圓的相關概念教學設計教學目標1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，理解等圓、等弧的概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點和圓的位置關系．2.探索并證明垂徑定理；垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧．3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，理解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半；直徑所對的圓周角是在直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補．教學重點1.理解圓的有關概念，了解弧、弦、圓心角之間的關系．2.垂徑定理、圓周角定理的證明及其應用．教學難點垂徑定理、圓周角定理的證明及其應用．課時安排5課時．第1課時教學內容28.1圓的相關定義．教學目標1．使學生理解圓、弦、圓弧、等圓、等孤的概念；初步會運用這些概念判斷真假命題．2．逐步培養學生閱讀教材、親自動手實踐，總結出新概念的能力；進一步指導學生觀察、比較、分析、概括知識的能力．3．通過動手、動腦的全過程，調動學生主動學習的積極性，使學生從積極主動獲得知識．教學重點理解圓的有關概念．教學難點對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解．教學過程一、情景導入展示有關圓的圖片，導入新課的教學．二、新課教學1．閱讀、發現．教師引導學生閱讀教材，理解教材中的有概念．（1）圓、圓心、半徑：在一個平面內（如下圖），線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．其固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”．（2）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦．（3）直徑：經過圓心的弦叫做直徑．（4）圓弧、弧、半圓：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧．以A，B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．（5）等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．（6）等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．（7）優弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優弧；小于半圓的弧叫做劣弧．2．小組交流、師生對話．問題1：一個圓有多少條弦？最長的弦是什么？問題2：弧分為哪幾種？怎樣表示？問題3：在等圓、等弧中，“互相重合”是什么含義？通過問題，使學生與學生，學生與老師進行交流、學習，加深對概念的理解，排除疑難．3．概念辨析.判斷題目：（1）直徑是弦（）（2）弦是直徑（）（3）半圓是弧（）（4）弧是半圓（）（5）長度相等的兩段弧是等弧（）（6）等弧的長度相等（）（7）半徑相等的兩個半圓是等弧（）主要理解以下概念：弦與直徑；弧與半圓、同心圓；等圓指兩個圖形；等圓、等弧是互相重合得到及等弧的條件作用．4．實例探究．例矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．求證：A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一個圓上．證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD．∴OA＝OC＝OB＝OD．∴A，B，C，D四個點在以點O為圓心，OA為半徑的圓上．三、課堂測評教材第148頁A組題．四、歸納小結本節應掌握以下內容：1．圓、弦、圓弧、等圓、等孤的概念．2．弧的表示方法．五、布置作業習題28.1B組第2題．六、教學反思第2課時教學內容28.4垂徑定理．教學目標1．理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明．2．進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力．3．通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，并激發學生對數學的熱愛．教學重點垂徑定理及其應用．教學難點垂徑定理的證明．教學過程一、導入新課1．實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性等特征．2．探究：剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？你能證明你的結論嗎？二、新課教學1．垂徑定理及證明．請同學們回答下面兩個問題：（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？（2）你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流．分析：（1）圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找到無數多條直徑．（2）我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的．因此，我們可以得到：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．如右圖，AA′是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AA′，垂足為M．（1）右圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？（2）你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你理由．點評：（1）是軸對稱圖形，其對稱軸是CD．（2）AM＝A′M，＝，＝．即直徑CD平分弦AA′，并且平分．這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．下面我們用邏輯思維來證明它．已知：直徑CD、弦AA′且CD⊥AA′垂足為M．求證：AM＝A′M，＝，＝．分析：要證AM＝A′M，，只要證AM、A′M構成的兩個三角形全等．因此，只要連結OA、OA′或AD、A′D或AC、A′C即可．證明：如圖，連結OA、OA′，則OA＝OA′，在Rt△OAM和Rt△OA′M中，OA＝OA′，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OA′M．∴AM＝A′M．∴點A和點A′關于CD對稱．∵⊙O關于直徑CD對稱，∴當圓沿著直線CD對折時，點A與點A′重合，與重合，與重合．∴＝，＝．.進一步，我們還可以得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．2．實例探究．例趙州橋（下左圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數點后一位）．分析：解決此問題的關鍵是根據趙州橋的實物圖畫出幾何圖形．解：如上右圖，用表示主橋拱，設所在圓的圓心為O，半徑為R．經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點C，連接OA，根據垂徑定理，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高．由題設可知AB＝37m，CD＝7.23m，所以AD＝AB＝×37＝18.5（m），OD＝OC－CD＝R－7.23．在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.52＋(R－7.23)2．解得R≈27.3m．因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m．三、課堂測評教材第169頁A組題．四、歸納小結今天學習了什么，還有哪些問題？五、布置作業教材第169頁B組題．．六、教學反思第3課時教學內容28.3弧、弦、圓心角．教學目標1．了解圓的旋轉對稱性，掌握圓心角的概念．2．掌握弧、弦、圓心角之間的關系，并能運用這些關系解決有關證明和計算的問題．教學重點弧、弦、圓心角之間的關系．教學難點探索定理和推導及其應用．教學過程一、導入新課學生活動：請同學們完成下題．已知△OAB，如圖所示，作出繞O點旋轉30°、45°、60°的圖形．點評：繞O點旋轉，O點就是固定點，旋轉30°，就是旋轉角∠BOB′＝30°．二、新課教學探究：剪一個圓形紙片，把它繞圓心旋轉180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什么結論？把圓繞圓心旋轉任意一個角度呢？實際上，圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心．不僅如此，把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合．利用這個性質，我們還可以得到圓的其他性質．我們把頂點在圓心的角叫做圓心角．現在利用上面的性質來研究在同一個圓中，圓心角及其所對的弧、弦之間的關系．思考：如下圖，⊙O中，當圓心角∠AOB＝∠A′OB′時，它們所對的弧和、弦AB和A′B′相等嗎？為什么？我們把∠AOB連同繞圓心O旋轉，使射線OA與OA′重合．∵∠AOB＝∠A′OB′，∴射線OB與OB′重合．又OA＝OA′、OB＝OB′，∴點A與A′重合，點B與B′重合．因此，與重合，AB與A′B′重合．即＝，AB＝A′B′．這樣，我們就得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等．三、實例探究例如圖，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°．求證：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．證明：∵＝，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，AB＝BC＝CA．∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．四、課堂測評教材第155頁A組題五、歸納總結本節課應掌握：1．圓心角概念．2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都部分相等，及其它們的應用．六、布置作業習題28.3B組第1，2題．第4課時教學內容28.3圓周角（1）．教學目標1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用．教學重點圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題．教學難點運用數學分類思想證明圓周角的定理．教學過程一、導入新課學生活動：請同學們口答下面兩個問題．1．什么叫圓心角？2．圓心角、弦、弧之間有什么內在聯系呢？點評：1．我們把頂點在圓心的角叫圓心角．2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等．剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．二、新課教學1．圓周角．在圓中，除圓心角外，還有一類角（如圖中的∠ACB），它的頂點在圓上．并且兩邊都與圓相交，我們把這樣的角叫做圓周角．如圖，連接AO，BO，得到圓心角∠AOB．可以發現，∠ACB與∠AOB對著同一條弧，它們之間存在什么關系呢？下面我們就來研究這個問題．2．探究（1）分別測量圖中所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的度數，它們之間有什么關系？（2）在⊙O上任取一條弧，作出這條弧所對的圓周角和圓心角，測量它們的度數，你能得出同樣的結論嗎？由此你能發現什么規律？教師引導學生思考、討論、探究，最后發現，同弧所對的圓周角的度數等于這條弧所對的圓心角的度數的一半．得出結論后，教師可讓學生嘗試證明這個結論．證明：如下圖，在⊙O任取一個圓周角∠BAC，沿AO所在直線將圓對折，由于點A的位置不同，折痕會：（1）在圓周角的一條邊上；（2）在圓周角的內部；（3）在圓周角的外部．我們來分析第（1）種情況，如圖（1），圓心O在∠BAC的一條邊上．對于第（2）（3）種情況，可以通過添加輔助線，如圖（2）（3），將它們轉化為第（1）種情況，從而得到相同的結論（請你自己證明）．這樣，我們就得到圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．進一步，我們還可以得到下面的推論：同弧或等弧所對的圓周角相等．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．三、課堂測評教材第161頁A組題．四、歸納小結本節課應掌握：1．圓周角的概念．2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都相等這條弧所對的圓心角的一半．3．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．五、布置作業教材第162頁B組題．六、教學反思第5課時教學內容28.3圓周角（2）．教學目標1．了解圓內接多邊形和多邊形的外接圓．2．通過實例，深化對圓周角的認識，熟練掌握圓周角定理及其推導解決一些具體問題．教學重點圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題．教學難點運用數學分類思想證明圓周角的定理．教學過程一、導入新課1．什么叫圓周角？2．你能說說圓周角定理嗎？復習上節內容，導入新課的教學二、新課教學1．實例探究例如下左圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD，BD的長．解：如上右圖，連接OD．∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．在Rt△ABC中，BC＝＝＝8（cm）．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．∴∠AOD＝∠BOD．∴AD＝BD．又在Rt△ABD中，AD2＝BD2＝AB2，∴AD＝BD＝AB＝×10＝5（cm）．2．內接多邊形和外接圓．如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．如下圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓．思考：圓內接四邊形的四個角之間有什么關系？因為圓內接四邊形的