的條紅色線段至少可組成個紅色三角形.4.證明：引理：設為素數，為非負整數，令，其中為互素的正整數，那么