第一基本概念與抽樣分布演示文稿當(dāng)前1頁，總共51頁。優(yōu)選第一基本概念與抽樣分布當(dāng)前2頁，總共51頁。由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機性.從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個隨機變量，因此隨機變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.這樣總體就可以用一個隨機變量及其分布來描述.統(tǒng)計中，總體這個概念的要旨是：

總體就是一個隨機變(向)量或其概率分布.數(shù)理統(tǒng)計研究的內(nèi)容：總體相應(yīng)隨機變(向)量的概率分布及數(shù)字特征.當(dāng)前3頁，總共51頁。為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為“抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本.樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.2.樣本從國產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗樣本容量為5(1).抽樣、樣本、樣本值當(dāng)前4頁，總共51頁。

但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(shù)

(X1,X2,…,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值.樣本是隨機變量.抽到哪5輛是隨機的容量為n的樣本可以看作n維隨機向量.當(dāng)前5頁，總共51頁。樣本具有兩重性：10.隨機性樣本(X1,X2,…,Xn)本身是隨機向量。20.相對確定性經(jīng)過一次抽樣否，樣本(X1,X2,…,Xn)又是一組確定的樣本值(x1,x2,…,xn)。當(dāng)前6頁，總共51頁。由于抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面三點:10.隨機性：X1,X2,…,Xn每個結(jié)果等可能被抽取。20.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布；30.獨立性：X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量,每個樣本值互不干擾。(2).簡單隨機樣本當(dāng)前7頁，總共51頁。

由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個隨機變量X1,X2,…,Xn表示.簡單隨機樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.數(shù)學(xué)定義：

n個隨機變量X1,X2,…,Xn獨立同分布(X與同分布)，則稱(X1,X2,…,Xn)來自總體X的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱為樣本.當(dāng)前8頁，總共51頁。事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測量身高，得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機變量取的值而見不到隨機變量.3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系當(dāng)前9頁，總共51頁。總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁當(dāng)前10頁，總共51頁。實際上，樣本的分布與總體分布的關(guān)系如下定理1.若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為當(dāng)前11頁，總共51頁。由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.二、統(tǒng)計量1.定義設(shè)(X1,X2,…,Xn)為總體X的一個樣本,f(X1,X2,…,Xn)是一個不含任何有關(guān)總體分布未知參數(shù)的函數(shù)，稱為此總體的一個統(tǒng)計量，它是完全由樣本決定的量.統(tǒng)計量實際上也是一個隨機變量，它是一個隨機向量的函數(shù)。當(dāng)前12頁，總共51頁。是統(tǒng)計量.不是統(tǒng)計量.統(tǒng)計量的兩重性(1).統(tǒng)計量f(X1,X2,…,Xn)本身是隨機向量,他有確定的概率分布－抽樣分布。(2).經(jīng)過一次抽樣否，f(X1,X2,…,Xn)又是由樣本值(x1,x2,…,xn)確定的一個統(tǒng)計值。當(dāng)前13頁，總共51頁。樣本k－階原點矩樣本k－階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息

2.常用的統(tǒng)計量（樣本矩）(1).定義它們均是隨機變量當(dāng)前14頁，總共51頁。樣本均值樣本方差它反映了總體均值的信息k=1時，A1稱為樣本均值k=2時，B2稱為樣本方差當(dāng)前15頁，總共51頁。(2).矩的性質(zhì)性質(zhì)1.由大數(shù)定律可知大樣本條件下，一次抽樣后樣本均值、方差可作為總體的均值、方差的近似。一般地，抽樣分為大樣本和小樣本問題。當(dāng)前16頁，總共51頁。性質(zhì)2.證當(dāng)前17頁，總共51頁。推論證當(dāng)前18頁，總共51頁。當(dāng)前19頁，總共51頁。

3.次序統(tǒng)計量(1).定義即：X(k)的取值x(k)為(x(1),…,x(n))按從小到大的次序重新排列后第k個位置的數(shù)，當(dāng)前20頁，總共51頁。(2).中位數(shù)、樣本極差中位數(shù)樣本極差次序統(tǒng)計量、中位數(shù)、樣本極差都是統(tǒng)計量。極差可以反映樣本值變化的程度或離散程度。當(dāng)前21頁，總共51頁。例1.計算下列樣本中位數(shù)、均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差.解當(dāng)前22頁，總共51頁。

4.經(jīng)驗分布函數(shù)(1).定義當(dāng)給定次序統(tǒng)計量的一組值定義對稱Fn(x)為總體X的經(jīng)驗分布函數(shù)。為樣本值不超過x的頻率。當(dāng)前23頁，總共51頁。經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)從樣本直觀得到描述性分布.樣本直方圖可以描述.(2).經(jīng)驗分布函數(shù)的性質(zhì)10.具有通常分布函數(shù)的三個性質(zhì),圖形呈跳躍上升；20.Fn(x)是一個隨機變量；當(dāng)前24頁，總共51頁。30.經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)與總體分布函數(shù)F(x)的關(guān)系格列汶科(Glivenko)定理：當(dāng)前25頁，總共51頁。三、抽樣分布統(tǒng)計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統(tǒng)計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布叫做統(tǒng)計量的“抽樣分布”

.

抽樣分布精確抽樣分布漸近分布

(小樣本問題中使用)(大樣本問題中使用)

抽樣分布是由一個統(tǒng)計量(隨機變量函數(shù))的分布.研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).當(dāng)前26頁，總共51頁。由實際問題與中心極限定理可知，討論正態(tài)總體的樣本統(tǒng)計量的分布非常必要。1.正態(tài)總體X與樣本線性函數(shù)的分布(1)總體X～當(dāng)前27頁，總共51頁。(2)(X1,…,Xn)來自總體X～當(dāng)前28頁，總共51頁。設(shè)X1,…,Xn～N(0,1)且相互獨立,則稱隨機變量：是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.(1).定義所服從的分布為自由度為

n

的n為獨立隨機正態(tài)變量的個數(shù),也稱為當(dāng)前29頁，總共51頁。其中Γ(x)為伽瑪(Gamma)函數(shù)具有如下性質(zhì)：當(dāng)前30頁，總共51頁。10.

設(shè)X1,…,Xn～則E(X)=n,D(X)=2n由定義知E(Xi)=0,D(Xi)=1=n當(dāng)前31頁，總共51頁。30.

2變量的可加性要用到獨立隨機變量和的卷積公式和Γ(x)

的性質(zhì)。=2n當(dāng)前32頁，總共51頁。應(yīng)用Lindeberg中心極限定理可得：40.極限分布當(dāng)前33頁，總共51頁。記為T～t(n).設(shè)X～N(0,1),Y～

2(n),且相互獨立，則稱隨機變量所服從的分布為自由度為n的t分布，也稱為t變量.3.t－分布(1).定義:(2).T變量的密度函數(shù)為：當(dāng)前34頁，總共51頁。10.T～t(n)為具有自由度為n的t分布的隨機變量，則T的數(shù)字特征具有如下性質(zhì)：當(dāng)

n=1時，

T～t(n)實際上是柯西分布，任何階矩均不存在；(3).T變量的性質(zhì)：當(dāng)n>2，

E(T)=0;D(T)=n/(n-2)

.

當(dāng)前35頁，總共51頁。事實上當(dāng)前36頁，總共51頁。當(dāng)n充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對稱，是偶函數(shù)，且應(yīng)用Γ函數(shù)的性質(zhì)及司特林(Stirling)公式得：30.極限分布當(dāng)n充分大時，t分布近似N

(0,1)分布.但對于較小的n，t分布與N(0,1)分布相差很大.當(dāng)前37頁，總共51頁。由定義可見，服從自由度為n1及n2

的F－分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作F～F(n1,n2).～F(n2,n1)4.F－分布(1).定義也稱為F變量當(dāng)前38頁，總共51頁。EX不依賴于第一自由度n1.10.若X~F(n1,n2)，X的數(shù)學(xué)特征:若n2>2(2).若X~F(n1,n2)，X的概率密度為(3).F變量的性質(zhì)當(dāng)前39頁，總共51頁。20.若n1=1時，F(xiàn)～F(1,n2)=t2(n2).30.極限分布若X~F(n1,n2)，n2>4，則當(dāng)前40頁，總共51頁。四、抽樣分布定理當(dāng)總體為正態(tài)分布時，我們簡單地敘述幾個抽樣分布定理.1.一個正態(tài)總體X～設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X～(1).定理1.(樣本均值的分布)當(dāng)前41頁，總共51頁。n取不同值時樣本均值的分布當(dāng)前42頁，總共51頁。n取不同值時的分布當(dāng)前43頁，總共51頁。(2).定理2(樣本方差的分布)則有X1,X2,…,Xn是來自總體X～當(dāng)前44頁，總共51頁。又相互獨立30.的說明當(dāng)前45頁，總共51頁。2.兩個正態(tài)總體

情形定理3.當(dāng)前46頁，總共51頁。或也有或當(dāng)前47頁，總共51頁。或統(tǒng)計四大分布的定義、基本性質(zhì)以及上述抽樣分布定理在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要理解，牢記！！當(dāng)前48頁，總共51頁。下面給出概率分布的