高三數學（理）一輪復習教學設計第九編分析幾何

總第

45期§9.3

圓的方程基礎自測1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是.答案-2＜a＜232.圓x2+y2+2x-4y+1=0對于直線2ax-by+2=0（a、b∈R）對稱，則ab的取值范圍是.答案1,4過點A（1，-1），B（-1，1），且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是

.答案

（x-1

）2+(y-1)

2=44.以點（

2，-1

）為圓心且與直線

3x-4y+5=0

相切的圓的方程為

.答案

(x-2)

2+(y+1)

2=95.直線

y=ax+b

經過第一、三、四象限，則圓（

x+a）2+(y+b)

2=r2

(r

＞0)的圓心位于第

象限.答案

二例題精講例1已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為.答案x2+y2-4x=0例2已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2知足條件：y1+y2=4,y1y2=12m.5∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此時＞0,圓心坐標為1,3，半徑r=5.22方法二如下圖，設弦PQ中點為M，∵O1M⊥PQ，∴kO1M=2.∴O1M的方程為:y-3=2x1,即：y=2x+4.2由方程組y2x4x2y30

.解得M的坐標為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設為（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上.∴（0+1）2+（22222.0-2）=r，即r=5,MQ=r在2222Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ.∴1122+5=1(6)24m.4

+（3-2）∴m=3.∴半徑為5,圓心為1,3.22方法三設過P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，點O（0，0）在圓上.∴m-3=0，即m=3.∴圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圓心M1,2(3)，22又圓在PQ上.∴-1+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圓心為1,3，22半徑為5.2例3已知實數x、y知足方程x2+y2-4x+1=0.1）求y-x的最大值和最小值；2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b獲得最大值或最小值，此時20b3，解得b=-2±6.因此y-x的最2大值為-2+6，最小值為-2-6.2）x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處獲得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為(20)2(00)2=2，因此x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43，x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.穩固練習（2008·山東文，11）若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標準方程是.答案(x-2)2+(y-1)2=12.已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).1）證明：無論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；2）求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程.1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即無論m取什么實數，它恒過兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點.雙方程聯立，解得交點為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴點（3，1）在圓內部，∴無論m為什么實數，直線l與圓恒訂交.（2）解從（1）的結論和直線l過定點M（3，1）且與過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2r2CM2=225[(31)2(12)2]=45.此時，kl=-1,進而kl=-1kCM2113

=2.∴l的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.已知點P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上隨意一點.1）求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求y2的最大值和最小值.x1解（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=

3(2)4012=6.∴P點到直線3x+4y+12=0的距離32425的最大值為d+r=6+1=11，最小值為d-r=6-1=1.55552）設t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點.2t1222

≤1.∴-5-2≤t≤5-2，∴tmax=5-2，tmin=-2-5.（3）設k=y2，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1x1有公共點，∴3k2≤1.∴33≤k≤33,∴kmax=33，k21444kmin=343.回首總結知識方法思想課后作業一、填空題1.圓x2+y2-2x+4y+3=0的圓心到直線x-y=1的距離為.答案22.兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點P在圓（x-1）2+(y-1)2=4的內部，則實數a的取值范圍是.答案-1＜a＜153.已知A（-2，0），B（0，2），C是圓x2+y2-2x=0上任意一點，則△ABC面積的最大值是.答案3+2圓心在拋物線y2=2x上且與x軸和該拋物線的準線都相切的圓的方程是.答案x2+y2-x±2y+1=045.若直線2ax-by+2=0(a＞0,b＞0)一直均分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長，則11的最小值ab是.答案4從原點O向圓：x2+y2-6x+27=0作兩條切線，切點分4別為P、Q，則圓C上兩切點P、Q間的劣弧長為.答案（2008·四川理，14）已知直線l：x-y+4=0與圓C：x-1）2+（y-1）2=2，則C上各點到l距離的最小值為.答案2以直線3x-4y+12=0夾在兩坐標軸間的線段為直徑的圓的方程為.答案（x+2)2+y23=2524二、解答題依據以下條件求圓的方程：（1）經過坐標原點和點P（1,1），而且圓心在直線2x+3y+1=0上；2）已知一圓過P（4,-2）、Q(-1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為43,求圓的方程.解（1）明顯，所求圓的圓心在OP的垂直均分線上，OP的垂直均分線方程為：x2y2=(x1)2(y1)2，即x+y-1=0.解方程組xy10,得圓心C的坐標為（4，-3）.2x3y10又圓的半徑r=|OC|=5,因此所求圓的方程為（x-4）2+(y+3)2=25.2）設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0①將P、Q點的坐標分別代入①得：令x=0，由①得y2+Ey+F=0④由已知|y1-y2|=43，此中y1、y2是方程④的兩根，因此（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤解②、③、⑤構成的方程組得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.解將圓方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,其圓心為C（1，1），半徑r=1,如圖，因為四邊形PACB的面積等于Rt△PAC面積的2倍，因此PACB12|PA|×r=|PC|21.∴要使四邊形PACB面積最小,只要|PC|最小.

②③當點P恰為圓心C在直線3x+4y+8=0上的正射影時,|PC|最小,由點到直線的距離公式,得|PC|min=348=3,5故四邊形PACB面積的最小值為22.已知圓x2+y2=4上必定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點.求線段AP中點的軌跡方程;若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.解(1)設AP中點為M(x,y),由中點坐標公式可知,P點坐標為(2x-2,2y).P點在圓x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4.故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.設PQ的中點為N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,設O為坐標原點,連接ON,則ON⊥PQ,因此|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,因此x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l:x-y+10=0上.若動圓C過點(-5,0),求圓C的方程;是否存在正實數r,使得動圓C中知足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個，若存在,懇求出來;若不存在,請說明原因.解(1)依題意,可設動圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=25,此中圓心(a,b)知足a-b+10=0.又∵動圓過點(-5,0),∴(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程組ab100,(5a)2(0b)225可得a10或