1.理解不等式的概念,能用不等式(組)表示實際問題中的不等關系.2.梳理等式的性質,掌握不等式的性質,并能運用這些性質解決有關問題.3.理解兩實數大小關系的基本事實,初步學會用作差法比較兩實數的大小.2.1等式性質與不等式性質在現實世界和日常生活中,既存在著相等關系,又存在著大量的不等關系,不

等關系常用①

不等式

表示.1|不等關系不等關系a大于ba小于ba不大于ba不小于ba不等于b符號表示a②>

ba③

<

ba④

≤

ba⑤

≥

ba⑥

≠

b2|兩實數大小關系的基本事實依據a>b?⑦

a-b>0

;a=b?⑧

a-b=0

;a<b?⑨

a-b<0

結論確定任意兩個實數a,b的大小關系,只需確定它們

的⑩差

與

0

的大小關系3|等式與不等式的性質

等式不等式對稱性a=b?b=aa>b?

b<a

傳遞性a=b,b=c?a=ca>b,b>c?

a>c

加法a=b?a±c=b±ca>b?

a+c>b+c

a>b,c>d?

a+c>b+d

乘法a=b?ac=bc;a=b,c≠0?=

a>b,c>0?

ac>bc

;a>b,c<0?

ac<bc

a>b>0,c>d>0?

ac>bd

a>b>0?

an>bn

(n∈N,n≥2)1.若

>1,則a>b.

(

?)提示:若

>1,則當b>0時,a>b;當b<0時,a<b.2.a與b的差是非負實數,可表示為a-b>0.

(

?)3.?x∈R,都有x2>x-1.

(√)提示:因為x2-x+1=

+

>0,所以x2>x-1.4.a,b,c為實數,在等式中,若a=b,則ac=bc;在不等式中,若a>b,則ac>bc.

(

?)提示:在等式中,若a=b,則ac=bc,結論是正確的.在不等式中,若a>b,則當c>0時,ac>

bc;當c=0時,ac=bc;當c<0時,ac<bc,因此結論錯誤.5.a,b,c為實數,若ac2>bc2,則a>b.

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.提示:若ac2>bc2,則c2≠0,因此c2>0,從而

>0,所以ac2×

>bc2×

,即a>b.1|如何比較實數(代數式)的大小中國某高中生暑假去加拿大旅行,中午在一景點吃比薩餅,他點了個直徑為9

英寸的比薩餅.過了一會兒,服務員客氣地端來了兩份直徑5英寸的比薩餅,說:“9

英寸的比薩餅賣完了,給您兩個5英寸的,多送您1英寸表示歉意.”這名中國高中生聽后一愣,客氣地請服務員叫來了店老板,說:“圓的面積公式為S

=πr2,算下來9英寸的比薩餅面積約是63.62平方英寸,而5英寸的比薩餅面積約是1

9.63平方英寸,兩個5英寸比薩餅的面積加起來約是39.26平方英寸,您給我三個比

薩餅我還虧著呢!怎么能說多送我1英寸呢?”老板聽后無語,最后給了他四個5英寸的比薩餅,并豎起拇指道:“中國高中生真厲

害!”問題1.你能把服務員犯的錯誤用不等式表示出來嗎?提示:服務員錯誤地認為:若a+b>c,則a2+b2>c2.2.文中的高中生是如何比較出比薩餅的大小的?提示:用作差法比較比薩餅面積的大小.比較實數(代數式)大小的方法

作差比較法作商比較法依據a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=ba>0,b>0且

>1?a>b;a>0,b>0且

<1?a<b應用范圍數(式)的大小不明顯,作差后可化為積或商的形式同號兩數比較大小步驟①作差;②變形;③判斷符號;④下結論①作商;②變形;③判斷商與1的大小關系;④下結論變形技巧①分解因式;②平方后再作差;③配方法;④分子(分母)有理化按照同類的項進行分組比較下列兩組數的大小.(1)

+

與

+

;(2)當x>1時,x3與x2-x+1.思路點撥(1)平方后作差

整理

判斷符號

確定大小.(2)作差

變形

判斷符號

確定大小.解析

(1)(

+

)2-(

+

)2=17+2

-(17+2

)=2

-2

>0,∴(

+

)2>(

+

)2,∴

+

>

+

.(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),∵x>1,∴x-1>0,又x2+1>0,∴x3-(x2-x+1)>0,∴x3>x2-x+1.已知a>b>0,比較

與

的大小.思路點撥作商

變形

判斷商與1的大小關系

確定大小.解析

∵a>b>0,∴

>0,

>0,∴

÷

=

·

=

=

=1+

>1,∴

>

.2|如何利用不等式的性質求代數式的取值范圍1.利用幾個代數式的取值范圍來確定某個代數式的取值范圍是一類常見的綜合

問題,對于這類問題要注意“同向不等式的兩邊可以相加”,但這種轉化不是等

價變形,在一個解題過程中多次進行這種轉化后,就有可能擴大真實的取值范圍,

解題時務必小心、謹慎,同時要注意正確使用不等式的性質.解決此類問題,可先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系,再通過

一次不等關系的運算求得待求式的取值范圍,可以避免錯誤.2.利用不等式性質求范圍的一般思路:(1)借助性質,轉化為同向不等式相加進行解答;(2)借助所給條件整體求解,切不可隨意拆分所給條件;(3)結合不等式的傳遞性進行求解.(1)已知-1<a<b<1,求a-b的取值范圍;(2)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍;(3)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤

≤9,求

的取值范圍.解析

(1)∵-1<b<1,∴-1<-b<1.又-1<a<1,∴-2<a-b<2.又∵a<b,∴a-b<0,∴-2<a-b<0.故a-b的取值范圍為-2<a-b<0.(2)設m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m-n)b=4a-2b,則

解得

∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).∵3≤3(a-b)≤6①,2≤a+b≤4②,∴①+②,得5≤4a-2b≤10.故4a-2b的取值范圍為5≤4a-2b≤