4.1

指數函數1|指數函數函數①

y=ax

(x∈R)叫作指數函數,其中a>0,且a≠1.1.當底數a>1時,指數函數值隨自變量的增長而增大,底數a較大時,指數函數值增

長速度驚人,被稱為②指數爆炸.當某個量在一個既定的時間周期中,其增長百分比是一個常量時,這個量就被描

述為指數式增長,也稱指數增長.2.如果底數0<a<1時,指數函數值隨自變量的增長而縮小以至無限接近于0,叫作③

指數衰減.指數衰減的特點:在一個既定的時間周期中,其④縮小百分比

是一個常量.2|指數爆炸和指數衰減3|指數函數的圖象與性質表達式y=ax(0<a<1)y=ax(a>1)圖象

定義域(-∞,+∞)值域⑤(0,+∞)

性質過定點函數圖象過定點(0,1),即a0=1單調性在R上⑥遞減

在R上⑦遞增

1.函數y=2x+1是指數函數.

(

?)提示:因為指數不是x,所以函數y=2x+1不是指數函數.2.因為a0=1(a>0,且a≠1),所以函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1).

(√)3.若0.1a>0.1b,則a>b.

(

?)提示:因為指數函數y=0.1x在R上是減函數,所以由0.1a>0.1b,得a<b.4.y=3x與y=

的圖象關于y軸對稱.

(√)提示:因為y=

=3-x,所以由兩函數解析式的關系知其圖象關于y軸對稱.5.y=

是指數衰減型函數模型.

(√)提示:指數函數y=ax(a>0,且a≠1)中,當a>1時,是指數增長型函數模型,當0<a<1時,判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.是指數衰減型函數模型.1|與指數函數有關的復合函數的定義域、值域問題與指數函數有關的復合函數的定義域、值域的求法:(1)函數y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同;(2)求函數y=af(x)的值域,需先確定f(x)的值域,再根據指數函數y=ax的單調性確定函

數y=af(x)的值域;(3)求函數y=f(ax)的定義域,需先確定y=f(u)的定義域,即u的取值范圍,亦即u=ax的值

域,由此構造關于x的不等式(組),確定x的取值范圍,即y=f(ax)的定義域;(4)求函數y=f(ax)的值域,需先利用函數u=ax的單調性確定其值域,即u的取值范圍,

再確定函數y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域(以上a滿足a>0,且a≠1).求下列函數的定義域和值域:(1)y=

;(2)y=4x-2x+1.解析

(1)由題意知1-

≥0,∴

≤1=

,∴x≥0,∴此函數的定義域為[0,+∞).∵

≤1,且

>0,∴0<

≤1.∴0≤1-

<1,∴0≤y<1,∴此函數的值域為[0,1).(2)函數的定義域為R.令2x=t,則t>0,y=(2x)2-2x+1=t2-t+1=

+

,∵t>0,∴當t=

,即x=-1時,y取得最小值

,∴函數的值域為

.2|如何解決與指數函數有關的復合函數的單調性問題1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函數的單調性的判斷方法:當a>1時,函數u=f(x)的單調

遞增(減)區間即為函數y=af(x)的單調遞增(減)區間;當0<a<1時,函數u=f(x)的單調減

(增)區間即為函數y=af(x)的單調遞增(減)區間.2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函數的單調性的判斷方法:通過內層函數u=ax的取值

范圍確定外層函數y=f(u)的定義域,在此定義域內討論外層函數的單調區間,再根

據復合函數“同增異減”的規律確定復合函數的單調區間.求下列函數的單調區間:(1)y=

;(2)y=

-8·

+17.思路點撥先換元,再利用復合函數“同增異減”的規律確定復合函數的單調性.解析

(1)令u=x2-2x+3,則由二次函數的性質可知該函數在(-∞,1]上為減函數,在

[1,+∞)上為增函數,又y=

在R上為減函數,∴函數y=

的單調增區間為(-∞,1],單調減區間為[1,+∞).(2)設u=

(u>0),則y=u2-8u+17(u>0)在(0,4]上單調遞減,在[4,+∞)上單調遞增.令

≤4,得x≥-2,∴y=

-8·

+17的單調增區間是[-2,+∞).令

≥4,得x≤-2,∴y=

-8·

+17的單調減區間是(-∞,-2].3|如何比較指數冪大小比較指數冪大小的方法

(1)設a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關系是

(

C)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a(2)下列大小關系正確的是

(

B)A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43

解析

(1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6.∵函數