PAGEPAGE4函數奇偶性的概念(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.下列函數為偶函數的是()A.f(x)=x4-1 B.f(x)=x2(-1<x<3)C.f(x)=x+ D.f(x)=【解析】選A.選項A中,f(-x)=x4-1=f(x)且定義域為R,故該函數為偶函數;選項B中的函數定義域不關于原點對稱,故該函數為非奇非偶函數;選項C中,f(-x)=-x-=-=-f(x),又定義域關于原點對稱,故該函數為奇函數;選項D中,f(-x)=-=-f(x),又定義域關于原點對稱,故該函數為奇函數.2.下面四個結論:①偶函數的圖象一定與y軸相交;②奇函數的圖象一定過原點;③偶函數的圖象關于y軸對稱;④沒有一個函數既是奇函數,又是偶函數.其中正確的命題個數是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.函數y=是偶函數,但不與y軸相交,故①錯;函數y=是奇函數,但不過原點,故②錯;函數f(x)=0既是奇函數又是偶函數,故④錯.【補償訓練】已知f(x)是偶函數,且在區間(0,+∞)上是增函數,則f(-0.5),f(-1),f(0)的大小關系是()A.f(-0.5)<f(0)<f(-1)B.f(-1)<f(-0.5)<f(0)C.f(0)<f(-0.5)<f(-1)D.f(-1)<f(0)<f(-0.5)【解析】選C.因為函數f(x)為偶函數,所以f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1).又因為f(x)在區間(0,+∞)上是增函數,所以f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-0.5)<f(-1).3.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),則F(x)是()A.奇函數B.偶函數C.既是奇函數又是偶函數D.非奇非偶函數【解析】選B.F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).又x∈(-a,a)關于原點對稱,所以F(x)是偶函數.4.已知函數f(x)為奇函數,且當x>0時,f(x)=x2+,則f(-1)等于()A.-2 B.0 C.1 D.2【解析】選A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.5.設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數,則下列結論恒成立的是()A.f(x)+|g(x)|是偶函數B.f(x)-|g(x)|是奇函數C.|f(x)|+g(x)是偶函數D.|f(x)|-g(x)是奇函數【解析】選A.由f(x)是偶函數,可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函數,可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|為偶函數,所以f(x)+|g(x)|為偶函數.6.若f(x)為R上的奇函數,給出下列四個說法:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)-f(-x)=2f(x);③f(x)·f(-x)<0;④=-1.其中一定正確的個數為()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.因為f(x)在R上為奇函數,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故①正確.f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故②正確.當x=0時,f(x)·f(-x)=0,故③不正確.當x=0時,=無意義,故④不正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.下列圖象表示的函數是奇函數的是,是偶函數的是(填序號).

【解析】①③關于y軸對稱是偶函數,②④關于原點對稱是奇函數.答案:②④①③8.若函數f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函數,則k=.

【解析】因為f(x)是偶函數,所以k-1=0,即k=1.答案:1【補償訓練】函數f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函數,且其定義域為[3a-4,a],則f(a)=.

A.4B.3C.2D.1【解析】因為奇函數的定義域為[3a-4,a],所以3a-4+a=0,得4a=4,a=1,則f(x)=x3+2bx+1-b,又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,則b=1,即f(x)=x3+2x,則f(a)=f(1)=1+2=3.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)9.判斷下列函數的奇偶性.(1)f(x)=x2(x2+2).(2)f(x)=x|x3-x|.【解析】(1)f(x)=x2(x2+2)的定義域為R,f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),所以f(x)=x2(x2+2)為偶函數.(2)f(x)的定義域為R,f(-x)=-x|(-x)3+x|=-x|-x3+x|=-x|x3-x|=-f(x)所以f(x)為奇函數.10.設函數f(x)=x2-2|x|(-3≤x≤3).(1)證明:f(x)是偶函數;(2)畫出此函數的圖象,并指出函數的單調區間.【解析】(1)因為-3≤x≤3,所以函數f(x)的定義域關于原點對稱.f(-x)=